1、精選學習資料 - - - 歡迎下載奇妙提問,探尋課堂學問生長點正弦定理新授課的教學設計一.教學內容分析 ：正弦定理為一般高中課程標準數學教科書·數學必修 5人教 a版第一章解三角形： 1 1 “正弦定理和余弦定理”的第1 課,為解三角形的重要工具；“解三角形”既為高中數學的基本內容,又有較強的應用性；解三角 形作為幾何度量問題, 應突出幾何的作用和數量化的思想,為同學進一步學習數學奠定基礎；本課“正弦定理” ,作為單元的起始課,為后續內容作學問與方法的預備,為在同學已有的三角函數及向量學問的基礎上,通過對三角形邊角關系作量化探究,發覺并把握正弦定理（重要的解三角形工具）,解決簡潔的三

2、角形度量問題；教學過程中,應發揮同學的主動性,通過探究發覺.合情推理與演繹 證明的過程,提高同學的思辨才能；二.同學學情分析：由于本課內容和一些與測量. 幾何運算有關的實際問題相關,教學中如能留意課程與生活實際的聯系, 留意學問的發生過程, 定能激起同學的學習愛好； 當然本課涉及代數推理,定理證明中涉及三角函數與平面對量等多方面的學問方法,綜合性強,同學學習方面有肯定困難；三.設計思想：培育同學學會學習. 學會探究為全面進展同學才能的重要前提,為高中新課程改革的主要任務； 如何培育同學學會學習. 學會探究呢？建構主義認為： “學問不為被動吸取的,而為由認知主體主動建構的；”這個觀點從教學的角度

3、來懂得就為： 學問不為通過老師傳授得到的,而為同學在肯定的情境中, 運用已有的學習體會,并通過與他人在老師指導和學習伙伴的幫忙下協作,主動建構而獲得的,建構主義教學模式強調以同學為中心,視同學為認知的主體, 老師只對同學的積極建構起幫忙和促進作用；本節“正弦定理 ”的教學, 將遵循這個原就采納奇妙提問.試驗探究.自主學習.合作溝通的爭論性學習方式,重點放在定理的形成.證明的探究及定理基本應用上,努力挖掘定理教學中蘊涵的思維價值；從實際問題動身,從同學已有學問動身,奇妙提問,層層推動,引入課題,猜想驗證,理論證明,最終把所學學問應用于實際問題；四.教學目標：讓同學從已有的學問體會動身、通過對特別

4、三角形邊角間數量關系的探求,發覺正弦定理；再由特別到一般,從定性到定量,探究在任意三角形中,邊與其 對角的關系,引導同學通過觀看,猜想,比較,推導正弦定理,由此培育同學合 情推理探究數學規律的數學摸索才能；培育同學聯想與引申的才能, 探究的精神與創新的意識, 同時通過三角函數. 向量與正弦定理等學問間的聯系來幫忙同學初步樹立事物之間的普遍聯系與辯證統一的唯物主義觀點；五.教學重點與難點：本節課的重點為正弦定理的探究.證明及其基本應用；難點為正弦定理應1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載用中“已知兩邊和其中一邊的對角解三角形,判定解的個數”,以及規律思維能力的培育；六.教學過程設計：

5、（一）創設情境 :問題1：長沙市政府欲在湘江建一個隧道、需預先測量兩地 a 和 b 的距離 、于為在江邊選取一個測量點c、 測得a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載cb=435m、 cba=880 、 bca=42 0 ；由以上數據,能測精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載算出ab嗎？這為一個什么數學問題.這個三角形為唯獨確定的嗎？理由為什么？引出：解三角形已知三角形的某些邊和角,求其他的邊和角的過程； 設計意圖：從實際問題動身,引入數學課題；師：我們知道：已知兩角一邊,依據三角形全等的判定aas或 asa ,該三角形為唯獨確

6、定的；如何定量地求出88 0b435m420c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載其余的邊角呢？這就為我們這節課要爭論的正弦定理；引出課題：正弦定理；師：在中學我們學到很多三角形的學問,你對三角形中的邊角學問知道多少？生：· · · ,“大角對大邊,大邊對大角”師：“a b ca b c”,這為定性地爭論三角形中的邊角關系,為什么大角對大邊,大邊對大角？我們能否更深刻地.從定量的角度爭論三角形中的邊角關系？同學們能否結合特別三角形作一下合理猜想呢？ 設計意圖：從聯系的觀點,從新的角度看過去的問題,使同學對于過去的學問有了新的熟悉,同時使新學問建立在已有學

