1、利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金引言引言年金（年金（annuity） 是指一系列按照相等時(shí)間間隔是指一系列按照相等時(shí)間間隔支付的款項(xiàng)。支付的款項(xiàng)。年金的分類(lèi)年金的分類(lèi):1.按年金的起訖時(shí)間是否確定按年金的起訖時(shí)間是否確定確定年金確定年金(annuity_certain)固定時(shí)期，支付確固定時(shí)期，支付確定金額。定金額。風(fēng)險(xiǎn)年金風(fēng)險(xiǎn)年金(contingent annuity )（如生命年金）（如生命年金）利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2.按每期支付的金額有無(wú)變動(dòng)按每期支付的金額有無(wú)變動(dòng)定額年金定額年金(constant annuity)變額年金變額年金(varying ann

2、uity)3.按每期支付時(shí)間在期初還是在期末按每期支付時(shí)間在期初還是在期末期末付年金（期末付年金（annuity-immediate）初付年金、期初付年金（初付年金、期初付年金（annuity-due）利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金4.按支付期和計(jì)息期是否一致按支付期和計(jì)息期是否一致簡(jiǎn)單年金、基本年金簡(jiǎn)單年金、基本年金(simple annuity or basic annuity)一般年金一般年金(general annuity)5.按年金的支付期是否有限按年金的支付期是否有限有限年金（有限年金（temporary annuity）永續(xù)年金（永續(xù)年金（perpetuity）利息論

3、講義利息論講義第二章第二章 年金年金幾個(gè)概念幾個(gè)概念支付期（支付期（payment period):兩次年金支付之兩次年金支付之間的間隔。間的間隔。計(jì)息期計(jì)息期(interest coversion period ):兩次計(jì)兩次計(jì)息日之間的區(qū)間息日之間的區(qū)間年金時(shí)期（年金時(shí)期（term of annuity ):第一次支付期第一次支付期的期初到最后一次支付期的期末。的期初到最后一次支付期的期末。利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金對(duì)于一個(gè)年金問(wèn)題，我們關(guān)系的是對(duì)于一個(gè)年金問(wèn)題，我們關(guān)系的是每期年金的支付額：每期年金的支付額：period payment of the annuity終值終

4、值:final value (FV)現(xiàn)值現(xiàn)值:present value (PV)當(dāng)年值當(dāng)年值:current value 利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-1 期末付年金期末付年金(annuity-immediate) 考慮一種年金，它在考慮一種年金，它在n個(gè)時(shí)期中，每個(gè)時(shí)個(gè)時(shí)期中，每個(gè)時(shí)期末付款期末付款1。這種年金稱(chēng)為。這種年金稱(chēng)為期末付年金期末付年金。利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金定義：定義： 為為0時(shí)刻的年金的現(xiàn)值。時(shí)刻的年金的現(xiàn)值。 為為n時(shí)刻的年金的積累值。時(shí)刻的年金的積累值。在利率為在利率為 時(shí)，可以得到：時(shí)，可以得到： n ian is 22111111

5、11nnn innn iaiisiiii i111nn inn iiaiis 利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金注意注意：實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上 和和 是同一項(xiàng)年金在不同是同一項(xiàng)年金在不同時(shí)刻的價(jià)值。前者為基本延付年金的現(xiàn)值；時(shí)刻的價(jià)值。前者為基本延付年金的現(xiàn)值；后者為終值。故有：后者為終值。故有：n ian is1nn in inn in isaias利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金另外另外： 解釋?zhuān)拷忉專(zhuān)?(1)1 11nnininiiiass 利息論講義第二章 年金例例2.1.4 At an annual effective interest rate of 6%, an ann

6、uity having 4N level annual pmts of 1000 has a present value of 14621. Determine the fraction of the total present value represented by the first set of N pmts and the third set of N pmts combined.ANSWER:62.82%利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-2期初付年金期初付年金 23n is1111111111111nnnniiiiiiiiiid21n i111a11nnnnid 利息論

