1、、函數與極限 21、集合的概念 22、常量與變量 32、函數 43、函數的簡單性態 44、反函數 55、復合函數 66、初等函數 67、雙曲函數及反雙曲函數 78、數列的極限 89、函數的極限 910、函數極限的運算規則 11一、函數與極限1、集合的概念一般地我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構成集合，因為它的元素不是確定的。我們通常用大字拉丁字母 A、B、C、表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就說a屬于A,記作：

2、aGA,否則就說a不屬于A,記作：a A。、全體非負整數組成的集合叫做非負整數集（或自然數集）。記作 N、所有正整數組成的集合叫做正整數集。記作N+或N+。、全體整數組成的集合叫做整數集。記作Z。、全體有理數組成的集合叫做有理數集。記作 Q。、全體實數組成的集合叫做實數集。記作Ro集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“ ”括起來表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。集合間的基本關系、子集：一般地，對于兩個集合A、B,如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說 A 、 B 有包含關系，稱集合A 為集合 B 的子集，記作A B （或 B A ）。相等：如

3、何集合 A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合 A中的元素與集合B中 的元素完全一樣，因此集合 A與集合B相等，記作A = Bo、真子集：如何集合 A是集合B的子集，但存在一個元素屬于 B但不屬于A,我們稱集合A是集合 B 的真子集。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：、任何一個集合是它本身的子集。即A a、對于集合 A、B、C,如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算、并集：一般地，由所有屬于集合

4、A或屬于集合B的元素組成的集合稱為 A與B的并集。記作AUBo （在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現一次。）即 AUB= x|xGA,或 xGB。、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為 A與B的交集。記作An Bo即 AHB= x|xGA,且 xGB。、補集：全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作 U 。補集： 對于一個集合 A ， 由全集 U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱為集合 A 相對于全集U的補集。簡稱為集合 A 的補集，記作CUA 。即 CuA= x|x G U ,且 x A。集合中元

5、素的個數、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。、用card來表示有限集中元素的個數。例如 A= a,b,c,則card(A)=3。、一般地，對任意兩個集合A、B,有card(A)+card(B)=card(A U B)+card(A n B)我的問題：1、學校里開運動會，設 A= x|x是參加一百米跑的同學,B= x|x是參加二百米跑的同學,C=x|x是參加四百米跑的同學。學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的 運算說明這項規定，并解釋以下集合運算的含義。、 AUB;、AHBo2、在平面直角坐標系中，集合 C = (x,y)|y

6、=x表示直線y=x,從這個角度看，集合 D=(x,y)|方程組： 2x-y=1,x+4y=5表示什么？集合 C、D之間有什么關系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系。3、已知集合 A=x|1 <x<3, B = x|(x-1)(x-a)=0。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數 a使A =B成立？4、對于有限集合A、B、C,能不能找出這三個集合中元素個數與交集、并集元素個數之間的關系呢？5、無限集合A= 1, 2, 3, 4,，n, B= 2, 4, 6, 8,，2n,，你能設計一種比較 這兩個集合中元素個數多少的方法嗎？2、常量與變量、變量的定義：我們在觀察某一現象的過程時，

7、常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為 常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數值，我們則把其稱之為 變量。注：在過程中還有一種量，它雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我 們則把它看作常量。、變量的表示：如果變量的變化是連續的，則常用 區間來表示其變化范圍。在數軸上來說，區間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。區間的名稱區間的滿足的不等式區間的記號區間在數軸上的表示閉區間a< x< ba , b.1Ah X開區間a<x< b(a, b)b)-J>A半開區間a<x< b 或 a<x<

8、; b(a, b或a , b)-J&bj1kb戈a, b)iIb ? J以上我們所述的都是有限區間，除此之外，還有無限區間：a, +»)：表示不小于 a的實數的全體，也可記為：si< x<+»；(-00, b)：表示小于b的實數的全體，也可記為：-8<x<b；(- 8, +°°)：表示全體實數，也可記為：-OO<x<”注：其中-8和”，分另讀作"負無窮大"和"正無窮大"，它們不是數，僅僅是記號。、鄰域：設a與S是兩個實數，且 S >0.滿足不等式k - a 1 &l

