1、2020年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標I）班級：姓名：得分：一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 若z = 1 + if 貝IJI -*" -2z =()A. 0B. 1C.血D. 22. 設集合j4 = 兀IF 4 0» B = x2x + 0,且 Ar B = x 2 1,貝IJa =B. -2C.2D.4A. -43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形 狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的髙為邊長的 正方形而積等于該四棱錐一個側而三角形的面積， 則其側而三角形底邊上的高與底而正方形的邊長 的比值為（）A.B. C. ±AD. &

2、#177;242424. 已知A為拋物線Czy- = 2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12,到y軸 的距離為9,則p =（）A. 2B. 3C.6D.95. 某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發芽率y和溫度鞏單位：。C）的關系， 在20個不同的溫度條件下進行種子發芽實驗，由實驗數據（叭，E）（i = 1, 2, ， 20）得到下而的散點圖：100%M林騏COW溫由此散點圖，在10。C至40。C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發芽率y和 溫度X的回歸方程類型的是（）A. y = a + bx B. y = +b2 C. y = a + l）e, D. y = a +

3、 bnx函（X） =x4-2x3的圖像在點（1（1）處的切線方程為（）A. y = -2x - 1 B. y = 一2x + 1 C. y = 2x - 3 D. y = 2x+l 設函數f（x）=2（Mx + ；）在亦，兀的圖像大致如下圖，則f（x）的最小正周期6.7.&9.10.11.12.13.14.15.A.IOttB- yc Td第3頁共18頁（X + y）5的展開式中y3的系數為（）A. 5B. 10C. 15已知C (0阿),且3cos2 8cos = 5,貝IJSin =(D. 20已知兒B, C為球O的球而上的三個點，OOI為Aabc的外接圓.若©6的而 積

4、為47, AB = BC=AC=Oe）則球O的表面積為（）A. 64TTB. 48itC. 36亦D. 32兀已知OMZ二+/-2尤一 2y - 2 = 0,直線h2x+y + 2 = 0, P為/上的動點，過 點P作OM的切線PA, PB,且切點為兒B,當PMVAB最小時，直線AB的方 程為（）A. 2x-y-l = 0 B. 2x + y- 1 = O C 2% -y + 1 = O D 2% + y + 1 = O lf2 + log2 = 4b + 21og4b> 貝J()A. a>2bB. a < 2bC. a >b2D. a <b2 填空題（本大題共4

5、小題，共20.0分）2÷y-2（>,玄一 9 1 2（人貝肱=x + 7y的最大值為3 + l 設紜，斎為單位向量，且r + T = .貝IJITr-Tl=.2 2已知F為雙曲線C：尋-*= l（ >0fb> 0）的右焦點，為（7的右頂點，B為C上的點且BF垂直于軸若AB的斜率為3,則C的離心率為.16.如圖，在三棱- ABC的平而展開圖中，AC = I, AB = AD =3 , AB丄AGAB丄 AD9 Z CAE = 3C ,則匕用 Z FCB =三、解答題(本大題共7小題，共80.0分)17.設如是公比不為1的等比數列，為血，“3的等差中項.求%的公比;(2

6、)若«1 = 1,求數列加町的前舁項和.18.如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底而的圓心，AE為底面直徑，AE=AD. AABC是底面的內接正=角形，P為Do上一點,PO = -D0.CL)證明：PA丄平而P3C；(2)求二面角B -PC E的余弦值.19. 甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，預左賽制如下：累訃負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首次比賽的兩個人，另一人輪空;每場比賽 的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人淘汰;當一人被淘 汰后，剩余的兩人繼續比賽，直至其中一人被淘汰，期一人最終獲勝，比賽結朿.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為(1

7、) 求甲連勝四場的概率；(2) 求需要進行第五場比賽的概率；(3) 求丙最終獲勝的概率第5頁.共18貞»20. 已知兒B分別為橢圓E+L=I(>l)的左、右頂點，G為E的上頂點，Ad -gB = 8, P為直線X = 6上的動點，PA與E的另一交點為C,"與E的另一交 點為D,(1) 求E的方程；(2) 證明：直線CD過定點21. 已知函f(X) =+2-x.(1) 當 = l時，討論f(x)的單調性；(2) 當XO時，/() i X3+1,求"的取值范圍.22. 選修4 - 4：坐標系與參數方程X = CoS f,在直角坐標系Xoy中，曲線G的參數方程為.