7、問的堅實基礎上,形成良好的學問結構；（二）猜想.試驗：1.發散思維, 提出猜想： 從定量的角度考察三角形中的邊角關系,猜想可能存在哪些關系？ 學情預設： 此處, 同學依據已有學問“ a b ca b c”,可能顯現以下答案情形；如a/a=b/b=c/c、a/sina=b/sinb=c/sinc、a/cosa=b/cosb=c/cosc、a/tana=b/tanb=c/tanc,·· ···等等 ； 設計意圖：培育同學的發散思維,猜想也為一種數學才能2 .爭論特例,提煉猜想：考察等邊三角形.特別直角三角形的邊角關系,提煉出abc精品學習資料精選學

8、習資料 - - - 歡迎下載sin asin bsin c ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.試驗驗證,完善猜想：這一關系式在任一三角形中為否成立呢？請同學以量角器.刻度尺.運算器為工具,對一般三角形的上述關系式進行驗證,老師用幾abc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載何畫板演示； 在此基礎上, 師生一起得出猜想, 即在任意三角形中, 有 sin a 設計意圖：著重培育同學對問題的探究意識和動手實踐才能（三）證明探究：sin bsin c ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載對此猜想, 據以上直觀考察,我們感情上為完全可以接受的,但數學需要理性思維；如

9、何通2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載過嚴格的數學推理,證明正弦定理呢？1. 特別入手,探究證明：在中學, 我們已學過如何解直角三角形,下面就第一來探討直角三角形中,角與邊的等量關精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載系；在rtabc中,設bc=a、ac=b、ab=c、c900 , 依據銳角的正弦函數的定義,有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a sin ab sin bsin c1cabcc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載c, c,又abcc 、就 sin asin bsinc,從而在直角三精品學習

10、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載角形 abc 中, sin asin bsin c ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.推廣拓展,探究證明：問題 2：在銳角三角形abc 中,如何構造直角三角形,表示“ a 與 sina . b 與 sinb ”的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載關系呢？探究 1：能否構造直角三角形,將問題化歸為已知問題？ 學情預設：此處,同學可能顯現以下答案情形；同學對直角三角形中證明定理的方法記憶猶新,可能通過以下三種方法構造直角三角形；生 1：如圖 1,過c 作 bc 邊上的垂線cd ,交 ba 的延長線于d ,得到直角三角形dbc ；生

11、 2：如圖 2,過 a 作 bc 邊上的高線ad ,化歸為兩個直角三角形問題；生 3：如圖 3,分別過b. c 作 ab .ac 邊上的垂線,交于d,連接 ad ,也得到兩個直角三角形·· · · 經過師生爭論指出：方法1 明顯不行取,方法2,簡潔明白,簡潔得到“c 與 sin c .b 與 sinb ”的關系式；而方法3 將把問題延長到四點共圓,深究下去,可得精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a sin ab sin bc sin c2 r ,而且對鈍角三角形也適應；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 學問鏈接：依據化歸這一解決

12、數學問題的重要思想方法,把銳角三角形中正弦定理的證明歸結為直角三角形問題為自然不過的；圖 1圖 23精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載_d a cos - b 、a sin -b c_ b cosa 、bsina a_b_a_cb_ c、0 圖 3圖 4探究 2：能否引入向量,歸結為向量運算？（1）圖 2 中蘊涵哪些向量關系式？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載同學探究,師生.生生之間溝通爭論, 得 abbcac 、 abbcca0、 abcbca、（這精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三個式子本質上為相同的）、adbc0等 、（2）如何將向量關系轉化為數量

13、關系？ 施以什么運算 .生：施以數量積運算（3）可取與哪些向量的數量積運算？ 學情預設： 此處,同學可能會做如下種種嘗試,如兩邊自乘平方. 兩邊同時點乘向量ab（或bc.ac ）,均無法如愿；此時引導同學兩邊同時點乘向量ad 、并說出理由：數量積運算產生余弦,垂直就實現了余弦與正弦的轉換； 學問鏈接：過渡教材中,證明方法所引用的單位向量j 就為與向量ad共線的單位向量；過去,同學常對此感到費解,經如此鋪墊方顯自然探究 3：能否引入向量的坐標形式,把向量關系轉化為代數運算？（1）如圖 4,建立直角坐標系,可得：a0、0、bc、0、cbcosa、bsina、（2）向量 bc 的坐標 =？（ bco