9、t; S的實數x的全體稱為點a的6鄰域，點a稱為此鄰域的中心，6 稱為此鄰域的半徑。2、函數、函數的定義：如果當變量x在其變化范圍內任意取定一個數值時，量y按照一定的法則f總有確定的數值與它對應，則稱 y是x的函數。變量x的變化范圍叫做這個 函數的定義域。通常x叫做自變量，y 叫做函數值（或因變量），變量y的變化范圍叫做這個 函數的值域。注：為了表明y是x的函數，我們用 記號y=f（x）、y=F（x）等等來表示。這里的字母"f"、"F"表示y與x之間的對應法則即 函數關系，它們是可以 任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內任取一個確定的值時，函

10、數只有一個確定的值和它 對應，這種函數叫做 單值函數，否則叫做多值函數。這里我們只討論單值函數。、函數相等由函數的定義可知，一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域。由于值域是由定義域和對應 關系決定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，我們就稱兩個函數相等。、域函數的表示方法a）：解析法：用數學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓的方程是：x2+y2=r2b）：表格法：將一系列的自變量值與對應的函數值列成表來表示函數關系的方法即是表格法。例：在實際應用中，我們經常會用到的平方表，三角函數表等都是用表格法表示的函數。c

11、）:圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表 示因變量。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：3、函數的簡單性態、函數的有界性：如果對屬于某一區間I的所有x值總有1 f（x） <M成立，其中M是一個與x無關 的常數，那么我們就稱 f（x）在區間I有界，否則便稱無界。注：一個函數，如果在其整個定義域內有界，則稱為有界函數例題：函數cosx在（-8,+ 8）內是有界的.、函數的單調性：如果函數/（門在區間（a,b）內隨著x增大而增大，即：對于（a,b）內任意兩點xi 及x2,當xvx2時，有力:工J </（心），則稱函數/

12、在區間（a,b）內是單調增加的。如果函數（"）在區間（a,b）內隨著x增大而減小,即：對于（a,b）內任意兩點xi及x2,當xi<x2時，有>“工七 則稱函數 在區間（a,b）內是單調減小 的。例題：函數a=x2在區間（-8,0）上是單調減小的，在區間（0,+8）上是單調增加的。、函數的奇偶性如果函數了（元）對于定義域內的任意 x都滿足 /（一幻=/（力，則了。）叫做偶函數；如果函數/（'）對于定義域內的任意 x都滿足*f）=，則/叫做奇函數。注：偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。、函數的周期性對于函數丁 W ,若存在一個不為零的數1 ,使得關系

13、式 小+£）="工）對于定義域內任何x值都成立，則手 叫做周期函數，1是）（工）的周期。注：我們說的周期函數的周期是指最小正周期。例題：函數州工是以2天為周期的周期函數；函數 tgx是以無為周期的周期函數。4、反函數、反函數的定義： 設有函數尸=,若變量y在函數的值域內任取一值 y0時，變量x在函數的 定義域內必'有一值 次與之對應，即/（工口）,那末變量x是變量y的函數.這個函數用X二式川）來表 示，稱為函數）= /（“）的反函數.注：由此定義可知，函數V 二/工）也是函數工二成力的反函數。、反函數的存在定理：若，=（芯）在（a , b）上嚴格增（減），其值域為

14、R,則它的反函數必然在 R 上確定，且嚴格增（減）.注：嚴格增（減）即是單調增（減）26例題：y=x2,其定義域為（-8,+8）,值域為0,+ 8）.對于y取定的非負值，可求得x=± 3'.若我們不 加條件，由y的值就不能唯一確定 x的值，也就是在區間（-8,+8）上，函數不是嚴格增（減），故其沒有反 函數。如果我們加上條件，要求 x>0,則對y>0> x="尸就是y=x2在要求x>0時的反函數。即是：函數 在此要求下嚴格增（減）.、反函數的性質：在同一坐標平面內，=/與"但）的圖形是關于直線y=x對稱的。例題：函數A = *與函數

15、y = 嘮”互為反函數，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x對稱的。如右圖所示:5、復合函數復合函數的定義：若y是u的函數：尸=但），而u又是x的函數：=,且伊（工）的函數值的全部或部分在的定義域內，那末，y通過u的聯系也是x的函數，我們稱后一個函數是由函數，=/日）及"二中（工）復合而成的函數，簡稱復合函數，記作 .二力武切 ,其中u叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數就能復合；復合函數還可以由更多函數構成。例題：函數刀=01cM ”與函數=2 +工是不能復合成一個函數的。因為對于 廿=2+X。的定義域（-8,+ 8）中的任何 x值所對應的 u值（都大于或等于2）,使產函

