1、線三等角典型例題 作者: 日期：線三等角”模型在初中數學中的應用一、J線三等角”模型的提煉例1、（ 2015年山東德州卷）（1）問題：如圖1,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，/ DPC=/A=/B=90°.求證：AD BC=AP BP.（2）探究：如圖2,在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當/ DPC=/A= / B=8時，上述結論是否依 然成立？說明理由.（3）應用：請利用（1）、（2）獲得的經驗解決問題：如圖 3,在4ABD中，AB=6 , AD=BD=5.點P以每秒1個單位長度的速度，由點 A出發，沿邊AB向點B運動，且滿足/ DPC=/A.設點P的運動時間為t（秒）

2、，當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值.圖I圖2圖3變式1 （ 2012年煙臺）（1）問題探究如圖6,分別以4ABC的邊AC與邊BC為邊，向4ABC外作正方形 ACD1E1 和正方形BCD2E2,過點C作直線KH交直線AB于點H,使/ AHK = /ACD1.作 D1M ± KH, D2N ± KH,垂足分別為點M、N.試探究線段D1M與線段D2N的數量關系，并加以證 明.（2）拓展延伸1如圖7,若將 問題探究”中的正方形改為正三角形，過點 C作直線KiHi,K2H2,分別交直線 AB 于點 Hi、H2,使/ AH1K1 = / BH2K2 = / ACD1

3、.作 D1M ± KiHi , D2N XK2H2,垂足分別為點 M、N . D1M = D2N是否仍成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理 I2 如圖8,若將 中的正三角形”改為 止五邊形”，其他條件不變.D1M = D2N是否仍成立？（要求: 在圖8中補全圖形，注明字母，直接寫出結論，不需證明 ）圖9圖10二、添加輔助線后運用基本圖形例1、在4ABC中，AB =2, /B = 45 ；以點A為直角頂點作等腰R DADE ,點D在BC上，點E 在AC上，若CE=5,求CD的長。例2、（ 2013年海淀區一模22題最后一問）如圖，11、12、13是同一平面內的三條平行線，11、12

4、之間 的距離是21/5, 12、13之間的距離是21/10,等邊AABC的三個頂點分別在11、12、13上，求4ABC的 邊長.例3、如圖，在矩形紙片ABCD中，AB = 5, BC = 4,在AB 邊上取點G ,現將紙片沿EG的長翻折，使點A落在CD邊上的點F處，當AE=3時，求BG三、應用舉例1、等腰三角形底邊上的一線三等角例1、如圖5,在 三角形ABC中，AB=AC,D為BC的中點，以D為頂點作/ MDN= / B. 如圖5,當射線DN經過A時，DM交AC邊于點E,不添加輔助線，寫出圖中所有與三角形 ADE相似 的三角形。（2）如圖6,將/ MDN繞點D逆時針方向旋轉，DM,DN分別交線

5、段AC,AB于E,F點，（E和A點不重合)，不添加輔助線，寫出圖中所有相似的三角形，并證明。 在圖6中，若AB=AC=10 BC=1Z當三角形DEF的面積等于三角形面積的1/4時,求線段EF的長。B例 2、如圖 8,在 Rt，ABC 中，AB = AC =2 , / A = 90 °,現取一塊等腰直角三角板，將45°角的頂點放在BC中點。處，三角板的直角邊與線段 點 E、F,設 BE =x, CF = y, / BOE = a ( 45 (1)試求y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；(2)試判斷/ BEO與/ OEF的大小關系？并說明理由；(3)在三角板繞O點旋轉的過程

6、中，/ OEF能否成為等腰三角形？若能，求出對應 x的值；若不能，請說明理由.【例3】(2012四川 成都卷)如圖，4ABC和4DEF兩個全等的等腰直角三角形，/BAC=/EDF=90 , zDEF的頂點E與4ABC的斜邊BC的中點重合.將 ADEF繞點E旋轉，旋轉 過程中，線段DE與線段AB相交于點P,線段EF與射線CA相交于點Q.(1) 如圖,當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證：zBPE CQE,(2) (2)如圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：zBPzCEQ并求當BP=a CQ=9a/2時，P、Q兩點間的距離(用含a的代數式表示)(1)如圖1,當點P為BC的三等分點，且PEL

7、AB時，判斷4EPF的形狀；(2)如圖2,若點P在BC邊上運動，且保持PEXAB,設BP=x,四邊形AEPF面積的y,求y與x 的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如圖3,若點P在BC邊上運動，且/ MPN繞點P旋轉，當CF=AE=2時，求PE的長.2、四邊形中的一線三等角例1、如圖，正方形ABCD的邊長為1cm, M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM ± MN ,設BM的長為x cm, CN的長為y cm.求點M在BC上的運動過程中y的最大(2013年杭州壓軸題)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4, 時稱中心為點P,點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿

8、 足條件£EPF=45。，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱, 設它們的面積和為卻。(1)求證：乙APE二匕CFP； (2)設四邊形CMPF的面積為52, CF二、，尸”白求V關于X的函數解析式和自變量X的取值范圍，并求出y 的最大值；當圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱時，求y的值,例3、如圖，在等腰梯形 ABCD中，AD/BC, BC = 4AD = 4 2,CD上移動，且/ AEF = 45 ；則點E移動過程中，線段AF長 的最小值是()例4.如圖，在梯形ABCD中，AD/BC, AB = DC = AD=6, /ABC=60二點E, F分別在線段 AD, DC 上(

9、點 E與點 A, D 不重合)，且 /BEF =120,設 AE = x , DF = y求y與x的函數表達式； 當x為何值時，V有最大值，最大值是多少？4tan. CAD =例 4、如圖，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC, / B=90° , AB=8,3, CA=CD, E、F 分別是線段AD、AC上的動點(點E與點A、D不重合)，且/ FEC=/ACB,設DE=x , CF=y.(1)求AC和AD的長；(2)求y與x的函數關系式；(3)當 EFC為等腰三角形時，求x的值.SD0（2）若 EEU是。、RM為腰的等腰三角形,求EF的長, （3）若EF _8,求BE的長.例3（徐

10、匯區附）,如圖，在梯形HBCD中卜d。# BC dB = CD = BC=6, /口=3 一點M為邊EU的中點，以理為頂點作上EW 二上月，射級ME交腰52?于點3 , 射線UF交腰CD于點F,聯結EF.（U 求證：A MEF coA BEXf ?3、函數問題中的一線三等角.例1、在直角坐標系中，點A是拋物線y= x2在第二象限上的點，連結 OA,過點O作OB ± OA,交 拋物線于點B,以OA、OB為邊構造矩形AOBC.如圖，當點A的橫坐標為一1/2時，求點B的坐 標.例入（長寧區1£題）如圖，等腰梯形53UD中,AD II BC ,月口二日 BC = 4VI-Z5 = 45 ,苴第三角.梅宮45度角的頂點月在邊6C上移動，一官角邊始終經過點H,斜邊與8交于點尸,若A/BE為等腰三角形，則3的長等于.THE END, THERE IS NO TXT FOLLOWING.例2、如圖，已知直線y = kx與拋物線y = 4/27x2 + 22/3交于點A( 3, 6).若點B為拋物線上對稱 軸右側的點，點E在線段OA上(與點O、A不重合)，點D( m,