7、講義利息論講義第二章第二章 年金年金相類(lèi)似地有：相類(lèi)似地有：n i1s1ndin i1and111nn in inn in in in iaiss vadas利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金期末付年金與初付年金的關(guān)系期末付年金與初付年金的關(guān)系1.現(xiàn)值現(xiàn)值2.終值終值111n in in iniaaiaa 111ninininississ利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金解釋?zhuān)航忉專(zhuān)阂驗(yàn)槌醺赌杲鹣碌拿恳淮胃犊疃急妊痈赌杲鹪缫粋€(gè)因?yàn)槌醺赌杲鹣碌拿恳淮胃犊疃急妊痈赌杲鹪缫粋€(gè)時(shí)期。故它的總現(xiàn)時(shí)值較大。時(shí)期。故它的總現(xiàn)時(shí)值較大。初付年金可以分解為第一次付款現(xiàn)時(shí)值加上初付年金可以分解為第

8、一次付款現(xiàn)時(shí)值加上n-1次次延付年金現(xiàn)時(shí)值。延付年金現(xiàn)時(shí)值。初付年金終值，可以看成虛擬第初付年金終值，可以看成虛擬第n 個(gè)個(gè)時(shí)期末又一次時(shí)期末又一次付款付款1，這樣就可稱(chēng)，這樣就可稱(chēng)n+1次延付年金終值減去次延付年金終值減去1。利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金所以，年金問(wèn)題中四個(gè)時(shí)刻點(diǎn)非常重要所以，年金問(wèn)題中四個(gè)時(shí)刻點(diǎn)非常重要第一次支付時(shí)刻及前一個(gè)時(shí)刻第一次支付時(shí)刻及前一個(gè)時(shí)刻最后一次支付時(shí)刻及后一個(gè)時(shí)刻最后一次支付時(shí)刻及后一個(gè)時(shí)刻n+1n01231111niania nisnis t利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1 1 1

9、 15ia5ia 5is5is 利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金顯然顯然：有有 555561321267014116iiiiiiVaVaVsVsVVaaVViV利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2.2.1Jeff and John shared equally in an inheritance. Using his inheritance, John immediately bought a 10-year annuity-due with annual pmts of 2500 each. Jeff put his inheritance in an investme

10、nt fund earning an annual effective interest rate of 9%. Two years later, Jeff bought a 15-year annuity-immediately with annual pmts of z. The present value of both annuities were determined using an effective rate of 8%. Calculate z. ANSWER:2514.76利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-3 永續(xù)年金永續(xù)年金 稱(chēng)付款永遠(yuǎn)持續(xù)，即期限為無(wú)限的年金

11、稱(chēng)付款永遠(yuǎn)持續(xù)，即期限為無(wú)限的年金為永續(xù)年金或永久年金。為永續(xù)年金或永久年金。t0 1 2 3 4 5 6 ia利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金永續(xù)年金的三種計(jì)算永續(xù)年金的三種計(jì)算1、2、價(jià)值方程、價(jià)值方程3、極限、極限231niai11limlimnininnaaii11iiiaai利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金相應(yīng)的初付永續(xù)年金計(jì)算：相應(yīng)的初付永續(xù)年金計(jì)算：1、2、3、211niad 11iidaad11limlimnininnaadd利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金永續(xù)年金與有限期年金的關(guān)系：永續(xù)年金與有限期年金的關(guān)系：例2.6111nnnniiiaaai

12、ii利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2.3.2 Ralph buys a perpetuity-due paying 500 annually. He deposits the pmts into a saving account earning interest at an effective annual rate of 10%. Ten years later, before receiving the 11th pmt, Ralph sells the perpetuity base on an effective annual interest rate of 10%.