16、期口都沒有定義。6、初等函數、基本初等函數： 我們最常用的有五種基本初等函數，分別是：指數函數、對數函數、募函數、三角函數及反三角函數。下面我們用表格來把它們總結一下:函 數 名 稱函數的記號函數的圖形函數的性質指 數 函 數y - &'(4& u h 1)JX>iVa）:不論x為何值,y總為正數； b）:當 x=0 時,y=1.對 數 函 數1y 二臉工UH。3- /出才a）:其圖形總位于y軸右側，并過（1,0）點b）:當a>1時，在區間（0,1）的值為 負；在區間（ ,+ 8）的值為正；在定義 域內單調增.嘉 函 數-V = 7 a為任意實數令 a=m/

17、na):當m為偶數n為奇數時，y是偶函 數；b):當m,n都是奇數時,y是奇函數； c):當m奇n偶時,y在(-8,0)無意 義.|o 1L這里只畫出部分函數圖形的一 部分。角尸=5及，正弦函數)a):正弦函數是以2元為周期的周期 函數b):正弦函數是奇函數且V = sin x函 數這里只寫出了正弦函數sin < 1-1反角 函 數y = arcsinx(反正弦函數)這里只寫出了反正弦函數1a):由于此函數為多值函數，因此我 們此函數值限制在-無/2,無上, 并稱其為反正弦函數的主值.i°1|、初等函數：由基本初等函數與常數經過有限次的有理運算及有限次的函數復合所產生并且能用一

18、個解析式表出的函數稱為初等函數.例題：y二產+皿次，+3 -2切是初等函數。7、雙曲函數及反雙曲函數、雙曲函數：在應用中我們經常遇到的雙曲函數是：(用表格來描述)函數的名稱函數的表達式函數的圖形函數的性質雙曲余弦雙曲正 弦a)：其定義域為：(-8,+8)；b):是奇函數；c):在定義域內是單調增a)：其定義域為:(-8,+8)；b):是偶函數；c):其圖像過點(0,1);a）：其定義域為：（-8,+8）；b）:是奇函數；c）:其圖形夾在水平直線 y=1及y=-1之間；在定域內單調增；我們再來看一下雙曲函數與三角函數的區別:雙曲函數的性質三角函數的性質地。=0/A0 = 1/A0 二。sin 0

19、 = Orcos 0 = 1, tan 0 = 0shx與thx是奇函數，chx是偶函數sinx與tanx是奇函數，cosx是偶函數chx.- 1sin 3 tH- cosa x - 1它們都不是周期函數都是周期函數雙曲函數也有和差公式:£九（工土 廠）=shxchy_ 、 出土出比 上用=r±thxthy、反雙曲函數：雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數 .a）:反雙曲正弦函數W曲二皿式+J儲+】）其定義域為：（-R+8）;心雙曲人西系和即品工二ln（工+ 1）苴城為b）：反雙曲余弦函數、'，其JE乂域為：1,+ 8）;.1 , 1 十 K= Inc）：反雙曲正切函數2

20、 1走其定義域為：（-i,+i）；8、數列的極限我們先來回憶一下初等數學中學習的數列的概念。、數列：若按照一定的法則，有第一個數a,第二個數a2,，依次排列下去，使得任何一個正整數n對應著一個確定的數 a、那末，我們稱這列有次序的數 ai, a?,，a、為數列.數列中的每一個數 叫做數列的項。第n項an叫做數列的一般項或通項.注：我們也可以把數列an看作自變量為正整數n的函數，即：an=（*）,它的定義域是全體正整數、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產生的例：我們可通過作圓的內接正多邊形，近似求出圓的面積。設有一圓，首先作圓內接正六邊形，把它的面積記為A;再作圓的內接正十二邊形，其面積

21、記為再作圓的內接正二十四邊形，其面積記為A;依次循下去（一般把內接正6X2n-1邊形的面積記為 A）可得一系列內接正多邊形的面積： A, A2, A,，An,，它們就構成一列有序數列。我們可以發現，當內接正 多邊形的邊數無限增加時， An也無限接近某一確定的數值（圓的面積），這個確定的數值在數學上被稱為數 列A, A A ，An,當n-8 （讀作n趨近于無窮大）的極限。注：上面這個例子就是我國古代數學家劉徽 （公元三世紀）的割圓術。、數列的極限：一般地，對于數列 天/來說，若存在任意給定的正數 £ （不論其多么 小），總存在正整數N,使得對于n>N時的一切工鵬不等式上一&quo

