1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載比和比例比和比例比和 比例 始終為學(xué) 數(shù)學(xué) 簡潔弄混的幾大問題之一,其實它們之間的問題完全可以用一句話概括：比,等同于算式中等號左邊的式子,為式子的一種（如：a:b ）；比例,由至少兩個稱為比的式子由等號連接而成,且這兩個比的比值 為相同（如：a:b=c:d ）；所以,比和比例的聯(lián)系就可以說成為：比為比例的一部分；而比例為由至少兩個比值相等的比組和而成的；比的意義為兩個數(shù)的除又叫做兩個數(shù)的比、 而比例的意義為表示兩個比相等的為叫做比例；比為表示兩個數(shù)相除,有兩項；比例為一個等式,表示兩個比相等,有四項；比和比例的意義也不同；比和比例應(yīng)用題 例 1 .生產(chǎn)隊飼養(yǎng)

2、的雞與豬的只數(shù)比為26 5,羊與馬的只數(shù)比為25 9,豬與馬的只數(shù)比為10 3；求雞.豬.馬和羊的只數(shù)比； 分析 該題給出了三個單比,要求寫出它們的連比；將幾個單比寫成連比,關(guān)鍵為利用比的基本性質(zhì)將各個比中表示同一個量的值化為相同的值； 解由題設(shè),雞豬 =26 5,羊馬 =25 9,豬馬 =10 3,由比的基本性質(zhì)可得： 豬馬 =10 3=30 9, 羊：馬 =25 9,雞：豬 =26 5=156 30,從而雞豬馬羊=156： 30 9 25；答：雞.豬.馬.羊的只數(shù)比為156 30 9 25； 注將單比化為連比時,仍可先化為三個量的連比,再化為四個量的連比；如,雞豬 =26 5,豬馬 =10

3、 3,由此可得,雞豬馬=52 10 3；再留意到羊馬=25 9 可得,雞豬馬羊=15630 925； 例 2 以下各題中的兩個量為否成比例.如成比例,請說明成正比例仍為成反比例；(1) 路程肯定時,速度與時間；(2) 速度肯定時,路程與時間；(3) 播種面積肯定時,總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量；(4) 圓的面積與該圓的半徑；(5) 兩個相互嚙合的大小齒輪,它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)； 分析 利用正比例.反比例的概念進(jìn)行判定與說明； 解1由于速度與時間的乘積等于路程,所以,當(dāng)路程肯定時,速度與時間成反比例；(2) 由于路程與時間的比值為速度,所以,當(dāng)速度肯定時,路程與時間成正比例；(3) 由于總產(chǎn)量與單位面積的

4、產(chǎn)量的比值為播種面積,所以, 當(dāng)播種面積肯定時,總產(chǎn)量與單位面積的產(chǎn)量成正比例；(4) 設(shè)圓的半徑為r,就圓的面積為 r2,所以圓的面積與半徑的積為r3,隨半徑的變化而變化,即圓的面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載與半徑不成反比例；而圓的面積與半徑的比值為r,也隨半徑的變化而變化,即圓的面積與半徑不成正比例；綜上,圓的面積與半徑不成比例；(5) 由于齒輪的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積等于單位時間內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)過的總齒數(shù),而兩個相互咬合的大小齒輪在單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的總齒數(shù)相等,所以,它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例； 注如兩個相關(guān)聯(lián)的量成正比例,就一個量變大 小 時,另一個量也變大 小 ；如兩個相關(guān)聯(lián)的量成反

5、比例,就一個量變大 小 時,另一個量反而變小 大 ；因此,在上例的4 中,留意到半徑愈大,圓的面積也愈大,故只需判定圓的面積與半徑不成正比例,就可肯定圓的面積與半徑不成比例； 例 3某學(xué)校共有同學(xué)697 人,已知低年級同學(xué)數(shù)的1/2 等于中年級同學(xué)數(shù)的2/5 ,低年級同學(xué)數(shù)的1/3 等于高年級同學(xué)數(shù)的2/7 ,求該校低.中.高年級各有多少名同學(xué). 分析 由題設(shè)條件可得低.中.高各年級的同學(xué)數(shù)的比,從而可按比例安排求得各年級的同學(xué)數(shù)；解 設(shè)低年級的同學(xué)數(shù)為 “1”,就中年級的同學(xué)數(shù)為1/2 ÷2/5=5/4,高年級的同學(xué)數(shù)為1/3 ÷2/7=7/6手：舌,從而,低.中.高年級

