1、第1頁/共103頁把把 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 個元個元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn個不同的元素的所有排列的種數(shù)用個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，表示，且且 nnP!nPn 、全排列一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容第2頁/共103頁逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列奇排列，逆序數(shù)為，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶數(shù)的排列稱為偶排列偶排列在一個排列在一個排列 中，若數(shù)中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個則稱這兩個數(shù)組成一個逆序逆序 nstiiiii21stii 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆逆序數(shù)序數(shù)

2、、逆序數(shù)第3頁/共103頁分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)方法方法2 2方法方法1 1分別計算出排在分別計算出排在 前面比它大的前面比它大的數(shù)碼之和，即分別算出數(shù)碼之和，即分別算出 這這 個元素個元素的逆序數(shù)，這的逆序數(shù)，這 個元素的逆序數(shù)之總和即為所求個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù)n,n,121 n,n,121 nn、計算排列逆序數(shù)的方法第4頁/共103頁定義定

3、義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，稱為一次素不動，稱為一次對換對換將相鄰兩個元素對調(diào)，將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做叫做鄰換鄰換定理定理一個排列中的任意兩個元素對換，排列改一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性變奇偶性推論推論奇排列奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)、對換第5頁/共103頁 nnnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212122221112111 、n階行列式的定義., 2 , 1;, 2 , 12121列取

4、和列取和的所有排的所有排表示對表示對個排列的逆序數(shù)個排列的逆序數(shù)為這為這的一個排列的一個排列為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中ntnppppppnn 第6頁/共103頁.,)1(21212121的的逆逆序序數(shù)數(shù)為為行行標(biāo)標(biāo)排排列列其其中中亦亦可可定定義義為為階階行行列列式式ppptaaaDDnnnpppppptnn 第7頁/共103頁. ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘乘此此行行列列式式等等于于用用數(shù)數(shù)一一數(shù)數(shù)中中所所有有的的元元素素都都乘乘以以同同列列行行列列式式的的某某一一行行等等于于零零則則此此行行列列式式完完全全相相同同列列如如果果行行列列式式有有兩兩行行行行列列式式變變號號列

5、列互互換換行行列列式式的的兩兩行行即即式式相相等等行行列列式式與與它它的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列kk 、n階行列式的性質(zhì)第8頁/共103頁., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行行列列式式的的值值不不變變對對應(yīng)應(yīng)的的元元素素上上去去行行后后加加到到另另一一列列然然的的各各元元素素乘乘以以同同一一數(shù)數(shù)行行把把行行列列式式的的某某一一列列式式之之和和此此行行列列式式等等于于兩兩個個行行列列則則的的元元素素都都是是兩兩數(shù)數(shù)之之和和行行若若行行列列式式的的某某一一列列式式為為零零則則此此行行列列元元素素成成比比例例列列行行列列式式中中如如果果有有兩兩行行提提到到行行列列式式

6、符符號號的的外外面面以以的的所所有有元元素素的的公公因因子子可可列列行行列列式式中中某某一一行行第9頁/共103頁）余子式與代數(shù)余子式）余子式與代數(shù)余子式.,)1(1 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元素階行列式叫做元素列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的行和第行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 、行列式按行（列）展開第10頁/共103頁）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)）關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì) ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAa

7、jijiDDAaijijjknkikijkinkki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)其中其中當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 第11頁/共103頁、Cramer(Cramer(克拉默) )法則., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所所得得到到的的行行列列式式，換換成成常常數(shù)數(shù)項項列列中中第第）是是把把系系數(shù)數(shù)行行列列式式（其其中中那那么么它它有有惟惟一一解解的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式如如果果線線性性方方程程組組bbbxbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnnjDnjDnjDDD 第12頁/共103頁克拉默法則的理論價值克拉默法則的理論價值., 0.,

8、 22112222212111212111惟惟一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式如如果果線線性性方方程程組組 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必為為零零解解，則則它它的的系系數(shù)數(shù)行行列列式式解解或或有有兩兩個個不不同同的的如如果果上上述述線線性性方方程程組組無無定理定理定理定理第13頁/共103頁., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它沒有非零解那么它沒有非零解的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系數(shù)行列式

9、必為零它的系數(shù)行列式必為零組有非零解，則組有非零解，則如果上述齊次線性方程如果上述齊次線性方程定理定理定理定理第14頁/共103頁( (一一) )計算排列的逆序數(shù)計算排列的逆序數(shù)( (二二) )計算（證明）行列式計算（證明）行列式( (三三)Cramer)Cramer法則法則二、典型例題第15頁/共103頁分別算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù) .,并并討討論論奇奇偶偶性性的的逆逆序序數(shù)數(shù)求求排排列列kkkkkk 解解例例（一）計算排列的逆序數(shù); 0,2故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為排在首位排在首位k; 1),2(11故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為大的數(shù)