22、t;卜"都成立，那末就稱常數a是數列又制 的極限，或者稱數列/收斂于a .“ 如人二，/ 一曰S T記作：花To或M注：此定義中的正數£只有任意給定，不等式后才能表達出天制與a無限接近的意思。且定義中的正整數N與任意給定的正數 £是有關的，它是隨著 £的給定而選定的。、數列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解它。數列 4極限為a的一個幾何解釋：將常數a及數列工并/產'q1 在數軸上用它 們的對應點表示出來，再在數軸上作點a的£鄰域即開區間（a- £, a+e）,如下圖所

23、示：2ga-c- a -a+c4 >T->_ - If* *4 fp-用 mum曲4題+a都x因不等式區"卜4與不等式"久/<奇+ £等價，故當n>N時，所有的點馬都落在開區 間（a- £, a+e）內，而只有有限個（至多只有N個）在此區間以外。注：至于如何求數列的極限，我們在以后會學習到，這里我們不作討論。才T7jr、數列的有界性：對于數列 再,若存在著正數 M,使得一切 花都滿足不等式|n 0M則稱數列R是有界的,若正數M不存在，則可說數列 m是無界的定理：若數列矛收斂，那末數列 外.一定有界。注：有界的數列不一定收斂，即：數

24、列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數列 1 ,-1 , 1, -1 ,，（-1），是有界的，但它是發散的。9、函數的極限前面我們學習了數列的極限，已經知道數列可看作一類特殊的函數，即自變量取1-8內的正整數，若自變量不再限于正整數的順序，而是連續變化的，就成了函數。下面我們來學習函數的極限函數的極值有兩種情況：a）:自變量無限增大；b）:自變量無限接近某一定點 刈，如果在這時，函數 值無限接近于某一常數 A,就叫做函數存在極值。我們已知道函數的極值的情況， 那么函數的極限如何呢下面我們結合著數列的極限來學習一下函數極限的概念！、函數的極限（分兩種情況）a）:自變量趨向無窮大時函數

25、的極限定義：設函數二）,若對于任意給定的正數 £ （不論其多么小），總存在著正數X,使得對于適合不等式A.'的一切x,所對應的函數值 /都滿足不等式I/O）一 達R Ev 一 /fzlim = A那末常數A就叫做函數V-八打當x-8時的極限，記作：''下面我們用表格把函數的極限與數列的極限對比一下：從上表我們發現了什么？ ？試思考之b）：自變量趨向有限值時函數的極限。我們先來看一個例子.丁八尸1手（牙）例：函數工- 1 ,當x-1時函數值的變化趨勢如何？函數在x=1處無定義.我們知道對實數來講，在數軸上任何一個有限的范圍內，都有無窮多個點，為此我們把x-1時函

26、數值的變化趨勢用表列出如下圖：x -og o 99 ggg111 -* 1 aoi 1 01 11 fOOp'1.9 1 gg 1 999 ,+- h| *- 2 001 2 01*從中我們可以看出x-1時，/5）-2.而且只要x與1有多接近，/（工）就與2有多接近.或說：只 要/（工）與2只差一個微量£ ,就一定可以找到一個 S ,當卜一< s時滿足|/（同一 2 < s定義：設 函數J （工）在某點兒的某個去心鄰域內有定義，且存在數 A,如果對任意給定的 £ （不論其多么小），總存 在正數S ,當0V卜一鼎時，l/oo-H< £則稱函

27、數/ 5）當x-X 0時存在極限，且極限為 A,lim. /。）= A記：-o注：在定義中為什么是在去心鄰域內呢？這是因為我們只討論X-X0的過程，與X=X0出的情況無關。此定義的核心問題 是：對給出的£ ,是否存在正數 6,使其在去心鄰域內的x均滿足不等式。有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數的極限為A,其證明方法是怎樣的呢 ？a）:先任取£ > 0;b）：寫出不等式一國< £ ;c）：解不等式能否得出去心鄰域 0<卜./,若能；d）:則對于任給的£>0,總能找出S,當0<卜一/1<6時，V（亮）一成立，因此Im

28、i /（j;） - ANT飛10、函數極限的運算規則前面已經學習了數列極限的運算規則，我們知道數列可作為一類特殊的函數，故函數極限的運算規則 與數列極限的運算規則相似。、函數極限的運算規則若已知xf 0（或xi）時,，T凡虱二TB.lini （力 ± 式域）-A±B lani /（x） -AB則： .h LHm 以包= 4.3。）x” gO） BInn上,，=El 為常物 lim /黑二月，【成為正整數）推論：'L'1-在求函數的極限時，利用上述規則就可把一個復雜的函數化為若干個簡單的函數來求極限。3工二十x -1加一=-三例題：求工+工一工+3/2_1_丁