6、的同學(xué)數(shù)的比為：低中高=15/4 7/6=12 15 14,按比例安排得,低年級同學(xué)數(shù)：697×12/12+15 +14=204 人 ,中年級同學(xué)數(shù)： 697×15/12+15 +14=255 人 ,高年級同學(xué)數(shù)： ：697×14/12+15 +14=238 人 ；答：該校低.中.高年級的同學(xué)數(shù)分別為204 人. 255 人. 238 人； 注按比例安排時, 可先出每份對應(yīng)的量,再求出相應(yīng)的量；如：697÷12+15+17=17 人 ；從而,低年級有17×12=204人 ,中年級有17×15=255人 ,高年級有17×14=

7、238人 ； 例 4雛鷹小分隊為“期望學(xué)校”搞了一次募捐活動；她們用募捐所得的錢購買了甲.乙.丙三種商品, 這三種商品的單價分別為30 元.15 元和 10 元；已知購得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5 6,乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4 11,且購買丙商品比購買甲商品多花了210 元,求這次募捐所得的錢數(shù)； 分析 依據(jù)已知條件可先求出甲.乙.丙三種商品的數(shù)量比；即甲.乙.丙三種商品的份數(shù)比,再依據(jù)甲.丙商品的份數(shù)關(guān)系及單價,求出每份商品的實際數(shù)量,從而求出甲.乙.丙商品的數(shù)量,由此可得募 捐所得的錢數(shù)； 解已知：甲商品數(shù)乙商品數(shù)=5： 6,乙商品數(shù)丙商品數(shù)=4 11；于為,甲商品數(shù)乙商品數(shù)丙商品

8、數(shù)=1012 33,即甲.乙.丙商品分別有10 份. 12 份. 33 份；由于購買丙商品比購買甲商品多花210 元,所以,每份的商品數(shù)為210÷10 ×3330×10 =7 件 ；于為,甲商品數(shù)為： 7×10=70件 ,乙商品數(shù)為： 7×12=84件 ,丙商品數(shù)為： 7×33=231件 ；由此,募捐所得到的錢數(shù)為： 30×70+15×84+10×231=5670元 答：募捐所得到的錢為5670 元；“比和比例”應(yīng)用題錯解例析2021-05-07作者：佚名來源：網(wǎng)友投稿例 1 某車間要加工2220 個零件

9、, 單獨做, 甲.乙.丙三人所需工作時間的比為4 56；現(xiàn)在由三人共同加工,問完成任務(wù)時,三人各加工了多少個？錯解由甲.乙.丙三人單獨做所需工作時間的比為4 5 6,推出甲.乙.丙三人工作效率的比為6 54,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用按比例安排的思路解；評析上述解答錯在把甲.乙.丙三人工作效率的比看成為6 5 4；誠然, 假如甲. 乙二人工作時間的比為4 5,那么, 甲.乙二人工作效率的比就為5 4,這為正確的； 但為, 把甲. 乙.丙三人工作時間的連比為4 56 轉(zhuǎn)化成甲. 乙.丙三人工作效率的連比為6 54,那就大錯了！ 不錯, 工作效率的比等于工作時間比的反比； 從

10、已知條件看,甲.乙二人工作時間的比為4 5,所以,甲.乙二人工作效率的比為5 4；乙.丙二人工作時間的比為5 6,所以,乙.丙二人工作效率的比為6 5；這里的“ 54”表示甲5 份,乙 4 份,“ 65”表示乙 6 份,丙 5 分,兩個比都為兩重相比,其中同樣表示“乙”有幾份的數(shù)在前后兩個比中并不相同,我們怎么能將這兩個比直接變成甲.乙.丙三人工作效率的連比呢？明顯,上述解答中把甲.乙.丙三人工作效率的連比看成為6 5 4,為錯誤的；正確的解答應(yīng)當(dāng)為：甲.乙.丙三人工作效率的比=簡潔看出,由于5 4=15 12,6 5=1210,所以,由上述“甲.乙二人工作效率的比為54,乙.丙二人工作效率的