13、 Using the proceeds from the sale plus the money in the saving account, Ralph purchases an annuity-due paying X per year for 20 years at an effective rate of 10%, calculate X. ANSWER:1523.30利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-4 非標(biāo)準(zhǔn)期的年金問(wèn)題非標(biāo)準(zhǔn)期的年金問(wèn)題所謂非標(biāo)準(zhǔn)期年金，指的是期數(shù)不是整數(shù)的年所謂非標(biāo)準(zhǔn)期年金，指的是期數(shù)不是整數(shù)的年金。代表符號(hào)金。代表符號(hào)01n k iank其中 為整

14、數(shù)，t0 1 2 3 4 5 6 n n+1,n+kn k ia1111kn knnn kn kn k iniiaaiii利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金 如何在金融實(shí)務(wù)中揭示這個(gè)年金表示的如何在金融實(shí)務(wù)中揭示這個(gè)年金表示的含義含義?在實(shí)務(wù)中在實(shí)務(wù)中,是按照以下兩種方式支付的是按照以下兩種方式支付的: 1.上升支付上升支付(上浮支付上浮支付)2.下降支付下降支付(扣減式支付扣減式支付) 就是將非整數(shù)期的支付劃歸到最近的整數(shù)就是將非整數(shù)期的支付劃歸到最近的整數(shù)期期.歸于歸于n期叫上升支付，歸于期叫上升支付，歸于n+1期稱(chēng)為下期稱(chēng)為下降支付降支付利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金

15、例2.4.1 有一筆有一筆10001000的投資用于在每年年底付的投資用于在每年年底付100.100.如果這筆基金的年實(shí)質(zhì)利率為如果這筆基金的年實(shí)質(zhì)利率為5%,5%,試確定試確定可以作多少次正規(guī)付款以及確定較小付款的可以作多少次正規(guī)付款以及確定較小付款的金額金額, ,其中假定較小的付款在其中假定較小的付款在(1)(1)在最后一次正規(guī)付款的日期支付在最后一次正規(guī)付款的日期支付. .(2)(2)在最后一次正規(guī)付款以后一年支付在最后一次正規(guī)付款以后一年支付. .(3)(3)在最后一次付款后的一年中間支付在最后一次付款后的一年中間支付. .利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金非標(biāo)準(zhǔn)期年金的終值非

16、標(biāo)準(zhǔn)期年金的終值n k is111111111n kn kkkn k ikkniiiiisiiiisi利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-5 年金的未知利率問(wèn)題年金的未知利率問(wèn)題三種年金未知利率的求解方法：三種年金未知利率的求解方法：級(jí)數(shù)展開(kāi)法級(jí)數(shù)展開(kāi)法插值法插值法迭代法迭代法利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金1.級(jí)數(shù)展開(kāi)法介紹：級(jí)數(shù)展開(kāi)法介紹： 如對(duì)于延付年金現(xiàn)值的計(jì)算如對(duì)于延付年金現(xiàn)值的計(jì)算則：利用泰勒展開(kāi)有則：利用泰勒展開(kāi)有 211111nnnnniiaf iii 2200002!1122!3!12!nnfff iffiiinn nn nnniin nni利息論講義利息

17、論講義第二章第二章 年金年金或者利用或者利用2211111212n inniian2/12/1kinkn ninkk nn i分別取前兩項(xiàng)近似可以得到：當(dāng)a時(shí)利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2.插值方法插值方法線性插值或者中點(diǎn)插值線性插值或者中點(diǎn)插值 中點(diǎn)插值步驟：中點(diǎn)插值步驟：任選取任選取然后計(jì)算然后計(jì)算1212,n in ii iak ak3311233232n iiiiiiakiiii 結(jié)束插值過(guò)程利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金3迭代法：迭代法： ()nif iak i11( )( )111011111ssssnsssnssf iiif iikiisiin ， ，2

18、，3，利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金關(guān)鍵是初值的選取關(guān)鍵是初值的選取一種取法是取一種取法是取如果是如果是02/1inkk n1 2 31222122021111nnnn in innnnnaakknnnAGkikkniiinnkk nisk則取則取02/1iknk n另一種取法是：另一種取法是：利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2.5.1 Sam deposits 1000 every year on his birthday into a retirement fund earning an annual effective rate of 15%. The firs