10、有一個大的數(shù)有一個的前面比的前面比k; 1),2()12()12( 逆序數(shù)為逆序數(shù)為故故大的數(shù)有一個大的數(shù)有一個的前面比的前面比kkk 第16頁/共103頁; 2),12 ,2(22 數(shù)為數(shù)為故逆序故逆序大的數(shù)有兩個大的數(shù)有兩個的前面比的前面比 kk; 2),12 ,2(2222 故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為大的數(shù)有兩個大的數(shù)有兩個的前面比的前面比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個個大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個個大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比;),1, 12 ,2( kkkk

11、kkk故逆序數(shù)為故逆序數(shù)為個個大的數(shù)有大的數(shù)有的前面比的前面比 第17頁/共103頁 kkkt 1122110 kkk 211122k 當(dāng) 為偶數(shù)時，排列為偶排列，k當(dāng) 為奇數(shù)時，排列為奇排列k于是排列的逆序數(shù)為第18頁/共103頁用定義計算（證明）用定義計算（證明）例例用行列式定義計算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD ( (二) )計算（證明）行列式第19頁/共103頁的非零元素分別得到的非零元素分別得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分別為行的元素分別為中第中第設(shè)設(shè)5 , 4 , 3 , 2

12、, 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能組組成成，一一個個在在上上述述可可能能取取的的代代碼碼中中因因為為第20頁/共103頁評注評注本例是從一般項入手，將行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)順序排列，討論列標(biāo)的所有可能取到的值，并注意每一項的符號，這是用定義計算行列式的一般方法?).( 2為為什什么么于于零零還還多多，則則此此行行列列式式必必等等素素比比階階行行列

13、列式式中中等等于于零零的的元元如如果果一一個個nnn 注意注意第21頁/共103頁例例設(shè),2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn .2DD 證明：證明：第22頁/共103頁證明證明由行列式的定義有.,)1( 2121121的逆序數(shù)的逆序數(shù)是排列是排列其中其中ppptaaaDnpnpptn .,)1( )()()1( 21)()21(212211221212211的逆序數(shù)的逆序數(shù)是排列是排列其中其中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn 第23頁/

14、共103頁,212npppn 而而.)1(121221DaaaDpppnnt 所以所以評注評注本題證明兩個行列式相等，即證明兩點，一是兩個行列式有完全相同的項，二是每一項所帶的符號相同這也是用定義證明兩個行列式相等的常用方法第24頁/共103頁利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算例例計算利用范德蒙行列式計算行列式，應(yīng)根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。.333222111222nnnDnnnn 第25頁/共103頁，于于是是得得到到增增至至冪冪次次數(shù)數(shù)便便從從則則方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，遞遞升升至至而而是是由由變變到到序序

15、排排列列，但但不不是是從從次次數(shù)數(shù)自自左左至至右右按按遞遞升升次次方方冪冪數(shù)數(shù)的的不不同同方方冪冪中中各各行行元元素素分分別別是是一一個個10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 第26頁/共103頁上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin第27頁/共103頁評注評注本題所給行列式各行（列）都是某元素的本題所給行列式各行（列）都是某元素的不同

16、方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列不同方冪，而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取式不完全相同，需要利用行列式的性質(zhì)（如提取公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式公因子、調(diào)換各行（列）的次序等）將此行列式化成化成范德蒙范德蒙行列式行列式第28頁/共103頁用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算例例計算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 第29頁/共103頁解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得將第將第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin3212

17、1212111 第30頁/共103頁提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的將將第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，將將第第倍倍加加到到第第列列的的將將第第)(1,3)(12)(11aaan 第31頁/共103頁. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(第32頁/共103頁評注評注本題利用行列式的性質(zhì)，采用“化零”的方法，逐步將所給行列式化為三角形行列式化零時一般盡量選含有的行（列）及含零較多的行（列）；若沒有

18、，則可適當(dāng)選取便于化零的數(shù)，或利用行列式性質(zhì)將某行（列）中的某數(shù)化為1 1；若所給行列式中元素間具有某些特點，則應(yīng)充分利用這些特點，應(yīng)用行列式性質(zhì)，以達(dá)到化為三角形行列式之目的第33頁/共103頁，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并從第行，并從第行都加到第行都加到第、的第的第將將dcbaD 114324用降階法計算用降階法計算例例計算.4abcdbadccdabdcbaD 解解第34頁/共103頁,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都減去第列都減去第、再將第再將第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 第35頁/共103

