1、精品文檔精品文檔第一講分?jǐn)?shù)的拆分【思維規(guī)律】11111 31 255110152 53523 523 5235306怎樣才能把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)不同分?jǐn)?shù)和的形式呢？我們?nèi)砸?116()()為例。因?yàn)?1562 3235（擴(kuò)分）23232352 3523 5（拆開(kāi)）231130301510（約分）所以1116(15)(10)通過(guò)上題可以看出，拆分主要有以下幾個(gè)步驟：1把16的分母寫成質(zhì)因數(shù)乘積的形式。即：1162 32把123的分子和分母同時(shí)乘以5，成為1 523 5的形式，這叫做擴(kuò)分。注意：為什么要乘以5？因?yàn)?5 正好是分母6 的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的和。3把分子拆成分母的兩個(gè)質(zhì)因數(shù)的和。再拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)

2、的和。即：1 5232352 3523 54把拆開(kāi)后的兩個(gè)分?jǐn)?shù)約分，化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1填空：11114()()，并寫出過(guò)程。精品文檔精品文檔例 2填空：11118()()。例 3填空：111118()()()。例 41111111()()()()()()。能不能把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式呢？觀察下面的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，看左右兩邊有什么關(guān)系。111 22111122112361112361134121113412觀察上面幾個(gè)式子可以得到，即：111(1)1nnnn（公式 1）例 5填空：11116()()；211112()()；311156()()。5511 1617611161151

3、1161761766632 8168118263281616822796311972796363同樣，觀察上面幾個(gè)式子可以得到，即：11()dnndnnd（公式 2）精品文檔精品文檔例 6把下面各分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。1524232832634718例 7計(jì)算：1111198819891989 19901990 19911991例 8計(jì)算：1111112612203042例 9計(jì)算：2222112 1414 1616 18182020例 10計(jì)算：111111 5599 1313 171721例 11計(jì)算：1121119911990112221991199119911991lll例 12計(jì)

4、算：121123211234321()()()222333334444444精品文檔精品文檔【培優(yōu)高手】1. 在下列各式的括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)。111128()()211115()()3111132()()()4111124()()()2. 11111111()()()()()()()3. 111116()()()()4. 把下面各分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。124521725. 1111110 1111 1212 1313 1414 15 6. 111111 4477 1010 1313 167. 1111112233 498 9999 100+創(chuàng)創(chuàng)?l8. 已知 a 和 b 都是自然數(shù)，且1

5、1145ab，試求 a 與 b 的和。9. 三個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和是231a，則 a 是多少？精品文檔精品文檔第二講分?jǐn)?shù)運(yùn)算技巧【思維規(guī)律】在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題中，有關(guān)分?jǐn)?shù)巧算的題很常見(jiàn)，這就需要我們掌握分?jǐn)?shù)運(yùn)算的技巧，養(yǎng)成速算、巧算的習(xí)慣，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，靈活運(yùn)用運(yùn)算法則、定律、性質(zhì)和某些公式，使算式化難為易。1、運(yùn)算定律加法交換律： abba結(jié)合律：（ ab） ca（ bc）乘法交換律： ab ba結(jié)合律：（ ab ）ca （bc）分配律： （ab）ca cb c2、運(yùn)算性質(zhì)商的不變性：同大同小商不變。積的不變性：一大一小積不變。3、同級(jí)運(yùn)算添去括號(hào)技巧括號(hào)前是加號(hào)、乘號(hào)，添去括號(hào)不變號(hào)；括

6、號(hào)前是減號(hào)、除號(hào)，添去括號(hào)變反號(hào)；加號(hào)反號(hào)是減號(hào)，乘號(hào)反號(hào)是除號(hào)。4、代數(shù)法巧解有些四則混合計(jì)算題步驟多而復(fù)雜，計(jì)算繁而難，把算式中相同的一部分式子，設(shè)字母代替，可以化繁為簡(jiǎn)，化難為易。5、熟記常用數(shù)據(jù)：10.254，30.754，10.25，20.45，30.65，40.85，10.1258，30.3758，50.6258，70.8758，10.0520，30.1520，10.0425，20.08256、計(jì)算中的注意事項(xiàng)：（1）全面審題，先算哪一步，再算哪一步，最后算哪一步，運(yùn)算順序不能錯(cuò)；如：加、乘abc a（ bc）abc a（ bc）減、除a（bc） abca（bc） abc精品文檔精