29、_1litu 3x2 H-lim r lim 1q , i _ i o島 與+-1= zE e =1十11=:*fl 4x*一 m + 3 lim +界"一li» 工+ljm 3 4+1- 1 + 3 7 解答：,.，,- -Inn 例題：求知十2此題如果像上題那樣求解，則會發現此函數的極限不存在.我們通過觀察可以發現此分式的分子和分母 都沒有極限，像這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。注：通過此例題我們可以發現：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規則了，應先把分式的分子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規則求之。函數極限的存在準則學習函數極限的存在準

30、則之前，我們先來學習一下左、右的概念。我們先來看一個例子：-L / <。£gjl -q0,K = 0例：符號函數為LQ °對于這個分段函數，x從左趨于0和從右趨于0時函數極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概 念。定義：如果x僅從左側（X<X0）趨近X0時，函數/1X）與常量A無限接近，則稱A為函數/（X）當工T 而Inn（工）=A時的左極限.記：*3如果x僅從右側（x >X0）趨近X0時，函數/（用與常量A無限接近，則稱A為函數J 5）當無T /時蝎*力幻二乂的右極限.記：注：只有當X-X0時，函數/ （"）的左、右極限存在且相等，方稱

31、J （工）在X-X0時有極限函數極限的存在準則準則一：對于點X0的某一鄰域內的一切 x, X0點本身可以除外（或絕對值大于某一正數的一切x）有式0，“貼），且吧產二工吧內）5hm 工）那末E。 存在，且等于A注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調有界的函數必有極限.注：有極限的函數不一定單調有界兩個重要的極限一：一 X注：其中e為無理數，它的值為：e=2.718281828459045 ” sin n一hm = 1二：人注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經常用到它們g（1-/例題：求I-' 工解答：令 2 ,則x=-2t ,因為Xf8

32、,故tf8,2111lim （1-）* = lim （1 + =hm 0+= hm （l + -）?-a =則.二,'一注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象X-8時，若用t代換1/X,則t-0.無窮大量和無窮小量無窮大量我們先來看一個例子：上，、I/=_8我們把這種情況稱為趨向無窮大。為已知函數工，當X-0時，可知八"此我們可定義如下：設有函數 y=JX,在x=X0的去心鄰域內有定義，對于任意給定的正數N（一個任意大的數），總可找到正數 6,當T1口時為無窮大量L/（乃 加十、m 工”將 JZ01 時，I'尸 成立，則稱函數當lim記為：（表示為無

33、窮大量，實際它是沒有極限的）同樣我們可以給出當 x-8時，J【2無限趨大的定義：設有函數 y=/5）,當x充分大時有定義， 對于任意給定的正數 N（一個任意大的數），總可以找到正數 Ml當卜卜時，匕（工）戶”成立，則稱函lim J （工）=co數當X-8時是無窮大量，記為： 心0無窮小量以零為極限的變量稱為無窮小量。定義：設有函數/（/），對于任意給定的正數 £ （不論它多么小），總存在正數6（或正數M）,使得對 于適合不等式卜-而K 口（或卜"）的一切x,所對應的函數值滿足不等式/標七，則稱函 數J （工）當其T工。（或X-8）時為無窮小量.血 /= 0111n /= 0

34、記作： ktXq（或 X-0）注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區別是：前者無界，后者有界，前者發散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數關系的.關于無窮小量的兩個定理定理一：如果函數/（用在/ T工口（或X-8）時有極限A,則差/（工）一月=出外是當工f 丁0 （或 X-8）時的無窮小量，反之亦成立。定理二：無窮小量的有利運算定理a）:有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；b）:有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c）:常數與無窮小量的積也是無窮小量.無窮小量的比較通過前面的學習我們已經知道，兩個無窮小量的和、差及乘積

35、仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。定義：設a , 0者B是克工口時的無窮小量，且 0在人的去心領域內不為零，lim = 0a）:如果# ，則稱”是0的高階無窮小或0是a的低階無窮小；lim = e 0b）:如果一。B,則稱a和0是同階無窮小；lim -1c）:如果i 5,則稱a和3是等價無窮小，記作：”S0 （a與0等價）lim =例：因為 3益 3,所以當x-0時，x與3x是同階無窮小;11m0因為 E 泰一,所以當x-0時，x2是3x的高階無窮小；因為 X ,所以當x-0時，sinx與x是等價無窮小。等價無窮