8、 f (力為參數)以坐標原點為y = SIlI f極點,X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為4" Z Q _16" Sm0+3 = 0當k = f, Cl是什么曲線？(2)當Zc =4時，求Crl與C?的公共點的直角坐標.23. 選修4 一 4：坐標系與參數方程 已知函數門咒)=3x+ l-2x- 1|.(1) 畫岀y = /(%)的圖像；(2) 求不等式f (咒)> /(% + 1)的解集.答案和解析1. D解:由Z = 1 + i得以=2i> 2z = 2 + 2i, z2 2z = 2i (2 + 2i) = 2.2. B解：由已知可得4 =

9、 x-2x2, B = (XlX <-9 又因為力 F = x-2 x 1,所以一專=1,從而Q =2,解:如圖設正四棱錐的髙為力，底而邊長為4側而三角形底邊上的髙為H,(h2 = -ah,則由題意可%訥丄孑2-2=h化簡可得4()2 一 2(?) 一 1 = 0,解得夕=¥ 負值舍去可得竺=坯a 44. C解：設點A的坐標為(x,y),由點A到F軸的距離為9,可得 = 9,由點A到點Q的焦點的距離為12,可得x + =12解得p = 6.5. D解：用光滑的曲線把圖中各點連接起來，由圖象的走向判斷，此函數應該是對數函數類 型的，故應該選用的函數模型為y = + bln X.6

10、. B解：先求函數的導函數f(x) = 4%3 一 6送，則由函數的幾何意義可知在點(1(1)的切線斜率為k = ,(1) = -2.又因為r(l) = -1,則切線方程為y_ (-1) = -2(%-1),則y = -2x+ 1.7. C解：由圖可知/(-Y) = cos(-y W +)=0, 所以一#w + £ = £ + r(k Z),化簡叮得W = 年W Z),又因為T <2< 2T,即尋V2V舒，所以1 < < 2,當且僅當k = -l時1 V3V2,所以w = £ 所以最小正周期T =話=孑.8. C解：(x+y)啲展開式通項為

11、CfXS-ryr, r = 0, 1, 2, 3, 4, 5,則(x + )(x + y)s的展開式有xCx3ryr, -Cx3-ryr,取r = 3和=l時可得10%3y3, 5x3y3,合并后系數為15,9. A解： 3cos2 8cos = 5, 3(2cos2 1) 8cos = 5» 即3cos2 4cos 4=0,(3COSa + 2)(COSa 2) = O, a (0,), HpCOSa =二，3又 (0,Tr), Sina > Ot Sina = cos2a = »310. A解：由圓O丄的而枳為47 = r2,故圓O丄的半徑P = 2»

12、AB = BC=AC= OOIf則三角形ABC是正三角形，第9頁.共18頁由正弦定理：島=2“ 4,= OoI = 23,由R2 =r2 + OO1z得球O的半徑R = 4,表而枳為4P2 = 64911. D解:圓M方程化為:(X- I)2 +(y I)2 = 4t圓心M(l,l)t半徑護=2,根據切線的性質及鬪的對稱性町知PA/丄AD.K'JlPMl AB = 4SMM = 2PA 4Mb要使其值最小,只需P4最小,即IPMl最小，此時PNfll, IPMl = T笄=5, PA = JIPMl2- 4M2 = 1>過點M且垂宜于I的方程為y - 1 = "x -

13、1),聯立/的方程解得P(-l,0),以P為圓心，P>4為半徑的圓的方程為(x+l)2+y2 = l>即K + y2 + 2 = o,結介圓M的方程兩式相減可得直線AB的方程為2% + y + 1 = 0,12. B解:根據指數及對數的運算性質 4b + 2log4b = 22b+log2b, log2(2b) = log2b + 1 > log25, 22b + Iog2(2b) > 22b + log2fe = 2a + log2* 根據函數f(x) = 2- + log2%是定義域上的增函數, 由/(2b) > f(),得a V 2b,131解：根據約束條件

14、畫出可行域為:由z = x + 7y得y = -扌 +扌z,平移直線y =-扌廠 要使Z最大，則y = - * +扌Z在y軸上的截距最大, 由圖可知經過點A(IfO)時截距最大，此時z=l.14. 3解:a + bl2 = a2 + b + 2 a b = 2 + 2 b = la b2 =a+b 2a b = 2 2b = 3.,. a-b z315. 2解：由題意可知，B在雙曲線C的右支上，且在X軸上方, 3F垂直于X軸，!% = C 代入g-g=l,得 y = ?,. B點坐標為(C,三)，又人點坐標為(,0),化簡得 b? = 3ac 3az = cz a29 即 2疋3ac + c2

15、 = Ot 解得C = 2或C = （舍）， 故 e = Y= 2.16. -74解:由已知得BD = f2AB = 6 D、E、F重合于一點， AE=AD = 3* BF = BD= 6 ACE中，由余弦定理得CEI = AeI + AE2 -tIAC AE 心 CAE=I2+ (3)2- 2 x 1 x aco 30。= 1 , CE = CF = I9 BC2 = AC2 +AB2. BC = 2、在卜BCF中，由余弦左理得cow 乙 FCIiBCV2÷ CF2 一 BFo 2 + 瀘一(V12BCCF2x1x2417解：囹設等比數列%的公比為q(<7l)>由題意知

