1、勾股定理、平方根專題知識點整理判定直角三角形勾股定理勾股定理的驗證勾股定理和平方根定義、性質開平方運算平方根立方根定義、性質開立方運算實數近似數、有效數字第一節勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2 b2 c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理： 如果三角形的三邊長 a， b， c 有下面關系： a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形。2. 勾股數 ：滿足 a2 b2 c2 的三個 正整數 叫做勾股數（ 注意： 若

2、a， b， c、為勾股數，那么ka， kb， kc 同樣也是勾股數組。 ）* 附：常見勾股數：3,4,5 ； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,132223. 判斷直角三角形 ：如果三角形的三邊長 a、 b、 c 滿足 a +b =c ，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（ 1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。（ 2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（ 1）確定最大邊（不妨設為 c）；（ 2）若 c2 a2 b2，則 ABC 是以 C 為直角的三角形；若 a2 b2 c2，則此三角形

3、為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；若 a2 b2 c2，則此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）4. 注意 ：（ 1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（ 2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（ 3）在直角三角形中， 如果一條直角邊等于斜邊的一半， 那么這條直角邊所對的角等于 30°。5. 勾股定理的作用：（ 1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。（ 2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系。（ 3）用于證明線段平方關系的問題。（ 4）利用勾股定理，作出長為n 的線段二、平方根： （11 19 的平方）1、平方根定義 ：如果一個數的

4、平方等于a，那么這個數就叫做a 的平方根。（也稱為二次方根），也就是說如果2x =a，那么 x 就叫做 a 的平方根。2、平方根的性質 ：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；一個正數 a 的正的平方根， 記作“ a ”，又叫做算術平方根， 它負的平方根， 記作“a ”，這兩個平方根合起來記作“±a ”。（ a 叫被開方數， “”是二次根號， 這里“”，2亦可寫成“”）0 只有一個平方根，就是0 本身。算術平方根是0。負數沒有平方根。3、 開平方： 求一個數的平方根的運算叫做開平方，開平方和平方運算互為逆運算。4、（ 1） 平方根是它本身的數是零。（ 2）算術平方根是它本身的數是0和

5、 1。（ ）20 ,20 ,20 .aa aaa aaa a3（ 4）一個數的兩個平方根之和為0三、立方根： （1 9 的立方）1、立方根的定義 ：如果一個數的立方等于a，那么這個數就叫做a 的立方根。（也稱為二次3方根），也就是說如果x =a，那么 x 就叫做 a 的立方根。記作“ 3 a ”。2、立方根的性質：任何數都有立方根，并且只有一個立方根，正數的立方根是正數，負數的立方根是負數，0 的立方根是0.互為相反數的數的立方根也互為相反數，即3a =3 a (3 a )33a3a3、開立方： 求一個數的立方根的運算叫做開立方，開立方與立方運算為互逆運算，開立方的運算結果是立方根。4、立方根

6、是它本身的數是1，0， -1。5、平方根和立方根的區別：（1）被開方數的取值范圍不同：在a 中， a0，在 3 a 中， a 可以為任意數值。（2）正數的平方根有兩個，而它的立方根只有一個；負數沒有平方根，而它有一個立方根。6、立方根和平方根：不同點：（1）任何數都有立方根，正數和0 有平方根，負數沒有平方根；即被開方數的取值范圍不同：±a 中的被開方數a 是非負數；3 a 中的被開方數可以是任何數.（ 2）正數有兩個平方根，任何數都有惟一的立方根；（ 3）立方根等于本身的數有 0、 1、 1，平方根等于本身的數只有 0共同點： 0 的立方根和平方根都是0四、實數：1、定義 ：有理數

7、和無理數統稱為實數無理數 ：無限不循環小數稱（包括所有開方開不盡的數，）。有理數 ：有限小數或無限循環小數注意： 分數都是有理數，因為任何一個分數都可以化為有限小數或無限循環小數的形式2、實數的分類：正有理數有理數零有限小數或無限循環小數實數負有理數無理數正無理數無限不循環小數負無理數整數有理數有限小數或無限循環小數實數分數無理數（無限不循環小數）實數的性質：實數的相反數、倒數、絕對值的意義與在有理數范圍內的意義是一樣的。實數同有理數一樣， 可用數軸上的點表示， 且實數和數軸上的點一一對應。兩個實數可以按有理數比較大小的法則比較大小。實數可以按有理數的運算法則和運算律進行運算。3、近似數： 由