7、品文檔（2）觀察題目中的結(jié)構(gòu)和特征，分析題中數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算關(guān)系，判斷是否用定律、性質(zhì)，盡量選擇簡(jiǎn)便方法計(jì)算；（3）掌握一定巧算方法和運(yùn)算技巧，提高計(jì)算速度。【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1（1）371449(82)411411（2）13263392544413例 2（1）443745（2）537776例 3（1）1173158（2）1201122010例 4（1）11664120（ 2）20112011 20112012例 5200620071200620052007例 61111111248163264128精品文檔精品文檔【培優(yōu)高手】（1）584972(21)917517（2）81813(43)0.7

8、513413（3）13579111349494949494949（4）13392744（5）31535251616（6）13274155（注： 1 6 題參照例1）（7）555556（8）335758（9）293130（10）87135（注： 7 10 題參照例2）（11）1164179（12）11222021（13）115776（14）131441513445（注： 11 14 題參照例3）（15）254175（ 16）444397（ 17）238238238239（18）2000200020002001（注： 15 18 題參照例4）精品文檔精品文檔（19）1993 1994 11993

9、1992 1994（20）1998 1998 20001999 2000 1（21）2006 (4.3 874.4)4.3 874.3（注： 19 21 題參照例5）（22）1111118163264128256（23）2222392781（注： 22 23 題參照例6）（24）1111111111(1)()(120052006200720052006200720082005200620071111)()2008200520062007（注： 23 24 題參照例5）精品文檔精品文檔第三講列方程解應(yīng)用題【知識(shí)鞏固】解下列關(guān)于x 的方程：（1）6754xx-=+（2）()()4 413 222x

10、x-=-（3）()7 2684x-=（4）()()9 2325 21xx-=-（5）()583xx-=（6）4.292.52.9xx-=+【思維規(guī)律】在一些數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)題中，要列出算式來(lái)解答難較大，有時(shí)甚至要無(wú)法列出，這時(shí)我們可以考慮用列方程的方法來(lái)解答。列方程解應(yīng)用題的一般方法是：先設(shè)未知數(shù)，然后把未知數(shù)和已知數(shù)同等看待，根據(jù)題意求出方程的解。列方程解應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)比較重要的數(shù)學(xué)思想方法。【例題講練】例 1小惠今年 6 歲，爸爸今年的年齡是她的5 倍，幾年后爸爸的年齡是小惠年齡的3 倍？精品文檔精品文檔例 2甲乙兩筐有蘋果若干千克，甲筐重量是乙筐的3 倍。如果甲筐取出150

11、 千克，乙筐增加50 千克，甲、乙兩筐的重量就相等，求甲、乙兩筐原重各多少千克？例 3小華看一本書，如果每天看30 頁(yè)，則最后一天要多看17 頁(yè)；如果每天看35 頁(yè)，則最后一天要少看18 頁(yè)。這本書有多少頁(yè)？計(jì)劃看多少天？例 4幼兒園分四個(gè)買來(lái)一些蘋果，如果每個(gè)小朋友分4 個(gè)，則多4 個(gè)；如果每個(gè)小朋友分5個(gè)，則又少20 個(gè)，問(wèn)幼兒園有幾個(gè)小朋友？買了多少個(gè)蘋果？（盈虧問(wèn)題）例 5某車間生產(chǎn)甲乙兩種零件，生產(chǎn)的甲零件比乙零件多12 個(gè)，乙零件全部合格，甲零件只有45合格，兩種合格的零件一共有42 個(gè)，兩種零件各生產(chǎn)了多少個(gè)？例 6甲乙兩個(gè)商店共有電視機(jī)118 臺(tái)，甲商店賣出原有的35，乙商店賣