19、頁行展開，得行展開，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再從從第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 第36頁/共103頁列，得列，得列減去第列減去第再將第再將第12行行展展開開，得得按按第第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(第37頁/共103頁評注評注本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列

20、式的本題是利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此某行（列）化成只含有一個非零元素，然后按此行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降行（列）展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低低 1 1階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計算階，如此繼續(xù)進(jìn)行，直到行列式能直接計算出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法出來為止（一般展開成二階行列式）這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用第38頁/共103頁用拆成行列式之和（積）計算用拆成行列式之和（積）計算例例證明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2

21、sin 證證. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左邊左邊第39頁/共103頁用遞推法計算用遞推法計算例例計算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成兩個行列式之和拆成兩個行列式之和列把列把依第依第Dnn第40頁/共103頁aaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann 第41頁/共103頁.1121DxaxxxDnnnn 從而從而得得列列展展開開第第右右端端的的第第二二個個行行列列式式按按列列第第倍倍分分別別加加到到列列的的將將第第右右端端的的第第一一個個行行列列式式,1, 2

22、 , 1)1(,nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 第42頁/共103頁由此遞推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此繼續(xù)下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 第43頁/共103頁)(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 時時，還還可可改改寫寫成成當(dāng)當(dāng)021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 第44頁/共103頁評注評

23、注.1 1 .1,1 1系系階階行行列列式式之之間間的的遞遞推推關(guān)關(guān)階階行行列列式式更更低低建建立立比比更更低低階階的的行行列列式式表表示示，階階用用同同樣樣形形式式的的比比階階行行列列式式以以把把給給定定的的有有時時，還還可可之之間間的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系階階行行列列式式與與建建立立了了階階行行列列式式表表示示出出來來用用同同樣樣形形式式的的階階行行列列式式質(zhì)質(zhì)把把所所給給的的本本題題是是利利用用行行列列式式的的性性 nnnnnnDDDDnnnn第45頁/共103頁用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 第46頁/

24、共103頁證證對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結(jié)論成立結(jié)論成立時時當(dāng)當(dāng)所以所以因為因為 nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現(xiàn)現(xiàn)將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數(shù)數(shù)等等于于下下證證對對的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立假假設(shè)設(shè)對對階階數(shù)數(shù)小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn 第47頁/共103頁,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設(shè)由歸納假設(shè);cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結(jié)結(jié)論論成成立立所所以以對對一一切切自自然然數(shù)數(shù) n第48頁/

25、共103頁評注評注.,)1(1,)(, 21同同型型的的行行列列式式是是與與不不否否則則所所得得的的低低階階行行列列式式展展開開列列或或第第行行按按第第不不能能展展開開列列或或第第行行本本例例必必須須按按第第表表示示展展開開成成能能用用其其同同型型的的為為了了將將DnnDDDnnnn .,.,其其猜猜想想結(jié)結(jié)果果成成立立然然后后用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明也也可可先先猜猜想想其其結(jié)結(jié)果果如如果果未未告告訴訴結(jié)結(jié)果果納納法法來來證證明明可可考考慮慮用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸結(jié)結(jié)論論時時證證明明是是與與自自然然數(shù)數(shù)有有關(guān)關(guān)的的而而要要我我們們當(dāng)當(dāng)行行列列式式已已告告訴訴其其結(jié)結(jié)果果一一般般來來講講第49

26、頁/共103頁計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應(yīng)用在計算時，首先要仔細(xì)考察行列式在構(gòu)造上的特點，利用行列式的性質(zhì)對它進(jìn)行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法 見下例小結(jié)小結(jié)第50頁/共103頁2111121111211112nD 21101210112011112111121111211111nD解：例9. 計算行列式(拆分法與遞推法)下頁第51頁/共103頁11133000230022301111nnnDD2221333Dnn2) 3333 (221nn213221331nn, ( D2=5 )第52頁/共103頁當(dāng)線性方程組方程個數(shù)與

27、未知數(shù)個數(shù)相等、且系數(shù)行列式不等于零時，可用克萊姆法則為了避免在計算中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，可對有的方程乘以適當(dāng)整數(shù)，把原方程組變成系數(shù)及常數(shù)項都是整數(shù)的線性方程組后再求解（三）CramerCramer法則.28)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求一個二次多項式求一個二次多項式例10例10第53頁/共103頁解解設(shè)所求的二次多項式為,)(2cbxxaxf 由題意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的線性方程組的線性方程組數(shù)數(shù)這是一個關(guān)于三個未知這是一個關(guān)于三個未知cba第54頁/共103頁.20,60,40, 020321 DDDD由克萊姆法則