14、sa-c , bsina ）（3）哪一點的坐標與向量bc 的坐標相同？由三角函數的定義,該點的坐標又為多少？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0師：依據平行四邊形法就,bc 與 d 點坐標相同；d（ a cos180b、 a sin1800b ）,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0從而建立等量關系：bcosa c= acos180b、0bsina=a sin180b 、 整理,得c=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bcosa+ acosb （這其實為射影定理） , a/sina=b/sinb ,同理可得a/s

15、ina=c/sinc ； 學問鏈接：向量,融數與形于一體,為重要的數學工具,我們可以通過向量的運算來描述和爭論幾何元素之間的關系（如角與距離等）,這里同學已經學過向量,可依據同學素養情4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載況打算為否采納探究2 與 3問題 3：鈍角三角形中如何推導正弦定理？（留做課后作業）（四）懂得定理.基本應用：1.正弦定理：在一個三角形中,各邊和它所對角的正弦的比相等,即精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a sin ab sin bc2 rsin c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載問題 4.定理結構上有什么特點,有哪些變形式？（1）從結構

16、看：各邊與其對角的正弦嚴格對應,成正比例,表達了數學的和諧美；（2）從方程的觀點看：每個方程含有四個量,知三求一；從而知正弦定理的基本作用為：ab sin a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊,如sin b；sin aa sin b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值,如b；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3 常見變式：a 2 r sin ab 2 r sin bs i na : si nb: s i nca : b : c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

17、迎下載c 2 r sin c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如：在abc 中,sin 2 asin 2 bsin 2 c ,試判定abc 的外形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.例題分析例 1在abc 中,已知a32.00 , b81.80 , a42.9 cm,解三角形；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載評述：定理的直接應用,對于解三角形中的復雜運算可使用運算器；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2在abc 中,已知 a精確到 1cm）；20cm、 b28cm、 a040,解三角形（角度

18、精確到01 ,邊長精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載評述：應留意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時,可能有兩解的情形；摸索：已知三角形的兩邊一角,這個三角形能唯獨確定嗎？為什么？讓同學先行摸索,下節課在“正.余弦定理”其次課時中予以下圖的剖析闡述；已 知 邊 a、b 和a精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ccbabaaaahhccbbaaaab1hb2hb精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a<ch =b sina無 解a = ch = bsina僅有一個解ch = bsina<a<b有兩個解a b僅有一個解精品學習資料精選學習資料 - -

19、- 歡迎下載5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3.課堂練習：（1）.引題（問題1）（2）.在 abc 中,a.b.c 分別為 a . b. c 的對邊,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a3、b2、 b450 、 求角a .c及邊 c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（五）課堂小結：問題 5：請同學們用一句話表述學習本課的收成和感受；生 1：原先我只會解直角三角形,現在我會解一般三角形了師：通過本課學習,你發覺自己更強大了；生 2：原先我以為正弦定理的證明,只有書上一種方法,今日我們學到了課本以外的眾多方法；師：我們學習過兩個重要數學工具,即三角函數與平面

20、對量,正弦定理的證明充分展現了它們的妙用；生 3：公式很美；師：美在哪里？生 3：表達了公式的對稱美,和諧美·· ··在同學們的熱鬧爭論的基礎上,用課件展現小結：1.在正弦定理的發覺及其證明中,蘊涵了豐富的思想方法,既有由特別到一般的歸納思想,又有嚴格的演繹推理；在定理證明中我們從直觀幾何角度.向量運算角度探求了數學工具的多樣性；2.正弦定理反映了邊與其對角正弦成正比的規律、據此,可以用角的正弦替代對邊,具有美學價值3.利用正弦定懂得決三類三角形問題：（1）已知兩角和任一邊,求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角,求另一邊的對角,進而求出其他的邊和角；（3）實現邊與角的互化； 設計意圖：通常,課堂小結均由老師和盤托出,同學接受現成的結論；本設計充分發揮同學