12、出6 臺(tái)，則甲乙兩家商店剩下的電視機(jī)數(shù)相同，甲乙兩家商店原有各有電視機(jī)多少臺(tái)？精品文檔精品文檔例 7甲乙兩校共有22 人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，甲校參加人數(shù)的15比乙校參加人數(shù)的14少 1 人，甲乙兩校各有多少人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽？例 8一個(gè)班的女同學(xué)比男同學(xué)的23多 4 人，如果男生減少3 人，女生增加4 人，男女生人數(shù)正好相等。這個(gè)班男、女生各有多少人？例 9某工廠第一車間人數(shù)比第二車間的45多 16 人，如果從第二車間調(diào)40 人到第一車間，這時(shí)兩個(gè)車間的人數(shù)正好相等，原來(lái)兩個(gè)車間各有多少人？例 10生產(chǎn)一批零件，第一天生產(chǎn)了180 件，第二天生產(chǎn)的是總數(shù)的14少 30 個(gè)，兩天共生產(chǎn)了總數(shù)的13，這批零

13、件共有多少個(gè)？【培優(yōu)高手】1. 某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生比男生多28 人，男生全部得優(yōu)，女生的34得優(yōu)，男女生得優(yōu)的一共有42 人，男、女生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的各有多少人？精品文檔精品文檔2. 六年級(jí)甲班比乙班少4 人，甲班有13的人，乙班有14的人參加了課外數(shù)學(xué)組。兩個(gè)班參加課外數(shù)學(xué)組的共有29 人，甲乙兩班共有多少人？3. 圖書館看書的學(xué)生中，男生比女生多10 人，后來(lái)男生減少14，女生減少16，剩下的男、女生人數(shù)相等，原來(lái)一共有多少個(gè)學(xué)生？4. 原來(lái)甲乙兩個(gè)書架上共有圖書900 本，將甲書架的書增加58，乙書架上的書增加310，這樣書架上的書就一樣多。原來(lái)甲乙兩個(gè)書架各有圖書多少本？5. 一個(gè)書

14、有兩層書，上層的書占總數(shù)的40%；若從上層取48 本放入下層，這時(shí)下層的書占總數(shù)的75%。這個(gè)書架共有多少本書？6. 甲乙兩個(gè)書架上共有書270 本，甲被借去45，乙被借去34，兩個(gè)書架剩下的書正好相等。兩個(gè)書架原來(lái)各有多少本書？精品文檔精品文檔7. 甲乙兩人共存款108 元。如果甲取出自己存款的25，乙取出12 元，那么兩人所存的錢數(shù)相等。求甲乙兩人原來(lái)各存款多少元？8. 甲書架上的書是乙書架上的56，兩個(gè)書架上各拿出154 本，甲書架上的書是乙書架上的47。甲乙兩個(gè)書架上原有書各多少本？9. 某校六年級(jí)男生人數(shù)是女生人數(shù)的23，后來(lái)轉(zhuǎn)進(jìn)來(lái)2 名男生，轉(zhuǎn)走3 名女生，這時(shí)男生人數(shù)是女生的34

15、。原來(lái)男、女生名多少人？10. 某學(xué)校的男教師比女教師多8 人，如果女教師減少4 人，男教師增加8人，男、女教師人數(shù)正好相等。這個(gè)學(xué)校男、女教師各有多少人？11. 某工廠第一車間的人數(shù)比第二車間人數(shù)的45少 30 人，若從第二車間調(diào)10 人到第一車間， 則第一車間的人數(shù)是第二車間人數(shù)的34，求各車間的人數(shù)。 （2006 年聯(lián)考試題）精品文檔精品文檔第四講平均數(shù)問(wèn)題【思維規(guī)律】1. 平均數(shù)問(wèn)題是指幾個(gè)不相等的同類數(shù)量通過(guò)移多補(bǔ)少，使它們完全相等，最后求得這幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)。2. 簡(jiǎn)單的平均數(shù)應(yīng)用題又稱算術(shù)平均數(shù)問(wèn)題，題中提供的條件使我們比較容易地求出總和與相應(yīng)的加數(shù)個(gè)數(shù)，我們?cè)俑鶕?jù)基本關(guān)系式就可直