19、t deposit is made on his 39th birthday and the last deposit is made on his 60th birthday. Immediately after the last deposit ,the accumulated value of the fund is transferred into a fund earning an annual effective rate j. Five years later, a 35-year monthly annuity-due paying 1000each month is purc

20、hased with the funds. The purchase price of the annuity was determined using a nominal rate of interest convertible monthly at 6%. Calculate j.利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-6 變利率年金變利率年金變化的方式主要有兩種變化的方式主要有兩種利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金考慮在復(fù)利下，各個(gè)時(shí)期具有不同利率的情形。考慮在復(fù)利下，各個(gè)時(shí)期具有不同利率的情形。設(shè)第設(shè)第k個(gè)時(shí)期的利率為個(gè)時(shí)期的利率為 則則n個(gè)時(shí)期的期末付個(gè)時(shí)期的期末付年金

21、的現(xiàn)時(shí)值：年金的現(xiàn)時(shí)值：1如果如果 為第為第k個(gè)時(shí)期利率（依時(shí)期變化）則個(gè)時(shí)期利率（依時(shí)期變化）則ki 111111112121111111111nntnstsaiiiiiiiki利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2、如果、如果 為在時(shí)刻為在時(shí)刻k的付款經(jīng)歷所有時(shí)期的的付款經(jīng)歷所有時(shí)期的利率（依付款而變）利率（依付款而變）ki121211111nntntntaiiii利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金現(xiàn)在考慮變息率下初付年金的積累值：現(xiàn)在考慮變息率下初付年金的積累值：1、將、將 看成第看成第k個(gè)時(shí)期所用的利率而不管何個(gè)時(shí)期所用的利率而不管何時(shí)付款，則有時(shí)付款，則有2、將、將 看

22、成第看成第k次付款在余下的積累期間按次付款在余下的積累期間按此計(jì)息，則有此計(jì)息，則有ki 1111111111111nnnnnntntn stssiiiiiii ki 211111111nnn tnntntsiiii 利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2.6.1 2-12,2-13利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2.6.3 John deposits 100 at the end of each year for 20 years into a fund earning an annual effective rate of 7%. May makes 20 depo

23、sits into a fund at the end of each year for 20 years. The first 10 deposits are 100 each, while the last 10 deposits are 100+X each. The fund earns an annual rate of 8% during the first year and 6% annual effective rate there-after. At the end of 20 years, the amount in Johns fund equals the amount

24、 in Marys fund. Calculate X.利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-7付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金（一般年金）付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金（一般年金） 這類(lèi)年金其實(shí)我們沒(méi)必要進(jìn)行討論，只要把這類(lèi)年金其實(shí)我們沒(méi)必要進(jìn)行討論，只要把已知利率的形式轉(zhuǎn)化成與計(jì)息期一致的利率，已知利率的形式轉(zhuǎn)化成與計(jì)息期一致的利率，然后再利用基本年金的計(jì)算方法即可。然后再利用基本年金的計(jì)算方法即可。 支付期與計(jì)息期不一致的情形有兩種，一種支付期與計(jì)息期不一致的情形有兩種，一種是一個(gè)支付期中有是一個(gè)支付期中有k個(gè)計(jì)息期，一種是一個(gè)計(jì)個(gè)計(jì)息期，一種是一個(gè)計(jì)息期中有息期中有m個(gè)支付期。個(gè)支付

25、期。利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2-14，2-15利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2 2.7.7. The present value of a perpetuity of 6500 paid at the end of each year plus the present value of a perpetuity of 8500 paid at the end of every 5 year is equal to the present value of an annuity of k paid at the end of each year for 25

