1、學習必備歡迎下載中學數學難題1. 在等腰三角形abc 中， ab=ac ， p,q 分別是 ac,ab上的點， ap=pq qb bc，求角acq 的度數；解：過 q 作 qe/bc ，使得 qe=qb ，連接 ep,ec就四邊形 bceq為菱形，由 ec/ab得出 ecp= a= pqa pc=ac-ap=ab-bq=aq,ec=bq=pq故 ecp pqa故 pe=ap=pq=qe， pqe 為等邊三角形，故圖中的 x=20°，因此 acq=3°0.2. 在圖 1 至圖 3 中，點 b 是線段 ac 的中點，點 d 是線段 ce 的中點四邊形 bcgf 和 cdhn都是

2、正方形 ae 的中點是 m （1） 如圖 1，點 e 在 ac 的延長線上， 點 n 與點 g 重合時，點 m 與點 c 重合，求證：fm=mh ，fm mh ；（2） ）將圖 1 中的 ce 繞點 c 順時針旋轉一個銳角，得到圖2 ，求證： fmh 是等腰直角三角形；（3） ）將圖 2 中的 ce 縮短到圖 3 的情形， fmh 仍是等腰直角三角形嗎？ （不必說明理由）（1） ）證明：四邊形 bcgf 和 cdhn 都是正方形，又點 n 與點 g 重合，點 m 與點 c 重合，fb = bm = mg =md = dh ， fbm = mdh = 90° fbm mdh fm =

3、mh fmb = dmh = 45°， fmh = 90° fm hm（2） ）證明：連接 mb、md ，如圖 23-2 ，設 fm 與 ac 交于點 pb、d、m 分別是 ac、ce 、ae 的中點， mdbc ，且 md = bc = bf ； mb cd ， 且 mb=cd=dh四邊形 bcdm 是平行四邊形 cbm = cdm又 fbp = hdc ， fbm = mdh fbm mdhfm = mh ，且 mfb = hmd又 mdbc ， fmd apm， fmh = fmd hmd = apm mfb = fbp = 90° fmh 是等腰直角三角形

4、（3） ）解： fmh 是等腰直角三角形 3 如圖， 在等腰 rt abc 與等腰 rt dbe 中，bde= acb=90° ，且 be 在 ab 邊上， 取 ae 的中點 f， cd 的中點 g ，連接 gf（1 ）fg 與 dc 的位置關系是fg cd，fg 與 dc 的數量關系是fg=$frac12$cd；（2 ）如將 bde 繞 b 點逆時針旋轉 180°，其它條件不變，請完成下圖，并判定（1 ）中的結論是否仍舊成立？請證明你的結論解 析 （ 1）證 fg 和 cd 的大小和位置關系，我們已知了g 是 cd 的中點，猜想應當是fg cd ，fg=$frac12$c

5、d我們可通過構建三角形連接fd ，fc ，證三角形 dfc 是等腰直角三角形來得出上述結論，可通過證明全等三角形來證明，延長de 交 ac 于 m，連接 em，證明三角形def 和 fmc 全等即可我們發覺 bdmc 是個矩形，因此 bd=cm=de 由于三角形 deb 和 abc 都是等腰直角三角形， bed=a=45°，因此 aem= a=45°，這樣我們得出三角形aem 是個等腰直角三角形， f 是斜邊 ae 的中點，因此 mf=ef ， amf= bed=4°5，那么這兩個角的補角也應當相等，由此可得出def= fmc ，這樣就構成了三角形def 和 em

6、c 的全等的全部條件，df=fc 這樣就得出三角形 dfc 是等腰三角形了，下面證直角依據兩三角形全等，我們仍能得出mfc= dfe ，我們知道 mfc+ cfe=90° ，因此 dfe+cfe= dfc=9°0，這樣就得出三角形 dfc 是等腰直角三角形了，也就能得出fg cd ，fg=$frac12$cd的結論了（2 ）和（ 1）的證法完全一樣（1 ）fg cd ，fg=$frac12$cd（2 ）延長 ed 交 ac 的延長線于 m，連接 fc 、fd 、fm ，四邊形 bcmd 是矩形cm=bd 又 abc 和 bde 都是等腰直角三角形，ed=bd=cm e= a

7、=45°， aem 是等腰直角三角形 又 f 是 ae 的中點，mf ae ，ef=mf ， e= fmc=4°5 efd mfc fd=fc ， efd= mfc 又 efd+ dfm=9°0， mfc+ dfm=9°0即 cdf 是等腰直角三角形，學習必備歡迎下載又 g 是 cd 的中點，fg=$frac12$cd，fg cd 如圖，以 abc 的三邊為邊，在 bc 的同側作三個等邊 abd 、 bec 、 acf （1 ）判定 四邊形 adef 的外形，并證明你的結論；（2 ）當 abc 滿意什么條件時，四邊形adef 是菱形？是矩形？解 析 （

8、1）由題意易得 bde bac ， de=ac=af ，同理可證， ef=ab=ad ， adef 為平行四邊形；（2 ）ab=ac時，可得 adef的鄰邊相等，所以 adef 為菱形， aedf 要是矩形，就 def=90° ，由def= bed+ bec+ cef ，可推出 bac=150° 時為矩形 解 答 （ 1）四邊形 adef 為平行四邊形，證明： abd 和 ebc 時等邊三角形，bd=ab ，be=bc ； dba= ebc=6°0， dba- eba= ebc- eba dbe= abc ；在 bde 和 bac 中bd=ba dbe= abc be=bc， bde bacde=ac=af同理可證： ecf bca ，ef=ab=adadef 為平行四邊形；（2 ）ab=ac 時為菱形， bac=15