16、接求出平均數(shù)。3. 較復(fù)雜的平均數(shù)應(yīng)用題又稱加權(quán)平均數(shù)問(wèn)題，求平均數(shù)時(shí)，先根據(jù)題意找出總數(shù)量及總數(shù)量對(duì)應(yīng)的總份數(shù)，然后再求解。4. 有一些問(wèn)題有時(shí)求部分平均數(shù)，有時(shí)根據(jù)平均數(shù)求個(gè)別數(shù)量，這樣的題中往往提供幾個(gè)部分平均數(shù)或全體平均數(shù)，然后圍繞這些不同的平均數(shù)提出問(wèn)題，數(shù)量關(guān)系相對(duì)復(fù)雜。5. 相關(guān)公式：總數(shù)量總份數(shù)平均數(shù)總數(shù)量平均數(shù)總份數(shù)平均數(shù)總份數(shù)總數(shù)量【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是120，加上多少后，則四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是150？例 2甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分?jǐn)?shù)是90 分。可是，丙在抄分?jǐn)?shù)時(shí)，把甲的成績(jī)錯(cuò)抄成87 分，因此算得四人的平均分為88 分。求甲在這次考試中得了

17、多少分？例 3有七個(gè)排成一排的數(shù)，它們的平均數(shù)是30，前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是28，后五個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 33，求第三個(gè)數(shù)。精品文檔精品文檔例 4小強(qiáng) 10 次測(cè)驗(yàn)的平均分是82 分，前六次的平均分是83 分，后六次的平均分是80 分，那么他第 5 次和第 6 次測(cè)驗(yàn)的平均分是多少分？例 5小叮當(dāng)參加了五次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)，平均分是78 分，他想在下次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)后使六次的平均分不低于 80 分，小叮當(dāng)?shù)诹斡⒄Z(yǔ)測(cè)驗(yàn)至少要得多少分？例 6甲、乙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是94，乙、丙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是88，甲、丙兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是86.甲、乙、丙三個(gè)數(shù)各是多少？例 7一個(gè)旅游團(tuán)出游，平均每人應(yīng)付車費(fèi)40 元。后來(lái)又增加了8 人，

18、這樣每人應(yīng)付車費(fèi)是35元，租車費(fèi)是多少元？例 8小紅測(cè)試每分鐘跳繩的次數(shù)，前四次跳的分別是180 下、 180 下、 175 下、 185 下，第五次比全部跳的平均數(shù)還多32 下。那么全部五次跳的平均數(shù)是多少下？精品文檔精品文檔例 9明明爬山，上山的速度是3 千米 / 小時(shí)，到達(dá)山頂后立即返回，下山速度是5 千米 / 小時(shí)，明明上下山的平均速度是多少？【培優(yōu)高手】一、解決問(wèn)題。1. 小明參加了四次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，平均成績(jī)是68 分，他想通過(guò)一次語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)，將五次的平均成績(jī)提高到最少 70。那么，在下次測(cè)驗(yàn)中，他至少要得多少分？2. 把五個(gè)數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是38。已知前三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是28，后三

19、個(gè)數(shù)的平均數(shù)是47。問(wèn)中間一個(gè)數(shù)是多少？3. 把四個(gè)數(shù)排成一排，前兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是70，中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是23，最后兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 84。求第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？4. 在一次登山比賽中，小剛上山每分鐘走40 米，到達(dá)山頂后立即返回，下山以每分鐘走60 米的速度按原路下山，小剛上、下山的平均速度是多少？【真題鏈接】1. 張軍、鄧明、劉華三位小朋友儲(chǔ)蓄錢數(shù)之比是1：3： 4，他們儲(chǔ)蓄的平均數(shù)是320 元，鄧明儲(chǔ)蓄了_元。 （2008 年聯(lián)考試題）2. 一對(duì)糖果分給甲、乙兩個(gè)班，兩個(gè)班學(xué)生平均分，每人可分6 個(gè)，如果只分給甲班，每人平均分得 10 個(gè)，假使只分給乙班，每人可分得多少

20、個(gè)？（2006 年聯(lián)考試題）3. 小明統(tǒng)計(jì)班里的數(shù)學(xué)成績(jī)，平均分為85.74 分，后來(lái)發(fā)現(xiàn)一個(gè)同學(xué)原來(lái)的分?jǐn)?shù)是97 分，統(tǒng)計(jì)時(shí)誤統(tǒng)計(jì)成67 分，重新統(tǒng)計(jì)后平均分為86.49 分，此班共有多少個(gè)學(xué)生? 4. 某班在一次數(shù)學(xué)考試中，平均分是78 分，男生平均分是75.5 分，女生平均分是81 分，這個(gè)班男、女生人數(shù)的比是多少？精品文檔精品文檔5. 在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，六（1）班的平均分是84 分，其中男生的平均分是84.6 分，女生的平均分是 83.6 分。已知六（ 1）班有學(xué)生45 人。六（ 1）班有男生多少人？第五講行程問(wèn)題相遇專題【思維規(guī)律】甲從 a地到 b地，乙從 b地到 a地，然后兩人在途

