1、精品ppt2一 重心三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。 精品ppt3銳角三角形銳角三角形鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形精品ppt4重心的性質重心的性質 1、重心到頂點的距離與重心到對邊中、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為點的距離之比為2 1。 2、重心和三角形、重心和三角形3個頂點組成的個頂點組成的3個個三角形面積相等。即重心到三條邊的距三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。離與三條邊的長成反比。精品ppt5w 重 心 w三條中線定相交，交點位置真奇巧，三條中線定相交，交點位置真奇巧， w 交點命名為交點命名為“重心重心”，重心性質要明

2、了，重心性質要明了，w 重心分割中線段，數段之比聽分曉；重心分割中線段，數段之比聽分曉； w長短之比二比一，靈活運用掌握好長短之比二比一，靈活運用掌握好 精品ppt6外心外心三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。 精品ppt7銳角三角形銳角三角形鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形精品ppt8外心的性質：外心的性質： 1、當三角形為銳角三角形時，外心在三、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊

3、的中點重合。時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。 2、外心到三頂點的距離相等、外心到三頂點的距離相等 w外外 心心 w 三角形有六元素，w 三個內角有三邊 作三邊的中垂線，w 三線相交共一點 此點定義為“外心”，w 用它可作外接圓 “內心”“外心”莫記混，w “內切”“外接”是關鍵精品ppt10三角形垂心三角形垂心 三角形的三條高（所在直線）交于一點，該三角形的三條高（所在直線）交于一點，該點叫做三角形的垂心。點叫做三角形的垂心。精品ppt11銳角三角形銳角三角形鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形精品ppt12垂心的性質：垂心的性質： 1、垂心到三角形一頂點距離為此三角形、垂心到三角形一

4、頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的外心到此頂點對邊距離的2倍。倍。 2、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。精品ppt13w 垂垂 心心 w 三角形上作三高，三高必于垂心交 w 高線分割三角形，出現直角三對整， w 直角三角形有十二，構成六對相似形， w 四點共圓圖中有，細心分析可找清 w三角形垂心到任一頂點的距離三角形垂心到任一頂點的距離等于其外心到對邊距離的等于其外心到對邊距離的2倍倍 精品ppt14三角形內心三角形內心 三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。 精品ppt15銳角三角形銳角三角形鈍角三角形鈍角三角形直

5、角三角形直角三角形精品ppt16 1、三角形的三條內角平分線交于一、三角形的三條內角平分線交于一點。該點即為三角形的內心。點。該點即為三角形的內心。 2、直角三角形的內心到邊的距離等、直角三角形的內心到邊的距離等于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分于兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。之一。 內心的性質：內心的性質： 精品ppt17w內內 心心 w 三角對應三頂點，w 角角都有平分線， 三線相交定共點，w 叫做“內心”有根源； 點至三邊均等距，w 可作三角形內切圓， 此圓圓心稱“內心”如此定義理當然 精品ppt18三角形旁心三角形旁心 三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其三角形的旁切圓（與三角形的一

6、邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。做三角形的旁心。 精品ppt19三角形的中心：只有正三角形才三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。垂心，四心合一。 精品ppt20三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心。w 定義：w 重心:三角形頂點與對邊中點的連線交于一點,稱為三角形重心; w 垂心:三角形各邊上的高交于一點,稱為三角形垂心;w 外心:三角形各邊上的垂直平分線交于一點,稱為三角形外心; w 內心:三角形三內角平分線交于一點,稱為三角形內心; w旁心：是一個內

7、角平分線與其不相鄰的兩個外角平分線的交點，它到三邊的距離相等。 w 中心:正三角形的重心、垂心、外心、內心重合，稱為正三角形的中心。三角形四心的復習三角形四心的復習重心重心垂心垂心外心外心內心內心定義定義三條三條_ _的的交點交點(即內切圓圓心). 三條三條_的交點的交點三條三條_的的交點交點(即外接圓圓心).三條三條_的交點的交點圖形圖形性質性質重心分中線重心分中線比為比為_ 外心到外心到_距離距離相等相等 內心到內心到_距離相距離相等等 位置位置必在的必在的_ 銳角在銳角在_，鈍角，鈍角在在_直角在直角在_ 銳角在銳角在_，鈍角在鈍角在_，直角，直角在在_。 必在的必在的_ 中線中線高線高

8、線中垂線中垂線角平角平分線分線2:1頂點頂點三邊三邊內部內部內部內部外部外部直角頂點直角頂點內部內部外部外部斜邊中點斜邊中點內部內部精品ppt22重心：重心：w 證明三條中線交于同一點重心分中證明三條中線交于同一點重心分中線的比為線的比為2：1證法證法1 1圖圖證法證法2 2圖圖精品ppt23外心：外心：證明三條垂直平分線交于同一點證明三條垂直平分線交于同一點精品ppt24內心：內心：證明三條角平分線交于同一點證明三條角平分線交于同一點精品ppt25相關結論(1)三角形的內心到三角形三邊距離相等.(2)三角形的外心到三角形三個頂點距離相等.(3)三角形的重心把每條中線均分成2:1兩部分.(4)

9、直角三角形的內切圓半徑r= (a+b-c);外接圓半徑R=(5)三角形面積公式：S= 周長 r(6)等腰三角形的內心、外心、重心、垂心共線(均在對稱軸上).(7)等邊三角形的內心、外心、重心、垂心共點.2 2C C2 21 12 21 1精品ppt26三角形各心常見應用舉例w 例1：三條直線a、b、c 分別表示三條相互交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路距離相等，則可供選擇的地址有幾處？w 例2：A、B 、C三個點分別表示三個學校，要建一個快餐店，使三個學校到快餐店距離相等，則快餐店應建在何處？精品ppt27練習w 1。等腰三角形底邊上的高與底角的平分線的交點是等腰三角形的 心。

10、w 2。點P是ABC內部一點，且PAB, PBC,PAC面積相等，則點P是ABC的 w 心。w 3。 O與ABC三邊相交所截得的線段相等，則點O是ABC的 心。精品ppt28例例1 設G為ABC的重心，M、N分別為BC、CA的中點，求證：四邊形GMCN和GAB的面積相等 典型例題例例2 證明三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍 練一練：w 已知三角形三邊長分別為5、12、13，那么：w 垂心到外心的距離是 ，w 重心到垂心的距離是 ，w 垂心到最大邊的距離是 ，w 斜邊上的高是 ，w 重心到最長邊的距離是 。w 外心到最短邊的距離是 ，w 內心到垂心的距離是 。 w小結w 三角形的主要線段三角形的主要線段中線、高、內角平分中線、高、內角平分線及各邊的垂直平分線各交于一點線及各邊的垂直平分線各交于一點w “四心四心”不要混淆，中線是不要混淆，中線是“重心重心”（“中中”與與“重重”諧音），高線是垂心（高與垂直有諧音），高線是垂心（高與垂直有關），外接圓圓心是外心，因它到三角形三頂關），外接圓圓心是外心，因它到三角形三頂點距離相等，故必是三邊垂直平分線的交點。點距離相等，故必是三邊垂直平分線的交點。內切圓圓心是內心，因它