16、:21 = a2 + a3 f UP2a1 = a1q + a1q29所以q2 + q-2=0.解得q = -2.(2)若Ol = If RlJan = (2)n1所以數列Qn的前 n 項和為幾=1 +2× (-2) + 3× (-2)2 + - + n(-2)7l¼則-2Tn = -2 + 2 X (-2)2 + 3 × (-2)3 + + n(-2)n,兩式相減得 3幾=1 + (-2) + (-2)2 + (-2)3 + (-2)n1 一 n(-2)(-2)" _1-(-2)n(-2)n =l-(3n÷l)(-2)n3所以幾=)

17、(2尸1& (l)ilE明：不妨設0 0的半徑為 1,貝IMO = OB = OC = 1. AE=AD= 2, AB = BC=CA = 3. DO = fDA2 - OA2 = 3, PO = -DO =.6 2PA=PB = PC = P02 + 加2 =蘭,2在APAC中，PA2+PC2 = AC29 故PS 丄 PC,同理可得PA 丄 PB, PBcPC = P、PB. PC 平而 PBC.第15貞，共18頁PA丄平而PBC(2)解：以OE, OD所在直線分別為兒Z軸，圓錐底而內垂直于OE的直線為X軸，建 立如圖所示的空間直角坐標系0 -%yz, 則彳 J B (弓,和)，C

18、(_$0),P (OO y) / E (0,1,0)，BC = (-3,00),CE = (f,),C? = (y>"pf)>聶鳥,解航=(皿】),設平而PBC的法向量為局=(x1, ylt ZI),則nn2 瓦IlHl同理可得平而PCE的法向翁 = (2,-6,-23)> 由圖形可知二面角B-PC-E為銳角，貝IJCoS0 = 故二而角B -PC- E的余弦值為迺S19. 解：(1)甲連勝四場只能是前四場全勝則P = (I)4 = ±(2)設甲輸掉一場比賽為事件A,乙輸掉一場比賽為事件乩 丙輸掉一場比賽為事件G 四場比賽能結朿為事件M 貝IJP(N) =

19、 P(ABAB) + P(ACAC) + P(BABA) + P(BCBC)=備 4 =扌所以需要進行第五場比賽的概率為(3)丙獲勝的概率為:P = P(ABAB) + P(BABA) + P(ABACB) + P(BABCA) + P(ABCAB) + P(ABCBA) +P(BACAB) + P(BACBA) + P(ACABB) + P(ACBAB) + P(BCABA) + P(BCBAA)= C)42 + (護 Xlo=20. W-：由題意 A(-af O)J B(af 0), G(OfIXAG = (afl)fGB = (,-l),AG GB = a2-l = 8=>a2=9

20、=>a = 3橢圓E的方程為手+ y2= 1.(2)由(1)知4(-3,0)B(3 X)J(6加), 則直線PA的方程為y = y(x + 3),y =專3 + 3)聯立“=> (9 + m2)x2 + 6m2x + 9m2 -QI = Of十=由韋達立理一3牝=叱M斗牝=土孚，代入直線PA的方程y =專( + 3)得 yc =9+zn9+ZH-T6zn JJrl ,-3m2+27 6m 9+t2'', C I 9+加'9+7'直線PB的方程為y=中（x_3）,y = (% 3)聯立“3=> (1 + m2)x2 - 6m2x + 9m2 -9

21、 = 0, + y2 = 由韋達龍理3小=害n E = M代入直線PA的方程y =專G 3）得.yD = l+m2l+m即苗熬）,6m _ -am直線CD的斜率紇D = = i9+m- +m直線CD的方程為y_魯=呂（一害）,整理得y = i3'r直線CD過圧點（|，0）21. 解：(1)當 = l 時，/(x) = ex + x2-x, ,(x) = e* + 2x - 1, ic=r>因為 g'(x) = e- + 2>0,所以 P(X)=尸(X) = ex+2x-ltR 上單調遞增, 又 f (0) = 0,得:衣> 0時f (X) > 0,即f(x) = ex + x2-x在(0,+8)上單調遞增；< 0時尸(X)< 0,即f(x) = ex + x2-x在(一8,0)上單調遞減.所以W ex+ x2 -X在(一8,0)上單調遞減，在(0, +)上單調遞增.(2)當X = 0時，a R:> 0時，/(%) > 3+ IRpa > Z+2,LX2人r8+x+