21、中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲和乙一起走了a、b之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么ab之間的路程甲走的路程乙走的路程甲的速度相遇時(shí)間乙的速度相遇時(shí)間（甲的速度乙的速度）相遇時(shí)間速度和相遇時(shí)間【基礎(chǔ)回顧】1. 甲、乙兩列火車同時(shí)從相距700 千米的兩地相向而行，甲列車每小時(shí)行85 千米，乙列車每小時(shí)行 90 千米，幾小時(shí)兩列火車相遇？2. 兩列火車從兩個(gè)車站同時(shí)相向出發(fā)，甲車每小時(shí)行48 千米，乙車每小時(shí)行78 千米，經(jīng)過(guò)2.5 小時(shí)兩車相遇。兩個(gè)車站之間的鐵路長(zhǎng)多少千米？3. 甲、乙兩列火車同時(shí)從相距988 千米的兩地相向而行，經(jīng)過(guò)5.2 小時(shí)兩車相遇。甲列車每小時(shí)行93 千米，乙列車每小時(shí)行多少千米？

22、【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1甲乙兩輛汽車同時(shí)從a、b兩地相對(duì)開(kāi)出，甲車每小時(shí)行42.5 千米，乙車每小時(shí)行38 千精品文檔精品文檔米， 4 小時(shí)后，兩車還相距35.5 千米，求a、b兩地的距離？例 2一輛公共汽車和輛小轎車同時(shí)從相距360 千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行35 千米，小轎車每小時(shí)行55 千米，幾小時(shí)后兩車相距90 千米？例 3甲乙兩地的公路長(zhǎng)195 千米，兩輛汽車同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，甲車每小時(shí)行45 千米，乙車每小時(shí)30 千米，途中乙車出現(xiàn)故障，修車用了1 小時(shí)，兩車從出發(fā)到相遇經(jīng)過(guò)了幾小時(shí)？例 4蘭蘭和紅紅是鄰居，一天早晨?jī)扇送瑫r(shí)上學(xué)，蘭蘭騎自行車每分鐘行300 米，紅紅步行

23、，每分鐘走60 米，蘭蘭到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)自己的紅領(lǐng)巾忘記帶了，于是騎自行車沿原路返回，如果從家到學(xué)校的的路程長(zhǎng)3600 米，蘭蘭返回時(shí)和紅紅相遇時(shí)距離學(xué)校多遠(yuǎn)？例 5姐妹倆同時(shí)從家里到少年宮，路程全長(zhǎng)770 米。妹妹步行每分鐘行60，姐姐騎自行車以每分鐘 160 米的速度到達(dá)少年宮后立即返回，途中與妹妹相遇。這時(shí)妹妹走了幾分鐘？例 6一列快車和一列慢車同時(shí)從甲乙兩站出發(fā)，相向而行，經(jīng)過(guò)6 小時(shí)相遇。相遇后快車?yán)^續(xù)行駛了 3 小時(shí)后到達(dá)乙站，已知慢車每小時(shí)行45 千米，甲乙兩站相距多少千米？精品文檔精品文檔例 7甲乙兩車同時(shí)從東、西兩城相向開(kāi)出，甲車每小時(shí)行56 千米，乙車每小時(shí)行48 千米，兩車在

24、距離中點(diǎn)32 千米處相遇，求東、西兩地間的公路長(zhǎng)多少千米？例 8兩地相距300 千米， 兩輛汽車同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。 各自到達(dá)目的地后又立即返回，經(jīng)過(guò) 8 小時(shí)后它們第二次相遇。已知甲車每小時(shí)行45 千米，乙車每小時(shí)行多少千米？例 9小張、小明兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40 米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛，并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？例 10甲乙兩人同時(shí)從相距1000 米的兩地相向而行，甲每分鐘行120 米，乙每分鐘行80 米。如果有一只狗與甲車同時(shí)同向而行，每分鐘行500 米，遇到乙后