26、 years. Interest is 6% convertible quarterly. Calculate k. ANSWER:10335.84利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金情形一：情形一：付款頻率小于計(jì)息頻率，即一個(gè)支付付款頻率小于計(jì)息頻率，即一個(gè)支付期中有期中有k個(gè)計(jì)息期。個(gè)計(jì)息期。模型模型如下：如下： 假設(shè)一個(gè)支付期中有假設(shè)一個(gè)支付期中有k個(gè)計(jì)息期，每次付個(gè)計(jì)息期，每次付款款1，有，有n個(gè)計(jì)息期，即有個(gè)計(jì)息期，即有n/k個(gè)支付期，則如個(gè)支付期，則如何去求期末付年金以及初付年金的現(xiàn)值以及何去求期末付年金以及初付年金的現(xiàn)值以及終值？終值？利息論講義利息論講義第二章第二章 年金

27、年金每個(gè)計(jì)息期利率為i則有年金現(xiàn)值：則有年金現(xiàn)值：t02kknkn R R R R R.R R R R R R R1 1 1 1 支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率的延付年金時(shí)間圖支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率的延付年金時(shí)間圖211111nkkknnknikkkkkk iaPVsi期末利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金顯然,積累值值為：2111)1nnikkn kkkk iaPVPVia 初期末（1nninik ik iasFViss期末而初付年金的現(xiàn)值和終值分別為：而初付年金的現(xiàn)值和終值分別為：1)nink isFVPVia初初（利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金1limnink ik ia

28、PVsis期末而永續(xù)年金的現(xiàn)值為：而永續(xù)年金的現(xiàn)值為：1k iPVia初利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金此種模型的年金可以有另外一種解釋此種模型的年金可以有另外一種解釋:設(shè)有這樣一個(gè)設(shè)有這樣一個(gè)R使得在使得在 n個(gè)利息轉(zhuǎn)換期內(nèi)每個(gè)利息轉(zhuǎn)換期內(nèi)每k個(gè)利息轉(zhuǎn)換期個(gè)利息轉(zhuǎn)換期末付款末付款1的支付被系數(shù)為的支付被系數(shù)為R的延付年金現(xiàn)值所替代，則的延付年金現(xiàn)值所替代，則 t02kknkn R R R R R.R R R R R R R1 1 1 111k ik iRsRs ninik jaPVRas期末所以，利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2 2.7.7.2-16,2-172-1

29、6,2-17利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金情形二：情形二：付款頻率大于計(jì)息頻率，即一個(gè)記息付款頻率大于計(jì)息頻率，即一個(gè)記息期中有個(gè)支付期。期中有個(gè)支付期。模型模型如下：如下： 假設(shè)一個(gè)記息期中有個(gè)支付期，每次付假設(shè)一個(gè)記息期中有個(gè)支付期，每次付款款1/m，有，有n個(gè)計(jì)息期，即有個(gè)支付期，個(gè)計(jì)息期，即有個(gè)支付期，則如何去求延付年金以及初付年金的現(xiàn)值以則如何去求延付年金以及初付年金的現(xiàn)值以及終值？及終值？利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金則 11121111111111mmmmmmmnnmnninnmammPVimi期末 0 1 2 n-1 n 1/m 2/m 1+1/m1/m

30、 1/m 1/m 1/m 1/m 支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率的年金時(shí)間圖支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率的年金時(shí)間圖利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金而積累值值為：()()1nmmniPVad初()()(1)1nmmniiFVsi期末而初付年金的現(xiàn)值和終值分別為：而初付年金的現(xiàn)值和終值分別為：()()(1)1nmmniiFVsd初利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金與普通年金的關(guān)系： mnimnimnimniiaaiissi注意：調(diào)節(jié)因子注意：調(diào)節(jié)因子 1mmiisi利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金 mnimnimnimniiaadissd利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年