28、，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多項式為. 132)(2 xxxf第55頁/共103頁例例1111 問 取何值時， 齊次線性方程組 有非零解？ 010320421321321321xxxxxxxxx 解解 111132421D 101112431 31214313 )3)(2(312123 由于齊次方程組有非零解，則0 D所以 或 時齊次方程組有非零解.2, 0 3 第56頁/共103頁證證.0, 0, 01,),(0000從而有系數(shù)行列式從而有系數(shù)行列式的非零解的非零解可視為齊次線性方程組可視為齊次線性方程組則則點點設(shè)所給三條直線交于一設(shè)所給三條直線交于一必要性必

29、要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00,0,0 cbabaycxacybxcbyax條條件件是是相相交交于于一一點點的的充充分分必必要要直直線線證證明明平平面面上上三三條條不不同同的的 例例1 12 2第57頁/共103頁. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因為三條直線互不相同因為三條直線互不相同將方程組將方程組如果如果充分性充分性, 0 cba第58頁/共103頁. 00,惟惟一一解解下下證證此此方方程程組組（）有有（）到到第第三三個個

30、方方程程，得得的的第第一一、二二兩兩個個方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，從而有，從而有，于是，于是得得。由。由，則，則如果如果第59頁/共103頁.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直線線交交于于一一點點有有惟惟一一解解，即即三三條條不不同同方方程程組組從從而而知知有有惟惟一一解解組組由由克克萊萊姆姆法法則則知知，方方程程故故，與與題題設(shè)設(shè)矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨設(shè)設(shè) cbbaccbabacba第60頁/共103頁第1章 測試題一、填空題一、填空題( (每小題每小題4 4分，

31、共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD則則若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式則行則行的三個根的三個根是方程是方程設(shè)設(shè)行列式行列式 . 3第61頁/共103頁 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四階行列式四階行列式第62頁/共103頁 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD則則設(shè)四階行列式設(shè)四階行列式的的符符號號為為在在五五階階行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系數(shù)是的系數(shù)是中中在函

32、數(shù)在函數(shù)321112 . 7xxxxxxxf 第63頁/共103頁 abcdbadccdabdcba四階行列式四階行列式 . 8, . 9時時且且則當(dāng)則當(dāng)為實數(shù)為實數(shù)若若 baba010100 abba第64頁/共103頁二、計算下列行列式二、計算下列行列式( (每小題每小題9 9分，共分，共1818分分) )0112210321011322211313211 . 15 D. .10121121iiiiiiiinnnn 次次對對換換后后變變?yōu)闉榕排帕辛锌煽山?jīng)經(jīng)排排列列第65頁/共103頁xzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齊次方程組齊次方程組取何值取何值問問, 020032132132

33、1xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答題三、解答題(9(9分分)第66頁/共103頁四、證明四、證明( (每小題每小題8 8分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbbaaaa第67頁/共103頁 cos211cos21111cos211cos2 . 2 nD ;sin1sin n第68頁/共103頁用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法證證明明 .3nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxD321223222122322213211111 2,121 nxxxxxjinijn第69頁/共103

34、頁五、五、(9(9分分) ) 設(shè)設(shè) 行列式行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 第70頁/共103頁 .21 .10 ; 0 , 0 . 9 ; . 8 ; 2 . 7 ;. 6 ; 0 . 5 ; . 4 ; !1998 . 3 ; 0 . 2 ;1 . 122222 41413232 nndcbabbaabbaaan一、一、 . . 2 ;170 . 1zyyxzzxynn 二、二、. 00 或或三、三、.11!2 njjn五、五、測試題答案第71頁/共103頁第第 2 章章 矩陣矩陣習(xí)習(xí) 題題 課課

35、一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容二、典型例題二、典型例題三、測試題三、測試題第72頁/共103頁一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1 向量的概念與運算2 2 矩陣的概念與運算第73頁/共103頁 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 條件：條件

36、： A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;結(jié)果： C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù). 過程：過程： 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 因此，因此， cij 可表示為 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的乘積. .(1).(1).矩陣的乘法矩陣的乘法cij下頁第74頁/共103頁應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題 (1) AB BA ； (3) AB OA O或或B O ； / (2) AC BCA B； / 矩陣乘法的性質(zhì)矩陣乘法的性質(zhì) (4) AA AA E或或A O . . / (1) (AB)C A(BC)； (2) (A B)C AC BC； (3) C(A B) CA CB； (4) k(AB) (