25、，立即回頭向甲跑去，遇到甲后又立即回頭向乙跑去，這樣不斷來(lái)回，直到兩人相遇為止，這時(shí)狗共跑了多少米？例 11騎自行車從甲地到乙地，以10 千米 / 時(shí)的速度行進(jìn)，下午1 點(diǎn)到；以15 千米 / 時(shí)的速度行進(jìn)，上午11 點(diǎn)到。如果希望中午12 點(diǎn)到，那么應(yīng)以怎樣的速度行進(jìn)？精品文檔精品文檔第六講行程問(wèn)題追及專題【思維規(guī)律】有兩個(gè)人同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他，這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走路程，也就是要計(jì)算兩人走的速度之差。如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：追及路程甲走的路程乙走

26、的路程甲的速度追及時(shí)間乙的速度追及時(shí)間（甲的速度乙的速度）追及時(shí)間速度差追及時(shí)間“追及問(wèn)題”的核心的速度差的問(wèn)題。【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1甲乙兩船同時(shí)從兩個(gè)碼頭出發(fā)，方向相同，乙般在前，每小時(shí)行24 千米，甲船在后，每小時(shí)行 28 千米， 4 小時(shí)后甲船追上乙船，求兩個(gè)碼頭相距多少千米? 例 2小明步行上學(xué)，每分鐘走75 米，小明離家12 分后，爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘帶數(shù)學(xué)課講義了，爸爸騎自行車去追，每分鐘行375 米，爸爸出發(fā)多少分鐘后能追上小明？小結(jié)：在追及問(wèn)題中，關(guān)鍵是要找出開(kāi)始追時(shí)兩人（或兩車等）相距多少（距離差）以及單位時(shí)間里能追上多少（速度差），有了這兩個(gè)量，就可以用除法求出追上時(shí)所需要的時(shí)間。

27、精品文檔精品文檔追及問(wèn)題的基本關(guān)系式：路程差速度差追及時(shí)間速度差路程差追及時(shí)間追及時(shí)間路程差速度差例 3兩輛汽車運(yùn)送貨物，大卡車以每小時(shí)36 千米的速度從甲地開(kāi)往乙地，2 小時(shí)后小卡車以每小時(shí) 48 千米的速度也從甲地開(kāi)往乙地，當(dāng)小卡車追上大卡車時(shí)離甲地多遠(yuǎn)？例 4上午 8 點(diǎn)零 8 分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8 分鐘后，爸爸騎摩托車追他，在離家4 千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上水上明的時(shí)候，離家恰好是 8 千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？小結(jié)：解答題目條件比較復(fù)雜的追及問(wèn)題時(shí)，我們也可以通過(guò)畫線段圖來(lái)幫助理解題意，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)掌握的或容易解的問(wèn)題。例

28、5一條長(zhǎng) 400 米的環(huán)形跑道，欣欣在練習(xí)騎自行車，他每分鐘行560 米，彬彬在練習(xí)長(zhǎng)跑，他每分鐘跑240 米，兩人同時(shí)從同地同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少分鐘兩人可以相遇？再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間第二次相遇？小結(jié)：解答環(huán)形跑道的追及問(wèn)題，關(guān)鍵是要掌握從同時(shí)出發(fā)到第一次相遇，快的人比慢的人林多跑一圈。例 6甲乙兩人在周長(zhǎng)600 米的水池邊上玩，兩人從一點(diǎn)出發(fā)，同向而行30 分鐘后又走到一起，背向而行4 分鐘相遇，求兩人每分鐘各行多少米？精品文檔精品文檔第七講工程問(wèn)題【思維規(guī)律】“工程問(wèn)題”指的都是兩個(gè)人以上合作完成某一項(xiàng)工作，有時(shí)還將內(nèi)容延伸到相遇運(yùn)動(dòng)和向水池注水等等，解答工程問(wèn)題時(shí)，一般都是把總工作量看作單位“1

