1、第第4章章 連續時間信號與系統的復頻域分析連續時間信號與系統的復頻域分析n4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換n4.2 單邊拉氏變換的性質單邊拉氏變換的性質n4.3 單邊拉氏反變換單邊拉氏反變換 n4.4 連續系統的復頻域分析連續系統的復頻域分析n4.5 系統函數系統函數H(s)n4.6 系統函數的零、極點分布與時域響應特系統函數的零、極點分布與時域響應特性的關系性的關系n 4.7 系統的穩定性系統的穩定性n4.8 系統函數與系統頻率特性系統函數與系統頻率特性4.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換n4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換n4.1.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯

2、變換的收斂域n4.1.3 常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換返回首頁4.1.1 從傅里葉變換到拉普拉斯變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換n由第由第3章已知，當函數章已知，當函數f(t)滿足滿足狄里赫利條件狄里赫利條件時，便存在一對時，便存在一對傅里葉變換傅里葉變換式：式：deFtfdtetfFtjtj)(21)()()( - 返回本節4.1.2 拉普拉斯變換的收斂域拉普拉斯變換的收斂域n連續時間信號連續時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）式拉氏變換）式f(s)是否存在，取決于是否存在，取決于f(t)乘以乘以衰減因子衰減因子 以后是否絕對可積，即：以后

3、是否絕對可積，即：tedtetfat)(0j0收斂軸收斂域收斂坐標圖4-1 收斂域的劃分0ja0)(1tftA圖4-2 右邊指數衰減信號與其收斂域0ja0)(2tftA圖4-3 左邊指數增長信號與其收斂域j0bb0)(3tft1圖4-4 雙邊信號與其收斂域返回本節4.1.3 常用信號的單邊拉氏變換常用信號的單邊拉氏變換n1單位階躍信號單位階躍信號n2單位沖激信號單位沖激信號n3指數信號指數信號n4正弦信號正弦信號n5t的正冪信號的正冪信號1單位階躍信號單位階躍信號ssedtetusFstst1)()(00L即：stu1)(2單位沖激信號單位沖激信號1)()()()(00dttdtettsFst

4、L即：即：1)(t3指數信號指數信號asdteetuesFstatat1)()(0L即：即：astueat1)(4正弦信號正弦信號220011212sin)(sin)(sjsjsjdtejeedtettutsFsttjtjstL即：即：22)(sinstut5t的正冪信號的正冪信號0)()(dtettutsFstnnL利用分部積分法，得：010100dtetsndtetsnestdtetstnstnstnstn所以：)()(1tutsntutnnLL表4-1 常用信號的拉氏變換返回本節4.2 單邊拉氏變換的性質單邊拉氏變換的性質n4.2.1 線性線性n4.2.2 時移（延時）特性時移（延時）特

5、性n4.2.3 尺度變換尺度變換n4.2.4 頻移特性頻移特性n4.2.5 時域微分定理時域微分定理n4.2.6 時域積分定理時域積分定理n4.2.7 頻域微分定理頻域微分定理n4.2.8 頻域積分定理頻域積分定理n4.2.9 初值定理初值定理n4.2.10 終值定理終值定理n4.2.11 卷積定理卷積定理返回首頁4.2.1 線性線性)()( ),()(2211sFtfsFtf若返回本節)()()()( ,2211221121sFasFatfatfaaa有和則對于任意常數4.2.2 時移（延時）特性時移（延時）特性)()(sFtf若0)()()( ,000stesFttuttft有則對于任意實

6、常數)(sin0tt t0t0tsint0)()(sin0tutt t0t0 （a） （b） （c）)(sin0ttutt00t)()(sin00ttuttt0t0（d） （e） 圖4-5 幾種時移情況4.2.3 尺度變換尺度變換)()(sFtf若0 )()( 1aFatfasa則4.2.4 頻移特性頻移特性返回本節)()(sFtf若)()( asFetfat則4.2.5 時域微分定理時域微分定理)()(sFtf若)0()0( )0()()( )0()()( 121)(nnnnnffsfssFstffssFtfdtd則0tAT)(tftTA)()1 (tf0)(TtAt)(tTA)()2(tf

7、0)()1 (TtA)(TtTATT （a）三角脈沖 （b）三角脈沖的一階導數 （c）三角脈沖的二階導數 圖4-7 三角脈沖及其導數返回本節4.2.6 時域積分定理時域積分定理)()(sFtf若sfssFdft)0()()( )1(0則4.2.7 頻頻域微分定理域微分定理返回本節)()(sFtf若)()( sFdsdttf則4.2.8 頻頻域積分定理域積分定理返回本節)()(sFtf若sdFttf)()( 則4.2.9 初值定理初值定理連續可導，則：且若)(),()(tfsFtf )(lim)(lim)0( 0ssFtffst例：4.2.10 終值定理終值定理連續可導，則：且若)(),()(t

