1、7.2.1 三角函數的定義學習目標核心素養1 .理解任意角的正弦、 余弦、正切的定義.（重點）2 .會根據三角函數的定義確定三角函數在各象限內的符號.（難點）1 .通過任意角的三角函數概念的學習，培養 學生的數學抽象及直觀想象核心素養.2 .借助角在各象限符號的判斷，提升學生的 直觀想象及數學抽象核心素養 .1 .任意角的三角函數在平面直角坐標系中，設a的終邊上任意一點 P的坐標是（x, y）,它與原點O的距離是 r （r = W+ y2 > 0）三角函數定義名稱sin ay正弦COS axr-余弦tan ay x正切2 .三角函數在各象限的符號思考：記憶正弦、余弦、正切在各象限的符號有

2、什么訣竅嗎？提示對正弦、余弦、正切函數值的符號可用下列口訣記憶：“一全正，二正弦，三 正切，四余弦”，該口訣表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是 正值，第四象限余弦是正值.1 .已知角a終邊經過P乎，2 ,則COS a等于（）13312 B T C TD. ±2B 由三角函數定義可知，設x=23, y = 2,則r =1x2+ y2 =1, 故COS a2 .若三角形的兩內角a, 3滿足sin a cos B<0,則此三角形必為（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.以上三種情況都可能B Sin a cos B <0, a , B e (0

3、,), .si n a >0, cos 3 <0,(3 為鈍角.3 .若角a的終邊上有一點 P(3,4),則sin a + cos a二由三角函數定義知， sin a =3 cos a =1,5 55- sin a + cos a = . 54.已知cos 0 - tan 0 <0,那么角 0是 象限角.第三或第四cos 0 - tan 0 <0, .cos 0 , tan 0 異號.故由象限角知識可知 0在第三或第四象限.任意角三角函數的定義及應用例1 (1)若sin a =f, COS a=2，則在角a終邊上的點有()55A. (4,3)B. (3, 4)C. (4

4、, - 3)D. (3,4)(2)已知角 a 的終邊過點 P( 3a,4a)( aw0),則 2sin a + cos a=.思路探究(1)由定義確定終邊位置，結合函數值求解.(2)分a>0, a< 0兩種情況分別求解.(1) A(2)1 或一1 (1)由 sin a, cos a 的定義知 x=4, y=3, r = 5 時，滿足題意, 故選A.(2)因為 r = 3a 2+ 4a 2 = 5| a| ,若a>0,則r=5a,角a在第二象限.sin a = y= = - cos ar 5a 5x 3ar5a35'所以2sina+ cos a ;=8-5-3=1.若a

5、<0,則r = - 5a,角a在第四象限,sin4a一 4-3a3“一cos-5a 55a5'所以2sina+ cos a ;8 3=115 5.由角a終邊上任意一點的坐標求其三角函數值的步驟：(1)已知角a的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種：已知由a的終邊上一點 P(x, y) , P到原點的距離為 r(r>0),則sin a =y, cos a =x a的終邊求a的三角函數時，用這幾個公式更方便.(2)當角a的終邊上點的坐標以參數形式給出時，一定要注意對字母正、負的辨別，若 正、負未定，則需分類討論.1 .設函數f( 9 )=事sin 0 + cos 0 ,其中

6、角0的頂點與坐標原點重合，始邊與 x軸 非負半軸重合，終邊經過點 P(x, y),且0W 8 w兀.若點P的坐標為2，平,求f( 8 )的 值.解由點P的坐標為2,喙 和三角函數定義得sin 8 =*，cos 8 = J所以 f ( 8 )=乖sin9 + cos 9 = 3X 乎 +2 = 2.三角函數符號的判斷【例2】判斷下列各式的符號.(1)sin 2 015 ° cos 2 016 ° tan 2 017 ° ;(2)tan 191 ° -cos 191 ° ;(3)sin 2cos 3tan 4.思路探究先確定角所在象限，進一步確定各

7、式的符號解(1)2 015° =5X360° +215° ,2 016° =5X360° +216° , 2 017° =5X360° +217.它們都是第三象限角，.sin 2 015 ° <0, cos 2 016 ° <0, tan 2 017 ° >0,.sin 2 015 ° cos 2 016 ° tan 2 017 ° >0.(2) 191°角是第三象限角，tan 191 ° >0, cos

8、191 ° <0,.tan 191 ° -cos 191 ° >0 .(3) <2<兀,<3<兀,< <4<32,.2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角, .sin 2>0 , cos 3<0 , tan 4>0 ,sin 2cos 3tan 4<0.由三角函數的定義知sin a =y, cos a=-，tan a = r>0 ,可知角的三角函數值rrx的符號是由角終邊上任一點Px, y的坐標確定的，則準確確定角的終邊位置是判斷該角的三角函數值符號的關鍵.2.判斷下列式子

9、的符號：sin 320 ° - cos 385 ° tan 155 ° tan( 480° ).解270° <320°<360°,360°<385° <450°, 90° <155°<180° ,540°< 480°< 450° ,則320°為第四象限角，385。為第一象限角，155。為第二象限角，一480。為第三象限角，所以 sin 320 ° <0, cos

10、385 ° >0, tan 155 ° <0, tan( -480° )> 0.所以 sin 320 ° - cos 385 ° tan 155 ° - tan( -480° )>0,即符號為正.1 .對三角函數值符號的理解三角函數值的符號是根據三角函數定義和各象限內點的坐標符號導出的.從原點到角的終邊上任意一點的距離 總是正值.根據三角函數定義知：(1)正弦值的符號取決于縱坐標y的符號.(2)余弦值的符號取決于橫坐標x的符號.(3)正切值的符號是由x, y的符號共同決定的，即 x, y同號為正，異號

11、為負.2 .對三角函數定義的理解(1)三角函數值是比值，是一個實數，這個實數的大小和點P(x, y)在終邊上的位置無關，只由角a的終邊位置確定.即三角函數值的大小只與角有關.(2)要善于利用三角函數的定義及三角函數的符號規律解題，并且注意掌握解題時必要 的分類討論及三角函數值符號的正確選取.(3)要牢記一些特殊角的正弦、余弦、正切函數值.1.已知P(1 , 5)是a終邊上一點，則sin a =(A. 1C.5 .'2626C = x=1, y= 5,r = 26,y 5 126 sin = -=- 26 .2.sin 1 cos 2 tan 3 的值是（）A.正數B.負數C. 0D.不存在一一一.兀 兀一兀一A . 0<1<y, 于2<兀,萬<3<兀， .sin 1>0 , cos 2<0 , tan 3<0 ,sin 1 cos 2 tan 3>0.3.如果sin x= |sin x| ,那么角x的取值集合是 x| 2k nt w xw2k 兀 + 兀，kC Z sin x=|s