36、小的性質. ar. a . c/- lim-lim-=lmi -設aS a , / S# ,且 g存在，則 S Z?f .注：這個性質表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可 以利用這個性質來簡化求極限問題。sin axkm 例題:1,求X tan及sin 1齊 y ax abm ； = hm 二解答:當 x-0 時，sin axsax, tanbxs bx,故：tan bx 3K 力t tan 2l - sinInn 例題:2.求11匕再tan x siti Jr tan x(l cos x)')1lim；= hm；-= hm =一解答: tan

37、3x z tan 3 向 (3a)3541- ce>s x - 2 sin ° 色 s 2-(£產=注：一 一 一注：從這個例題中我們可以發現，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。函數的一重要性質連續性在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，*t物的生長等都是連續地變化著的.這種現象在函數關系上的反映，就是函數的連續性在定義函數的連續性之前我們先來學習一個概念一一增量設變量x從它的一個初值xi變到終值x2,終值與初值的差x2-x 1就叫做變量x的增量，記為：*即： x=x2-xi增量 *可正可負.我們再來看一個例子：函數 '一'(工在點

38、xo的鄰域內有定義，當自變量 x在領域內從xo變到xo+Ax時，函數y相應地從/優)變到了(% +4© ,其對應的增量為：這個關系式的幾何解釋如下圖：0寶0。事現在我們可對連續性的概念這樣描述：如果當*趨向于零時，函數y對應的增量Ay也趨向于零，即:lim Ay = 0那末就稱函數y=x5）在點近處連續函數連續性的定義:設函數A = /a）在點X0的某個鄰域內有定義，如果有研 /W=/Co）*力而稱函數，二/（幻在點X0處連續，且稱X0為函數的=/（工）的連續點.下面我們結合著函數左、右極限的概念再來學習一下 函數左、右連續的概念：設函數,（工）在區間（a,b，即： .1- 二 L

39、,那末我們就稱函數4二lim于小如果右極限足釗 存在且等于，即：a右連續.連續，若又在a點右連續，b點左連續，則在閉區間lim f（x）/ 小內有定義，如果左極限E-。存在且等于八門在點b左連續.設函數75）在區間a,b）內有定義，4-0' ,那末我們就稱函數/在點一個函數在開區間（a,b）內每點連續，則為在（a,b）a , b連續，如果在整個定義域內連續，則稱為連續函數。注：一個函數若在定義域內某一點左、右都連續，則稱函數在此點連續，否則在此點不連續注：連續函數圖形是一條連續而不間斷的曲線。通過上面的學習我們已經知道函數的連續性了，同時我們可以想到若函數在某一點要是不連續會出現什么情

40、形呢？接著我們就來學習這個問題：函數的間斷點函數的間斷點定義：我們把不滿足函數連續性的點稱之為間斷點.它包括三種情形：a） :/在X0無定義；b） : 丁在X- x 0時無極限；c）：在x-x0時有極限但不等于I凡）;下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型：布砥X 工例1：正切函數”施工在2處沒有定義，所以點 2是函數方=施工的間斷點，因lim tan x = oo/nrX F,我們就稱2為函數1y二tan工的無窮間斷點；1p = sin 例2:函數五在點x=0處沒有定義；故當x-0時，函數值在-1與+1之間變動無限多次，我1p = sin 們就稱點x=0叫做函數式的振蕩間斷點；“工-Lx&l

41、t;0y （xj = * （X x = ov +1 T>nlim f（x） = -1 Um /= 1例3:函數L" * .'當xfo時，左極限而TO,右極限,從這我們可以看出函數左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數在點x=0是不存在極限。我們還可以發現在點x=0時，函數值產生跳躍現象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下：間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果近是函數/（工）的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數J （工）的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.可去間斷點f出）婀/（大）

42、/ 若京是函數了 的間斷點，但極限tt辦存在，那末次是函數/的第一類間斷點。此時函 數不連續原因是：八助不存在或者是存在但期/&）。我們令八幾戶現了，則 可使函數在點xo處連續，故這種間斷點 W稱為可去間斷點連續函數的性質及初等函數的連續性連續函數的性質函數的和、積、商的連續性我們通過函數在某點連續的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結論：a）:有限個在某點連續的函數的和是一個在該點連續的函數；b）:有限個在某點連續的函數的乘積是一個在該點連續的函數；c）：兩個在某點連續的函數的商是一個在該點連續的函數（分母在該點不為零）；反函數的連續性若函數1y=了a）在某區間上單調增（或單調減）

