1、中考總復習：分式及二次根式知識講解（基礎）【考綱要求】1. 了解分式的概念，會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據具體問題數量關系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性質進行二次根式的化簡，運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進行二次根式的運算【知識網絡】【考點梳理】考點一、分式的有關概念及性質1分式設A、B表示兩個整式如果B中含有字母，式子就叫做分式注意分母B的值不能為零，否則分式沒有意義.2.分式的基本性質（M為不等于零的整式）.3最簡分式分子及分母沒有公因式的分式叫做最簡分式如果分子分母有公因式

2、，要進行約分化簡.要點詮釋：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分數線則可以理解為除號，還含有括號的作用；（2）分式中，A和B均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必須含有字母且不為0；（3）判斷一個代數式是否是分式，不要把原式約分變形，只根據它的原有形式進行判斷（4）分式有無意義的條件：在分式中， 當B0時，分式有意義；當分式有意義時，B0 當B=0時，分式無意義；當分式無意義時，B=0 當B0且A = 0時，分式的值為零考點二、分式的運算1基本運算法則分式的運算法則及分數的運算法則類似,具體運算法則如下:（1）加減運算±=同分

3、母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進行計算.（2）乘法運算兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運算兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再及被除式相乘.（4）乘方運算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方2零指數.3負整數指數 4分式的混合運算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的5約分把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分6通分根據分式的基本性質，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分要點詮釋：約分需明確的問

4、題：(1)對于一個分式來說，約分就是要把分子及分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；(2)約分的關鍵是確定分式的分子和分母的公因式，其思考過程及分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數的最大公約數和相同字母最低次冪的積通分注意事項：(1)通分的關鍵是確定最簡公分母；最簡公分母應為各分母系數的最小公倍數及所有因式的最高次冪的積(2)不要把通分及去分母混淆，本是通分，卻成了去分母，把分式中的分母丟掉(3)確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數，取各分母系數的最小公倍數；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.考點三、分式方程及其應用1分式方

5、程的概念分母中含有未知數的方程叫做分式方程2分式方程的解法解分式方程的關鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡公分母將分式方程轉化為整式方程3分式方程的增根問題驗根：因為解分式方程可能出現增根，所以解分式方程必須驗根驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解4分式方程的應用列分式方程解應用題及列一元一次方程解應用題類似，但要稍復雜一些解題時應抓住“找等量關系、恰當設未知數、確定主要等量關系、用含未知數的分式或整式表示未知量”等關鍵環節，從而正確列出方程，并進行求解另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結果的合理性要點詮釋：

6、解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要及通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解列分式方程解應用題的基本步驟：(1)審仔細審題，找出等量關系；(2)設合理設未知數；(3)列根據等量關系列出方程；(4)解解出方程；(5)驗檢驗增根；(6)答答題考點四、二次根式的主要性質1.；2.；3.；4. 積的算術平方根的性質：；5. 商的算術平方根的性質：.6.若，則.要點詮釋：及的異同點：（1）不同點：及表示的意義是不同的，表示一個正數a的算術平方根的平方，而表示一個實數a的平方的算術平方根

7、；在中，而中a可以是正實數，0，負實數但及都是非負數，即，因而它的運算的結果是有差別的， ，而（2）相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.考點五、二次根式的運算1二次根式的乘除運算(1)運算結果應滿足以下兩個要求：應為最簡二次根式或有理式；分母中不含根號.(2)注意知道每一步運算的算理；2二次根式的加減運算先化為最簡二次根式，再類比整式加減運算，明確二次根式加減運算的實質；3二次根式的混合運算(1)對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應先算括號里面的；(2)二次根式的混合運算及整式、分式的混合運算有很多相似之處，整

8、式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用.要點詮釋：怎樣快速準確地進行二次根式的混合運算.1.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；2.在二次根式的混合運算中，原來學過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；3.在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法及乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進行乘法運算，二是進行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中，對于各個根式不一定要先化簡，可以先乘除，進行約分，達到化簡的目的，但最后結果一定要化簡.例

9、如，沒有必要先對進行化簡，使計算繁瑣，可以先根據乘法分配律進行乘法運算，通過約分達到化簡目的；(2)多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如：，利用了平方差公式.所以，在進行二次根式的混合運算時，借助乘法公式，會使運算簡化.【典型例題】類型一、分式的意義1使代數式有意義的的取值范圍是（ ）A. B. C.且 D.一切實數【答案】C；【解析】解不等式組得且，故選C【點評】代數式有意義，就是要使代數式中的分式的分母不為零；代數式中的二次根式的被開方數是非負數，即需要中的x0；分母中的2x-10.舉一反三：【高清課程名稱：分式及二次根式高清ID號：399347關聯的位置名稱（播放