29、” ，把單位“ 1”除以工作時(shí)間看成工作效率，因此，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)。工作問(wèn)題的關(guān)系式是：工作總量工作效率工作時(shí)間或工作總量工作效率和合作時(shí)間有關(guān)先合作再單獨(dú)做或者先獨(dú)做后合作完成工作總量的總量，可以有兩種考慮思路。合作的工作量單獨(dú)做的工作量1 或者甲的工作總量乙的工作總量1 【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1加工 360 個(gè)零件，單獨(dú)完成這批任務(wù)，甲需要20 天，乙需要30 天，兩人共同工作，需要多少天才能完成任務(wù)？例 2加工一批零件，單獨(dú)完成這批任務(wù)，甲需要20 天，乙需要30 天，兩人共同工作，需要多少天才能完成任務(wù)？例 3單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100 天完成，乙隊(duì)需150 天完成。甲、乙兩隊(duì)

30、合做50 天后，剩下的工程給乙隊(duì)單獨(dú)做還需多少天完成？例 4單獨(dú)完成某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需10 天，乙隊(duì)需15 天，丙隊(duì)需20 天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一直做，因精品文檔精品文檔工作需要甲甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用6 天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？例 5一項(xiàng)工程，甲、乙兩隊(duì)合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊(duì)先做7 天，然后再由甲隊(duì)做4 天，共完成這項(xiàng)工程的1315，如果把其余的工程交給乙隊(duì)單獨(dú)做，那么還要幾天才能完成？例 6有一項(xiàng)工作，甲需要6 天完成，乙需要30 天完成。現(xiàn)在甲、乙合做這項(xiàng)工作，但是中途甲休息了一天，問(wèn)完成這項(xiàng)工作用了幾天時(shí)間？例 7一項(xiàng)工程，甲乙兩隊(duì)合作需12 天完成，乙丙兩隊(duì)合作需15

31、天完成，甲丙兩隊(duì)合作需20天完成，如果由甲乙丙三隊(duì)合作需幾天完成？例 8一個(gè)水池安裝甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管和丙放水管，單開(kāi)甲管4 小時(shí)能把空池注滿水，單開(kāi)乙管5 小時(shí)能把空池注滿水，單開(kāi)丙管3 小時(shí)能把滿池水放完。 現(xiàn)在三管同時(shí)打開(kāi)， 幾小時(shí)能把空池注滿？例 9一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要20 天，乙單獨(dú)做需要30 天，現(xiàn)在由他們兩人合做，又知在工作途中甲先請(qǐng)了3 天事假，后因公事出差2 天。求他們完成這項(xiàng)工程從開(kāi)工到結(jié)束一共花了多少天？例 10有 a 、b兩項(xiàng)工作，王師傅獨(dú)做a項(xiàng)工作要9 天完成，獨(dú)做b項(xiàng)工作要 12 天完成；李師傅獨(dú)做 a項(xiàng)工作要3天完成，獨(dú)做b項(xiàng)工作要15 天完成。如果兩人合作完成這

32、兩項(xiàng)工作，最少需要精品文檔精品文檔多少天？第十講倒推法解題【思維規(guī)律】有些應(yīng)用題如果按照一般方法，順著題目的條件一步一步地列出算式求解，過(guò)程比較繁瑣。所以，解題時(shí)，我們可以從最后的結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用加與減、乘與除之間的互逆關(guān)系，從后到前一步一步的推算，這種思考問(wèn)題的方法叫做倒推法。【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1一本文藝書，小明第一天看了全書的13，第二天看了余下的35，還剩下48 頁(yè)，這本書共有多少頁(yè)？例 2筑路隊(duì)修一段路，第一天修了全長(zhǎng)的15又 100 米，第二天修了余下的27，還剩下500 米，這段公路全長(zhǎng)多少米？例 3有甲、乙兩桶油，從甲桶中倒出13給乙桶后，又從乙桶中倒出15給甲桶，這時(shí)兩桶油各有24

33、 千克，原來(lái)甲、乙兩個(gè)桶中各有多少千克油？精品文檔精品文檔第十一講平面圖形的面積【思維規(guī)律】在小學(xué)里，我們學(xué)過(guò)了正方形、長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形、三角形、圓形以及扇形的面積計(jì)算，實(shí)際問(wèn)題中，有些圖形不是以基本圖形的形狀出現(xiàn)，而是由一些基本圖形組合，拼湊成的，它們的面積及周長(zhǎng)無(wú)法應(yīng)用公式直接計(jì)算。一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)則圖形。本專題介紹一些較復(fù)雜、不規(guī)則圖形的面積的求法，主要通過(guò)將復(fù)雜圖形分解成熟悉的基本，或?qū)⒉灰?guī)則圖形進(jìn)行劃歸為基本圖形，或者用等積變換等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化。名稱圖形周長(zhǎng)公式面積公式長(zhǎng)方形2（ ab）ab 正方形4aa2三角形abc12ah平行四邊形2（ ab）ah梯形abc d1