8、fsFtf )(lim)(lim)( 0ssFtffst例：4.2.11 卷積定理卷積定理n1時域卷積定理時域卷積定理 n2復頻域卷積定理復頻域卷積定理 1時域卷積定理時域卷積定理 ，則：若)()(),()(2211sFtfsFtf )()()()( 2121sFsFtftf2復頻域卷積定理復頻域卷積定理 ，則：若)()(),()(2211sFtfsFtf )()(21)()( 2121sFsFjtftf返回本節4.3 單邊拉氏反變換單邊拉氏反變換 n 4.3.1 查表法查表法n4.3.2 部分分式展開法部分分式展開法返回首頁 4.3.1 查表法查表法變換形式，即：表示為常用信號的拉氏將解：求

9、其拉氏反變換。例：已知)( ,841892)(22sFsssssF)(22t)(2cos2)2(2222tutesst返回本節222) 2(22)(sssF)(2cos)(2)()(21tutetsFLtft查表得：所以：4.3.2 部分分式展開法部分分式展開法4.3.2 部分分式展開法部分分式展開法返回本節4.4 連續系統的復頻域分析連續系統的復頻域分析n4.4.1 用拉氏變換法分析系統用拉氏變換法分析系統n4.4.2 用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路返回首頁4.4.1 用拉氏變換法分析系統用拉氏變換法分析系統n首先對描述系統輸入輸出關系的首先對描述系統輸入輸出關系的微分方程進微分方

10、程進行拉氏變換行拉氏變換，得到一個代數方程，得到一個代數方程n求出的響應象函數包含了求出的響應象函數包含了零輸入零輸入響應和響應和零狀零狀態態響應響應n再經過再經過拉氏反變換拉氏反變換可以很方便地得到零輸入可以很方便地得到零輸入響應、零狀態響應和全響應的響應、零狀態響應和全響應的時域解時域解。例例4-18 描述描述LTI系統的微分方程為：系統的微分方程為： 4.4.2 用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路n1電阻元件的電阻元件的s域電路模型域電路模型n2電容元件的電容元件的s域電路模型域電路模型n3電感元件的電感元件的s域電路模型域電路模型n4用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路1電阻

11、元件的電阻元件的s域電路模型域電路模型n電阻元件的時域伏安關系為：電阻元件的時域伏安關系為： )()(tiRtv對上式取拉氏變換，得：對上式取拉氏變換，得： )()(sRIsV)(tv)(tiRR)(sV)(sI （a）時域電路模型 （b）s域電路模型 圖4-8 電阻元件時域與s域電路模型2電容元件的電容元件的s域電路模型域電路模型n電容元件的時域伏安關系為：電容元件的時域伏安關系為： dttdvctiditvcctccc)()( )()( 01或：)0()()( )0()()0()1()(1)(ccvscscVscIscvscscIscisscIcscV或：C)(tvc)(tic0)0(cv

12、)(sIc)(sVcsC1svc)0(sC1)0(cvC)(sIc)(sVc （a）時域電路模型 （b）s域串聯電路模型 （c）s域并聯電路模型 圖4-9 電容元件時域與s域電路模型3電感元件的電感元件的s域電路模型域電路模型sLsiL)0()(sIL)(sVL)0(LLisL)(sIL)(sVL)(tvL)(tiLL0)0(Li（a）時域電路模型 （b）s域串聯電路模型 （c）s域并聯電路模型 圖4-10 電感元件時域與s域電路模型4用拉氏變換法分析電路用拉氏變換法分析電路n得到一般電路的得到一般電路的s域模型域模型;n應用電路的基本分析方法（節點法、網孔法應用電路的基本分析方法（節點法、網

13、孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出復頻域的方程列出復頻域的方程;n求解得到響應的象函數求解得到響應的象函數;n對象函數進行拉氏反變換，即得出響應的時對象函數進行拉氏反變換，即得出響應的時域解。域解。)(tv1RCL2R)0(cv)0(Li)(1ti)(2ti1)(sV51s1s21)(1sI)(2sIs5421)(1sI)(2sI（a）時域電路模型 （b）s域電路模型 圖4-11 例4-20圖)(te2R1LH11R13R1CF1)(tvcS0t)(te2te2圖4-12 例4-21圖)(sE1s11s1)(sVcs111201s11s1)

14、(sVczis11120)(sE1s11s1)(sVczs120 （a）s域全響應電路模型 （b）s域零輸入響應電路模型 （c）s域零狀態電路模型 圖4-13 s域電路模型返回本節4.5 系統函數系統函數H(s)n4.5.1 系統函數的定義系統函數的定義n4.5.2 系統函數的求解方法系統函數的求解方法返回首頁4.5.1 系統函數的系統函數的定義定義4.5.2 系統函數的求解方法系統函數的求解方法)(tx1R2C)(ty2R1C)(sX1R21sC)(sY2R11sC（a）時域電路模型 （b）s域電路模型 圖4-16 例4-23圖返回本節4.6 系統函數的零、極點分布與時域系統函數的零、極點分