37、kA)B A(kB) . .下頁第75頁/共103頁定義設(shè)A是n階方陣，由A的元素構(gòu)成的n階行列式稱為方陣A的行列式，記為|A|或det A . .性質(zhì)：設(shè)A、B為n階方陣，k為數(shù)，則(1) |A|=|AT|;(3) |AB|=|A|B| .(2) |kA|=kn|A|;(2). (2). 方陣的行列式方陣的行列式顯然，顯然， | |E|=1 |=1 . .一般地，若A1,A2,Ak都是n階方陣，則 1212kkA AAA AA顯然 kkAA下頁第76頁/共103頁3. 逆矩陣 定義定義 對于對于n階矩陣階矩陣A，如果存在，如果存在n階矩陣階矩陣B，使得，使得 AB BA E，那么矩陣那么矩陣

38、A稱為可逆的，而稱為可逆的，而B稱為稱為A的逆矩陣的逆矩陣. .n階矩陣階矩陣A為可逆的充分必要條件是為可逆的充分必要條件是|A| 0，而且，而且其中其中A*為方陣為方陣A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. A*，1|A|A1方陣可逆的充分必要條件方陣可逆的充分必要條件推論推論 設(shè)設(shè)A，B都是都是n階矩陣，若階矩陣，若AB E ，則必有，則必有BA E；若若BA E ，則必有，則必有AB E.第77頁/共103頁可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì) (3)若若A、B為同階可逆矩陣，則為同階可逆矩陣，則AB亦可逆，且亦可逆，且(AB ) 1 B 1A 1. (2)若若A可逆，數(shù)可逆，數(shù) 0 0，則則 A 可逆，可逆

39、，且且( A ) 1 1A 1. (1)若若A可逆，則可逆，則A 1也可逆，也可逆，且且(A 1) 1 A. (4)若若A可逆，則可逆，則AT也可逆，也可逆，且且(AT ) 1 (A 1)T .(5) |A 1|=|A| 1 .下頁第78頁/共103頁4 分塊矩陣11121212221212,nnnmmmnaaaaaaaaaA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAm21(1). 列分塊矩陣(2). 行分塊矩陣第79頁/共103頁 設(shè)A是一個mn矩陣，B是一個ns矩陣，將B的每一列分成一個子塊，變?yōu)榱蟹謮K矩陣，即 11121212221212,sssnnnsbbbbbbBbbb

40、此時把A看作只有一塊的矩陣，則 A j (j=1,2,.,n)有意義, ,從而有下頁1212(,)(,).ssABAAAA 特殊分塊矩陣的乘法特殊分塊矩陣的乘法 ( (驗證，見下例.).)第80頁/共103頁分塊對角矩陣和分塊三角矩陣設(shè)A是n階方陣，如果A的分塊矩陣除主對角線上有非零子塊外，其余子塊都是零子塊，即sAAAA21都是方陣，則稱方陣為分塊對角矩陣分塊對角矩陣，其中，)21(, s, , i iA或稱為準(zhǔn)對角矩陣準(zhǔn)對角矩陣. 下頁第81頁/共103頁設(shè)有兩個分塊對角矩陣 sAAAA21sBBBB21其中，A,B同階，且子塊Ai，Bi同階，i=1,2,s，可以證明 （1）1122ssA

41、BABABAB（2）skkkkAAAA21下頁第82頁/共103頁（3）ssBABABAAB2211（4）1212ssAAAAAAA特別地，若A1，A2分別為m階和n階方陣，則 1122AAAA1122( 1)m n AAAA下頁第83頁/共103頁 11112100isAAAAAA5若則且1211121AAAA1112121AAAA特別地：特別地：下頁第84頁/共103頁7、矩陣的秩 定義 若矩陣A有一個r階子式不為零，而所有r+1階子式(如果存在的話)全等于零，則r稱為矩陣A的秩，記作r(A). 方法： 任何一個秩為r 的矩陣A=(aij) mn都可以通過初等行變換化為行階梯形矩陣Br結(jié)論

42、：結(jié)論：行階梯形矩陣Br的非零行的個數(shù)，即為矩陣A的秩. . 第85頁/共103頁例例1 設(shè) A，B均為四階方陣，且 . . 計算計算 .解解 由方陣的行列式的運算規(guī)律， 2,1 ABTT22() AB A2TT)(2ABA4TT2( 2)() AB A2216A BA2T16()AB A128. 下頁二、典型例題二、典型例題第86頁/共103頁證明證明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例例1 1.可可逆逆故故A1 A .211EAA 二、典型例題二、典型例題第87頁/共103頁022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可逆可逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA第88頁/共103頁 思考思考設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A滿足滿足aA2 bA cE O，證明，證明A為可逆矩陣，并求為可逆矩陣，并求A 1(a, b, c為常數(shù)，且為常數(shù)，且