34、2（ab）h菱形4a12acbd圓2rr2精品文檔精品文檔扇形180n r或 2rl360nr2【重點(diǎn)點(diǎn)撥】例 1甲和乙都是正方形。甲的邊長(zhǎng)為4 厘米，乙的邊長(zhǎng)為6 厘米，求陰影部分的面積。思考：如果只知道甲的邊長(zhǎng)為4 厘米，是否還可以求出陰影部分的面積？例 2如右圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為6 厘米， abe 、 adf與四邊形aecf的面積彼此相等，求 aef的面積。例 3如右圖， a為 cde的 de邊上的中點(diǎn)， 3bc cd ，若 abc （陰影部分） 面積為 5 平方厘米，求 abd及 ace的面積。精品文檔精品文檔例 4如下圖，已知abcd 是平行黑眼圈這形，ac是對(duì)角線， ac3c

35、g ，ae effb，efg的面積是 6 平方厘米，求平行四邊形abcd的面積。例 5如圖， abc的面積是1 平方厘米， dc 2bd ，ae 3ed ，則 ace的面積是 _平方厘米。例 6如圖，長(zhǎng)方形abccd 中， abp的面積為20 平方厘米， cdq 的面積為 35 平方厘米，則陰影四邊形的面積等于_厘米。例 7如圖，長(zhǎng)方形被其內(nèi)的一些直線劃分了若干塊，已知邊上有3 塊面積分別是13、35、49.那么圖中陰影部分的面積是多少？例 8有四條線段的長(zhǎng)度已知知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形 （陰影部分） 的面積是多少？例 9在各圖中， abcd 是長(zhǎng)方形， 三長(zhǎng)線段販長(zhǎng)度如圖所示，m是

36、線段 de的中點(diǎn)， 求邊開(kāi)邊abmd精品文檔精品文檔（陰影部分）的面積。【培優(yōu)高手】1. 求陰影部分的面積。（1）（ 2）（3）（ 4）（5）（ 6）（7）（ 8）2. 圖中 abcd 是梯形， aecd 是平行四邊形，則陰影部分的面積是_平方厘米。（單位：厘米）精品文檔精品文檔3. 圖中的每個(gè)小正形的面積都是2 平方厘米，則圖中陰影部分的面積是_平方厘米。4. 長(zhǎng)方形 abcd 的面積為36 平方厘米， e、f、g分別為這ab 、bc 、cd的中點(diǎn)， h 為 ad邊上的任一點(diǎn)。求圖中陰影部分的面積。5. 在 abc中， d、e和 f 分別為 ac 、ab 、 ad的中點(diǎn)。 def的面積是4

37、平方厘米。 bc 5 厘米，求abc以 bc為底時(shí)，它的高是多少厘米？6. 在平行四邊形abcd 中， e、f分別是 ac 、bc的三等分點(diǎn)，且s四邊形 abcd54 平方厘米，求sbef。7. 如圖， bd 、de 、ec的長(zhǎng)分別是2、4、2，f 是線段 ae的中點(diǎn)， 三角形 abc的高為 4，求三角形dfe的面積。精品文檔精品文檔8. 兩個(gè)相同的直角三角開(kāi)如圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積？9. 在圖中，平行四邊形abcd的邊 bc長(zhǎng) 10 厘米，直角三角形ecb的直角邊ec長(zhǎng) 8 厘米。已知陰影部分的總面積比三角形efg的面積大 10 平方厘米，求平行四男家形abcd的面積。10. 在右圖中， ab 8 厘米， cd 4 厘米， bc 6 厘米，三角形afb比三角形efd的面積大18 平方厘米。求 ed的長(zhǎng)。11. 長(zhǎng)方形 abcd的長(zhǎng)為 8 厘米，寬為6 厘米， e、f 分別為所在邊的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。12. 右圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個(gè)三角形后，剩下的部分是一個(gè)直角梯形（陰影部分）。已知梯形的面積為36 平方厘米，上底為3 厘米，求下底和高分別是多