31、金此外： 11111mnmmnimmninimmnimniiaaiaddiiiiaamii mnimniiissmi利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金永續(xù)情形：()()()1lim1mmninmPVaiPVd期末初利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2 2.7.7.Bill deposits 1000 into a fund for 15 years. The fund pays interest at the end of 6-month period at a nominal annual rate of i convertible semiannually. The i

32、nterest pmts are reinvested in another fund earning interest at an annual effective rate of 6%. During the 15-year period, Bill earns an annual effective yield of 7.56%. Calculate i.ANSWER:8.40%利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2 2.7.6.7.6某人貸款萬(wàn)，期限為年，每某人貸款萬(wàn)，期限為年，每月初還款一次，每次還款相等，貸款的年實(shí)質(zhì)利月初還款一次，每次還款相等，貸款的年實(shí)質(zhì)利率為率為10

33、%,計(jì)算每次還款額。計(jì)算每次還款額。利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-8 基本變額年金基本變額年金定義：定義： 之前討論的年金都是假定每一期付款額之前討論的年金都是假定每一期付款額是相同的，稱(chēng)為等額年金。現(xiàn)在取消這個(gè)假是相同的，稱(chēng)為等額年金。現(xiàn)在取消這個(gè)假定，稱(chēng)具有變額支付的年金為變額年金。定，稱(chēng)具有變額支付的年金為變額年金。主要討論的變額年金類(lèi)型：主要討論的變額年金類(lèi)型： 付款金額按照等差數(shù)列變化；付款金額按照等差數(shù)列變化；付款金額按照幾何級(jí)數(shù)變化；付款金額按照幾何級(jí)數(shù)變化；其他付款形式；其他付款形式；利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金一、等差變額年金 0 1 2 3 4

34、 5 6 7 8 n-1 ntP P+Q P+2Q P+(n-1)QAiiiiii2211111nnnnnnnnininiAPPQPnQi AAiAiAPQPnQananAPQPaQiii利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金同理，積累值為：同理，積累值為：()nininisnAsPsQi利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金兩個(gè)特例：兩個(gè)特例：（1）標(biāo)準(zhǔn)型遞增年金）標(biāo)準(zhǔn)型遞增年金： （即即P=Q=1） 111nnnnininininnniniananIaaiiananii 111nninininisnsnIsIaiii利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金（2）標(biāo)準(zhǔn)遞減型年金（）

35、標(biāo)準(zhǔn)遞減型年金（Pn,Q=-1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n-1 ntn n-1 n-2 2 1iiiiiiniDanninininnninianDanainnannaii 11nnninininisDsDaii利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金那么初付年金表達(dá)式？那么初付年金表達(dá)式？nninianIadninisnIsdnininaDad1nnininisDsd利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金那么永續(xù)年金表達(dá)式？那么永續(xù)年金表達(dá)式？2lim()niinPQAaAaiilim()niinPQAaAaddi利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例2.8.1某年金

36、圖如下,求該年金現(xiàn)值？t0 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 2n-3 2n-2 2n-1 1 2 3 n-1 n n-1 n-2 3 2 1 niIa1nniDa 1111111nnininnnininnnininiannaIaDaiiaaai所以，該項(xiàng)彩虹年金的現(xiàn)值為：利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例2.8.2某年金圖如下,求該年金現(xiàn)值？t0 1 2 3 n-1 n n+1 n+2 2n-2 2n-1 2n 1 2 3 n-1 n n n-1 2 1niIanniDa1nninininiIaDaaa所以，該項(xiàng)Paused彩虹年金的現(xiàn)值為：利息論講義利息論講義第二章第二章

37、年金年金例例2 2.8.3 .8.3 Bill deposits money into a bank account at the end of each year. Bills deposit in year t is equal to 100t,t=1,2The bank credits at annual effective rate of i. The amount of interest earning in Bills account during the 11th year is equal to 500. Calculate i.利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2

38、 2.8.4 .8.4 Brian buys a 10-year decreasing annuity-immediate with annual pmts of 10,9,1. On the same time, Jenny buys a perpetuity-immediate with annual pmts .For the first 11years pmts are 1,2,11. After years 11 pmts remain constant 11. At an annual effective interest rate if i ,both annuities hav