8、于實際中常常不需要用精確的數描述一個量，甚至在更多情況下不可能得到精確的數，用以描述所研究的量，這樣的數就叫近似數。取近似值的方法四舍五入法4、有效數字：對一個近似數，從左邊第一個不是 0 的數字起，到末位數字止，所有的數都稱為這個近似數的有效數字5、科學記數法：把一個數記為a 10n (其中1a10, n是整數）的形式，就叫做科學記數法。6、實數和數軸：每一個實數都可以用數軸上的點來表示；反過來， 數軸上每一個點都表示一個實數。數與數軸上的點是一一對應的。實勾股定理：（一）結合三角形：1.ABC的三邊a、 b 、c滿足(ab)2(b c)20，則ABC為三角形已知2. 在ABC 中，若 a

9、2=（ b + c ）（ b - c ），則ABC 是三角形，且903. 在ABC 中， AB=13 ， AC=15 ，高 AD=12 ，則 BC 的長為1.已知 x 12x y25與 z210 z25 互為相反數， 試判斷以 x 、 y 、 z 為三邊的三角形的形狀。2. 已知：在ABC 中，三條邊長分別為a 、 b 、 c ， a= n21， b =2 n ， c = n21（ n >1）試說明：C=90 。3.若ABC 的三邊 a 、b 、c 滿足條件 a2b2c233810 a24b26c ，試判斷ABC的形狀。4.已知a62 b8(c10) 20, 則以 a 、 b 、 c 為

10、邊的三角形是2.折疊問題：1.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6 ， BC=8 ，將 ABC折疊，使點B 與點A重合，折痕為DE ，則 CD 等于（）252275A.B.C.D.4343CDAEB（三）求邊長：1.（ ）在ABC 中，a、 b 、c分別是A、B、C的對邊，C=901R t已知： a =6， c =10 ，求 b ；已知： a =40 ， b =9，求 c ；2. 如圖所示，在四邊形 ABCD中， BAD= 90 ， DBC= 90 ，AD=3 ，AB=4 ，BC=12 ，求CD。一、平方根：（一）文字類題目：一個數的平方等于它本身，這個數是；一個數的平方根等于它本身，

11、這個數是；一個數的算術平方根等于它本身，這個數是一個數的立方根等于它本身，這個數是；一個正數的兩個平方根的和是_一個正數的兩個平方根的商是_（二） . 定義：1.（ 1） 81 的平方根是9 的數學表達式是（）A.819B.819C.819D.81981 的平方根是（）A.9B.9C.9D.39表示，9=。16 的數是，將 16 開平方得，因此平方與互為逆運算。4 的平方根是； 1的平方根是。的平方根是0.81。49（2）數有平方根嗎？若有，求出它們的平方根；若沒有，請說明理由。（1） -64；（2）（-4） 2 ；（3）-5 2（4）81（3）若 3a+1 沒有算術平方根，則a 的取值范圍是

12、若 3x-6 總有平方根，則x 的取值范圍是。若式子 x 1 的平方根只有一個，則x 的值是。3（4）已知x11xy4 ，那么 x- y =已知 a 為實數，那么a 2 等于（）A. aB. aC. -1D. 0（5）若 ( x3) 2y40 ，則 x + y =已知 a 29b 240 ，那么 a + b =已知 x 、 y 滿足：x2 y3(2x3y5) 20 ，那么 x -8 y 的立方根為（6）代數式3ab 的最大值是，這時 a 、 b 之間的關系是（ 7）若（ 8）若m10，則 m =；若 3m4 ，則 m的平方根是x3，則 x=，x 23 ，則 x=（9）下列個數中：232，56個

13、100，0， 6，8， 2沒有平方根的有2. 已知 ABC 的三邊分別是a、 b、c，且滿足a1b24b 4 0 ，求 c 的取值范圍。已知 a 、 b 為實數，且2a6b20 ，解關于 x 的方程：（ a+2） x + b2 = a -1。已知 4 a 2 -49=0 ，求3910a 的值。3. 列方程求值：（ 1） x2 =196；（ 2） 5 x2 -10=0；（3） 36（ x -3） 2 -25=04. （ 1）已知一個正數的平方根是2 x -1 和 3- x ，求這個數（ 2）已知 x y 3 與 xy 1 是一個數的兩個平方根，求2x y 的平方根。5. 估算：（1）比較大小：