10、點名稱）：例1】【變式】當x取何值時，分式有意義?值為零?【答案】當時，分式有意義，即時，分式有意義.當且時，分式值為零，解得，且，即時，分式值為零.類型二、分式的性質2已知,求下列各式的值.(1); (2).【答案及解析】(1)因為,所以.即.所以.(2),所以.【點評】觀察(1)和已知條件可知,將已知等式兩邊分別平方再整理,即可求出(1)的值;對于(2),直接求值很困難,根據其特點和已知條件,能夠求出其倒數的值,這樣便可求出(2)的值.舉一反三：【變式】已知求的值.【答案】 由得所以即.所以.類型三、分式的運算3計算【答案及解析】【點評】異分母分式相加減，先根據分式的基本性質進行通分，轉化

11、為同分母分式，再進行相加減.在通分時，先確定最簡公分母，然后將各分式的分子、分母都乘以分母及最簡公分母所差的因式.運算的結果應根據分式的基本性質化為最簡形式.舉一反三：【高清課程名稱：分式及二次根式高清ID號：399347關聯的位置名稱（播放點名稱）：例2】【變式】已知，化簡求值：【答案】原式類型四、分式方程及應用4如果方程 有增根, 那么增根是.【答案及解析】因為增根是使分式的分母為零的根,由分母或可得.所以增根是.答案: 【點評】使分母為0的根是增根.5為創建“國家衛生城市”，進一步優化市中心城區的環境，德州市政府擬對部分路段的人行道地磚、花池、排水管道等公用設施全面更新改造，根據市政建設

12、的需要，須在60天內完成工程現在甲、乙兩個工程隊有能力承包這個工程經調查知道：乙隊單獨完成此項工程的時間比甲隊單獨完成多用25天，甲、乙兩隊合作完成工程需要30天，甲隊每天的工程費用2500元，乙隊每天的工程費用2000元（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成各需多少天？（2）請你設計一種符合要求的施工方案，并求出所需的工程費用【答案及解析】（1）設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需（x+25）天 根據題意得： 方程兩邊同乘以x（x+25），得30（x+25）+30x=x（x+25），即x235x750=0解之，得x1=50，x2=15 經檢驗，x1=50，x2=15都是原方程的

13、解但x2=15不符合題意，應舍去當x=50時，x+25=75答：甲工程隊單獨完成該工程需50天，則乙工程隊單獨完成該工程需75天（2）此問題只要設計出符合條件的一種方案即可方案一：由甲工程隊單獨完成（ 所需費用為：2500×50=125000（元）方案二：由甲乙兩隊合作完成所需費用為：（2500+2000）×30=135000（元）【點評】本題考查分式方程在工程問題中的應用分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵工程問題的基本關系式：工作總量=工作效率×工作時間（1）如果設甲工程隊單獨完成該工程需x天，那么由“乙隊單獨完成此項工程的時間比甲隊單

14、獨完成多用25天”，得出乙工程隊單獨完成該工程需（x+25）天再根據“甲、乙兩隊合作完成工程需要30天”，可知等量關系為：甲工程隊30天完成該工程的工作量+乙工程隊30天完成該工程的工作量=1（2）首先根據（1）中的結果，排除在60天內不能單獨完成該工程的乙工程隊，從而可知符合要求的施工方案有兩種：方案一：由甲工程隊單獨完成；方案二：由甲乙兩隊合作完成針對每一種情況，分別計算出所需的工程費用舉一反三：【變式】萊蕪盛產生姜，去年某生產合作社共收獲生姜200噸，計劃采用批發和零售兩種方式銷售經市場調查，批發每天售出6噸（1）受天氣、場地等各種因素的影響，需要提前完成銷售任務在平均每天批發量不變的情況下，實際平均每天的零售量比原計劃增加了2噸，結果提前5天完成銷售任務那么原計劃零售平均每天售出多少噸？（2）在（1）的條件下，若批發每噸獲得利潤為2000元，零售每噸獲得利潤為2200元，計算實際獲得的總利潤【答案】（1）設原計劃零售平均每天售出x噸根據題意，得，解得x1=2，x2=16經檢驗，x=2是原方程的根，x=16不符合題意，舍去答：原計劃零售平均每天售出2噸（2）實際獲得的總利潤是：2000×6×20+2200×4×20=416000（元）類型五、二次根式的定義及性質6當x取何值時，的值最