39、e present value X. Calculate x.利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2 2.8.5 .8.5 The first pmt of a perpetuity-immediate is 60. Subsequent pmts decreasing by 1 per year until they reach a level of h pmts, remain constant of h thereafter. The present value of the perpetuity is equal to the present value of a perpe

40、tuity-immediate paying 44 each year. The annual effective rate is 5%. Calculate h.利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金二、等比變額年金二、等比變額年金0 1 2 3 4 5 6 n-1 nt1111nkk 幾何級(jí)數(shù)遞增變額延付年金時(shí)間圖幾何級(jí)數(shù)遞增變額延付年金時(shí)間圖2123)111111111,111,nnninnPVGakkkkkiikikikinv ki延（利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金例例2 2.8.8. Jeff and Jason spend X dollars to purchase

41、 an annuity. Jeff buy a perpetuity-immediate which makes annual pmts of 30. Jason buys a 10-year annuity-immediate also with annual pmts. The first pmt is 53, with each subsequent pmt k% lager than the previous years pmt. Both annuity use an annual effective rate of k%. Calculate k.ANSWER:6利息論講義利息論講

42、義第二章第二章 年金年金例例2 2.8.8. Mary purchases an increasing annuity-immediate for 50,000 that makes twenty annual pmts as follows:(1)p,2p,10p in year 1 through 10,and (2)10p(1.05),10p(1.05)2,10p(1.05)10in year 11through 20. The annual effective interest rate in 7% for the first 10 years and 5%thereafter. Ca

43、lculate p.ANSWER:584.29利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2-9 一般變額年金一般變額年金引言：前面討論變額年金是在假定支付期與引言：前面討論變額年金是在假定支付期與利息轉(zhuǎn)換期為相同狀況下的年金現(xiàn)值與終值利息轉(zhuǎn)換期為相同狀況下的年金現(xiàn)值與終值問(wèn)題，雖然這是金融實(shí)務(wù)中變額年金的大多問(wèn)題，雖然這是金融實(shí)務(wù)中變額年金的大多數(shù)情況，但是，有時(shí)也不盡然，所以本節(jié)討數(shù)情況，但是，有時(shí)也不盡然，所以本節(jié)討論支付期與利息轉(zhuǎn)換期期結(jié)構(gòu)不同時(shí)的各種論支付期與利息轉(zhuǎn)換期期結(jié)構(gòu)不同時(shí)的各種年金問(wèn)題。年金問(wèn)題。1、以支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率的單增延付、以支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率的單增延付年

44、金的現(xiàn)值計(jì)算為例，其他都可以按此進(jìn)行。年金的現(xiàn)值計(jì)算為例，其他都可以按此進(jìn)行。利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金時(shí)間圖：t02kknkn R R R R R.R R R R R R R1 2 n/k-1 n/k支付頻率小于利息轉(zhuǎn)換頻率的延付單增年金時(shí)間圖A2221kkn knnnkkkkknn knknink ik iAAAanakAisnninianIai比較兩者形式上的差異性利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金2、支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率單調(diào)遞增變額年金 0 1 2 n-1 n 1/m 2/m 1+1/m1/m 1/m 1/m 2/m 2/m 2/m 3/m (n-1)/m n/m 支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率的單增(1)變額年金時(shí)間圖 mniIa 1nmnimimninianIasIai利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金3、每一個(gè)支付期單增的變額延付年金 0 1 2 n-1 n 1/m 2/m 1+1/m 支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率的單增(2)變額年金時(shí)間圖22222112mmm nmmmmm mmniIa 2211nmmjmn jmmn jnimnnimanmIaIammjani利息論講義利息論講義第二章第二章 年金年金注：三種年金下的永續(xù)（永久）年金形式：nink ik ianakAis nmnimni