14、5與251 與 3524（2） a、 b 為兩個連續的整數，且 a7 b ，則 ab =滿足 -2 <x<3 的整數是；實數的絕對值是73 。（3）若 m =404 ，則估計 m的值所在的范圍是（）A. 1 m 2B. 2 m 3C. 3 m 4D. 4 m 56. 計算：（1）3232（2）、下列計算正確的是（）9511D、25 5A 、 14B、42C、 0.25 0.0516227. 平方根的性質：120.012=； 5；4162=；162；5 2=。二、立方根1. 定義：（1）如果a 是x 的立方根，那么下列說法正確的是（）A. a 也是 x 的立方根C. a 是 -x 的

15、立方根B.D.a 是 -x 的立方根a 和 a 都是 -x 的立方根（2）下列各式：393； 30.0010.1； 30.10.1；30.80.2 ，其中錯誤的有個2. 根據定義求值：（1）求值：3 210（2）3827125（2）方程：x 3 31x31252163. 估算：（1）估計A.2 與68 的立方根大小在（3 之間B.3）與4之間C.4 與5 之間D.5與6 之間（2）通過估算3420 的整數部分為（）A. 6B. 7C. 8D. 9（3） 3 100 估算到個位 =4. 平方根與立方根相結合：（1）若 2x+1 的平方根是5 ，那么 5x+4 的立方根是（2）已知 x 8，求 3

16、1x 的值。8（3）已知 m 滿足2m 13 ， k、 n 滿足 k 3 291 7n 0，求 k m23n 的值3三、實數：1. 實數的定義：1.判斷下列說法是否正確，為什么？（ 1）無限小數是無理數；（ 2）有理數都是是有限小數；（ 3）無理數都是無限小數；（ 4）帶根號的數都是無理數（ 5）任何實數的偶次冪都是正實數；（6）在實數范圍內，若xy ，則 x = y 。（ 7） 0 是最小的實數；（ 8） 0 是絕對值最小的實數；（ 9）數軸上的點與有理數是一一對應的（ 10）數軸上的點與實數是一一對應的2.下列說法正確的是（）A. 不存在最小的實數C. 無限小數都是無理數B. 有理數是有限

17、小數D.帶根號的數都是無理數3.下列說法正確的是（）A. 無限小數是無理數C.無理數的相反數還是無理數B. 不循環小數是無理數D.兩個無理數的和還是無理數4. 把下列各數填入相應的集合內：，314.，3，1732.， 0， 0. 3，18，25， 21，7，163 13631、 38 、0、27 、 0.5 、 3.14159、 -0.0200200020.1212112111223（1）有理數集合 （2）無理數集合 （3）正實數集合 （4）負實數集合 2. 有效數字、科學記數法、近似數：注意： 2000 有 4 個有效數字，精確到個位2 103 有 1 個有效數字，精確到千位1. 有幾個有效

18、數字，保留幾個有效數字：用四舍五入法，按要求取近似值： .地球上七大洲的面積約為149480000 （保留 2 個有效數字） 25.8 萬（保留 2 個有效數字）小明身高 1.595m （保留 3 個有效數字） 0.0608 ，0.0608002.精確到哪一位：由四舍五入法得到的近似數，分別精確到哪一位？各有幾個有效數字？小明身高1.59m；地球的半徑約為6.4 ×103；組成云的小水滴很小，最大的直徑約為0.2mm；某種電子顯微鏡的分辨率為1.4 ×10-8； 70 萬9.03 萬1.8 億 6.401050.0900803.精確到 0.1，0.01 等：精確到個位（或精確到1）是精確到十分位（或精確到0.1）是精確到百分位（或精確到0.01）是精確到千分位（或精確到0.001）是小亮用天平稱得罐頭的質量為2.026kg，按下列要求取近似數，并指出每個近似數的有效數：精確到0.01kg;精確到0.1kg;某人一天飲水1890ml （精確到1000ml ）精確到1kg.的眼睛可以看見的紅光的波長為0.000077cm（精