43、且連續，那末它的反函數月二心也在對應的區間 上單調增（單調減）且連續例：函數A = E1n K在閉區間 2 2上單調增且連續，故它的反函數,=選匚sm工在閉區間-1,1上也是單調增且連續的。復合函數的連續性_、lain儼=a_ 工設函數”一町I個當X-X0時的極限存在且等于a,即：Eq.而函數町在點u=av_證力火力二（G連續，那末復合函數刀一八叭?川當x-近時的極限也存在且等于,即：eqlun cosfl + 鏟例題：求10Ilim COsH-F = coslim n + xV = COSS解答：一 L' -IJ12注：函數卅=8m+幻可看作尸二匚g遼與修=（l+»5復合而

44、成，且函數A 二 8四在點u=e 連續，因此可得出上述結論。設函數”=好（外在點X=X0連續，且雙為”附，而函數N =S在點u=U0連續，那末復合函數，=1）在點x=X0也是連續的初等函數的連續性通過前面我們所學的概念和性質，我們可得出以下結論：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的； 一切初等函數在其定義域內也都是連續的.閉區間上連續函數的性質閉區間上的連續函數則是在其連續區間的左端點右連續，右端點左連續.對于閉區間上的連續函數有幾條重要的性質，下面我們來學習一下： 最大值最小值定理：在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。（在此不彳證明）例：函數y=sinx在閉區間0 , 2無上連續，則

45、在點x=%/2處，它的函數值為1 ,且大于I區間0 ,2nt上其它各點出的函數值；則在點 x=3無/2處，它的函數值為-1,且小于閉區間0, 2無上其它各點出的函 數值。介值定理在閉區間上連續的函數一定取得介于區間兩端點的函數值間的任何值。即：（=Ct /（功=£，”在a、0之間，則在a , b間一定有一個z ,使/® = H 推論： 在閉區間連續的函數必取得介于最大值最小值之間的任何值。二、導數與微分導數的概念在學習到數的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設一質點沿x軸運動時，其位置x是時間t的函數，1=/（工）,求質點在3的瞬時速度？我

46、們知道時間從 t0有增 量時，質點的位置有增量 k =也）,這就是質點在時間段At的位移。因止匕，在此段時間內質點的平均速度為：&E,若質點是勻速運動的則這就是在壓的瞬時速度，若質點是非勻速直線運動，則這還不是質點在t0時的瞬時速度。我們認為當時間段At無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質點t0時的瞬時速度，即：質點在10時的瞬時速度 r f（/o + AO小 k tai ;= lim=3&ar" 人為此就產生了導數的定義，如下：導數的定義：設函數？二,（工）在點X0的某一鄰域內有定義，當自變量 x在X0處有增量xlx+x也 在該鄰域內）時，相應地函數有增量

47、切=/（%+&）7（1口）,若勺與心之比當時極限存在，則稱這個極限值為小二,在x0處的導數。記為：'f還可記為：上23 , 丁。口）函數 H 在點xo處存在導數簡稱函數 / 在點x0處可導,否則不可導。若函數,（X）在區間（a,b） 內每一點都可導，就稱函數 丁°）在區間（a,b）內可導。這時函數' = /（'）對于區間（a,b）內的每一個確 定的x值，都對應著一個確定的導數， 這就構成一個新的函數，我們就稱這個函數為原來函數 V = /（工）的 導函數。注：導數也就是差商的極限左、右導數前面我們有了左、右極限的概念，導數是差商的極限，因此我們可以給出

48、左、右導數的概念。若極限 “必.Ax存在，我們就稱它為函數丫 ='在x=x0處的左導數。若極限wd Ax存在，我們就稱它為 函數A = / （工）在X=X0處的右導數。注：函數尸二（K）在X0處的左右導數存在且相等是函數 y = f（X）在X0處的可導的充分必要條件函數的和、差求導法則函數的和差求導法則法則：兩個可導函數的和（差）的導數等于這兩個函數的導數的和（差）.用公式可寫為： 例士仍'二±3。其中u、v為可導函數。下二工+ / +7 f例題：已知 工，求F爐=（1）'+（一）'十°） 二一5"+5X4 +0=-+54解答：&#

49、39;例題：已知"弱工-kgd+1，求V爐二（sin x）1 Qog r / + Q 上 二 cos 工, -5 十 第解答：!函數的積商求導法則常數與函數的積的求導法則法則：在求一個常數與一個可導函數的乘積的導數時，常數因子可以提到求導記號外面去。用公式可百成.（時二M例題：已知尸§加元+日/,求V解答：】一 一一一一：3-. .:一 一,函數的積的求導法則法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數。用公式可寫成：''' ' ''''例題：已知/(x)r =