11、比為65”,也可以得到甲.乙.丙三人工作效率的比為為15 12 10；例 2 有兩瓶同樣重的鹽水,甲瓶鹽水鹽與水重量的比為1 8,乙瓶鹽水鹽與水重量的比為1：5；現(xiàn)將兩瓶鹽水 并在一起,問在混合后的鹽水中鹽與水重量的比為多少？錯解認(rèn)為在甲瓶鹽水中,鹽的重量為“1”,水的重量為“ 8”,在乙瓶鹽水中,鹽的重量為“1”,水的重量 為“ 5”,于為,將兩瓶鹽水并在一起,便得到鹽的重量為（1 1） 2,水的重量為（85） 13；（1+1）（ 8 5） =2 13答：在混合后的鹽水中鹽與水重量的比為2 13；評析上述解答的主要錯誤為把兩種物質(zhì)重量的最簡比,看成了就為兩種物質(zhì)詳細(xì)重量的比；甲瓶鹽水鹽與水重

12、量的比為1 8,不等于說在這瓶鹽水中鹽的重量為1 千克,水的重量為8 千克,乙瓶的情形也為一樣；從已知條件可以看出,在甲瓶鹽水中,鹽有1 份,水有8 份,鹽和水一共有（18） 9（份）,在乙瓶鹽水中,鹽有1 份,水有5 份,鹽和水一共有（1 5） 6（份）；由于兩瓶鹽水為“同樣重”,但甲瓶有9 份,乙瓶只有6份,所以,可見兩瓶鹽水中每“1份”的重量有多少為不相同的；上述解答簡潔地將兩瓶鹽水中每份重量不同的鹽和水的份數(shù)分別相加,然后再將兩個“和”組成一個比,便造成明白答的錯誤；正確的解答為：1 8=2 16, 2 16=18； 1 5=3： 15, 3 15 10；（ 2 3）（ 16 15）

13、5： 31答：在混合后的鹽水中鹽與水重量的比為531；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)校六年級奧數(shù)題: 專題訓(xùn)練之比和比例應(yīng)用題例.乘坐某路汽車成年人票價3 元,兒童票價2 元,殘疾人票價1 元,某天乘車的成年人.兒童和殘疾人的人數(shù)比為50:20:1 ,共收得票款26740 元,這天乘車中成年人.兒童和殘疾人各有多少人？提示 :單價比 : 成年人 :兒童 :殘疾人 =3:2:1人數(shù)比 :50:20:1 練習(xí) 甲乙兩人走同一段路,甲要20 分鐘,乙要15 分鐘,現(xiàn)在甲.乙兩人分別同時從相距840 米的兩地相向而行,相遇時,甲.乙各走了多少米？例. “期望學(xué)校 ”搞了一次募捐活動,

14、她們用募捐所得的錢購買了甲.乙.丙三種商品,這三種商品的單價分別為 30 元. 15 元和 10 元；已知購得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5:6,乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4:11, 且購買丙商品比購買甲商品多花了210 元；提示 :依據(jù)已知條件可先求三種商品的數(shù)量比； 練習(xí) 一種什錦糖為由酥糖.奶糖和水果糖按5:4:3 的比例混合而成,酥糖.奶糖和水果糖的單價比為11:8:7、要合成這樣的什錦糖120 千克,什錦糖每千克32.4 元,混合前的酥糖每千克為多少元？例. a .b.c 為三個順次咬合的齒輪；當(dāng)a 轉(zhuǎn) 4 圈時, b 恰好轉(zhuǎn) 3 圈；當(dāng) b 轉(zhuǎn) 4 圈時, c 恰好轉(zhuǎn) 5 圈,問這三個齒輪的齒數(shù)的最小數(shù)分別為多少？提示 :依據(jù)已知條件已知a .b.c 轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積都相等,即它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例；習(xí)題：1.甲.乙.丙三個平行四邊形的底之比為4:5:6 ,高之比為3:2:1,已知三個平行四邊形的面