15、布與時域響應特性的關系響應特性的關系n4.6.1 系統函數的零、極點與零、極點圖系統函數的零、極點與零、極點圖n4.6.2 系統函數的零、極點分布與時域響應系統函數的零、極點分布與時域響應特性的關系特性的關系返回首頁4.6.1 系統函數的零、極點與零、極點圖系統函數的零、極點與零、極點圖nLTI連續系統的系統函數連續系統的系統函數h(s)通常是復變量的通常是復變量的有理分式，即：有理分式，即： )()()()()()()()()(212101110111nimjmnnnmmmmpspspspszszszszsbasasasbsbsbsbsNsMsH n例如某系統的系統函數為：例如某系統的系統函

16、數為：)2)(2)(1()3()54)(1()3()(222jsjssssssssssH4.6.1 系統函數的零、極點與零、極點圖系統函數的零、極點與零、極點圖jj12j3)2(0圖4-17 h(s) 的零、極點分布圖返回本節4.6.2 系統函數的零、極點分布與時系統函數的零、極點分布與時域響應特性的關系域響應特性的關系n1左半平面極點左半平面極點n2虛軸上極點虛軸上極點n3右半平面極點右半平面極點j0圖4-18 h(s) 零、極點分布與時域響應特性的關系返回本節 4.7 系統的穩定性系統的穩定性n4.7.1 穩定系統的定義穩定系統的定義n4.7.2 系統穩定的條件系統穩定的條件返回首頁4.7

17、.1 穩定系統的定義穩定系統的定義n一個連續系統，如果對于任意一個連續系統，如果對于任意有界輸入有界輸入產生的零產生的零狀態響應也是有界的，則稱該系統為穩定系統。狀態響應也是有界的，則稱該系統為穩定系統。即對于一個穩定系統，若輸入信號：即對于一個穩定系統，若輸入信號：則輸出響應：則輸出響應：xMtx)(返回本節yMty)(4.7.2 系統穩定的條件系統穩定的條件n1時域的穩定條件時域的穩定條件 n2頻域的穩定條件頻域的穩定條件 1時域的穩定條件時域的穩定條件 n設 連 續 時 間 系 統 的 輸 入 信 號設 連 續 時 間 系 統 的 輸 入 信 號x(t) 滿 足滿 足|x(t)|Mx，則

18、系統的零狀態響應：則系統的零狀態響應：dtxhtxthty)()()()()(或寫成：或寫成：dtxhdtxhty)()()()()(2頻域的穩定條件頻域的穩定條件 n（1）穩定系統）穩定系統 n（2）不穩定系統）不穩定系統 n（3）臨界穩定系統）臨界穩定系統 22)(tvi)(tvos4s222)(sVi)(sVo12F21F41（a）時域電路模型 （b）域電路模型 圖4-19 例4-24圖)(sX)(sY)(sG)(sF圖4-20 例4-25圖返回本節4.8 系統函數與系統頻率特性系統函數與系統頻率特性n4.8.1 頻率特性頻率特性n4.8.2 頻率特性的矢量作圖法頻率特性的矢量作圖法返回

19、首頁4.8.1 頻率特性頻率特性n系統在系統在正弦信號正弦信號激勵的作用下，激勵的作用下，穩態響應穩態響應隨隨著激勵信號頻率的變化特性，稱為系統的頻率著激勵信號頻率的變化特性，稱為系統的頻率特性。特性。n包括幅度隨頻率變化而變化的包括幅度隨頻率變化而變化的幅頻特性幅頻特性和相和相位隨頻率變化而變化的位隨頻率變化而變化的相頻特性相頻特性。 4.8.1 頻率特性頻率特性n下面從系統函數的觀點來考察系統的正弦穩下面從系統函數的觀點來考察系統的正弦穩態響應及頻率特性。態響應及頻率特性。n設系統函數為設系統函數為h(s)，正弦激勵信號正弦激勵信號為為 ，其拉氏變換為：，其拉氏變換為：)(cos)(0tu

20、tEtx2020)(cos)(sEstutEsXL4.8.1 頻率特性頻率特性n則系統響應的拉氏變換為：則系統響應的拉氏變換為：00002211202)()()()(jsjAjsjApsApsApsAsEssHsYnn返回本節4.8.2 頻率特性的矢量作圖法頻率特性的矢量作圖法n矢量作圖法是根據系統函數矢量作圖法是根據系統函數h(s)在在s平面的零、平面的零、極點分布繪制的頻率響應特性曲線，包括幅頻極點分布繪制的頻率響應特性曲線，包括幅頻特性曲線和相頻特性曲線。特性曲線和相頻特性曲線。n設穩定的因果系統，其系統函數為：設穩定的因果系統，其系統函數為： )()()()()(2121011011nmmnnnmmmmpspspszszszsbasasbsbsbsH niimjjmpszsb11)()(4.8.1 頻率特性頻率特性n系統的頻率特性為：系統的頻率特性為：)()()()(| )()(2121nmmjspjpjpjzjzjzjbsHjH niimjjmpjzjb11)()(jj