50、 (,£) "in x 十 五(sin x)r = sin x + 五cos x解答：,注：若是三個函數相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數的商的求導法則法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母導數乘積減去分母導數與分子導數的乘積，在除以分母導數的平方。用公式可寫成：例題：已知JU)二碗匕求'解答：,sin x(sin 勸匕口5工一 win 工cosa j +sin a x 1/w = a 以= q)= -T-=y=一COSXC0£ XCOS 工 COS 7復合函數的求導法則在學習此法則之前我們先來看一個例子！例題：求(而=?解答：由于(曲工)&#

51、39;=C0SA,故1 2工)f = cos2x這個解答正確嗎？這個解答是錯誤的， 正確的解答 應該如下：(sin 2歲 =(2 sin. jcos 寸 =2(sin x)fcosjt + sin i(cos x)f= 2cos 2工我們發生錯誤的原因是 1出2工)是對自變量x求導，而不是對2x求導。下面我們給出復合函數的求導法則復合函數的求導規則規則：兩個可導函數復合而成的復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘上中間變量對自變量的 導數。用公式表示為：力心檢擊 4d工，其中u為中間變量亦 r例題：已知» 51n。求心解答：設遼二池萬，則，二加工可分解為,口二加入因此=- = (u

52、3)?sin x)f = cost = 2 sin xcost = sin 2x dx da dx注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。無例題：已知y =必汕工，求去dy .f1.cosk=(In sin jt) =(sm x) = =cot x解答：一:一 .'二一反函數求導法則根據反函數的定義，函數 y=/（）為單調連續函數，則它的反函數 工=wU）,它也是單調連續的為此我們可給出反函數的求導法則，如下（我們以定理的形式給出）：定理：若方=孤是單調連續的，且 就負W°,則它的反函數y = 在點x可導，且有:1注:通過此定理我們可以發現:反函數的導數等于原函數導數的倒數。

53、注：這里的反函數是以y為自變量的，我們沒有對它作記號變換即：軻是對y求導，/G）是Kx求導例題：求y = arc sin工的導數.解答：此函數的反函數為 工=sin尸，故芯'=則：,11 1 1k，cosy Jjin ” y J1 一爐例題：求y = arctan f的導數.解答：此函數的反函數為工=tany,故M = 5。/y則:,1111y -/ sec2 y 1+tan3y 1 + x2高階導數dsp =我們知道，在物理學上變速直線運動的速度v（t）是位置函數s（t）對時間t的導數，即： d£ ,dv d （dC0=而加速度a又是速度v對時間t的變化率，即速度v對時間t

54、的導數：出 出1或人或次=（£丫d （港、這種導數的導數1沒J叫做s對t的二階導數。下面我們給出它的數學定義:定義：函數V = /（"）的導數V二尸仍然是x的函數.我們把V=/（幻的導數叫做函數d2yd_ _ d 作、的二階導數，記作/或d# ,即：/ = 3')'或投右而J,相應地，把1y =/(工)的導數 /=/fW叫做函數 >=/5)的一階導數.類似地，二階導數的導數，叫做 三階導數，三階導數 的導數，叫做四階導數，一般地(n-1)階導數的導數叫做n階導數.分別記作：2，*或加,加,，au二階及二階以上的導數統稱 高階導數。由此可見，求高階導數就

55、是多次接連地求導，所以，在求高階 導數時可運用前面所學的求導方法。例題：已知二其+匕，求解答：因為“ =a，故V"=0例題：求對數函數少二必(1 +工)的n階導數。141 nr 1,2J4；112 1 3J J V V 爐 J 解答：'一T77,("力("療，。+以，一般地，可得1 1 ' 1隱函數及其求導法則我們知道用解析法表示函數，可以有不同的形式.若函數y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx ,y=1+3x等，這樣的函數叫 顯函數.前面我們所遇到的函數大多都是顯函數.一般地，如果方程 F(x,y)=0中，令x在某一區間內任取一值時，相應地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程F(x,y)=0在該區間上確定了 x的隱函數y.把一個隱函數化成顯函數的形式， 叫做隱函數的 顯化。注：有些隱函數并不是很容易化為顯函數的，那么在求其導數時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！隱函數的求導若已知F(x,y)=0 ,求 改 時，一般按下列步驟進行求解：a