1、2021 屆高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)不等式一、重點(diǎn)學(xué)問(wèn)回憶1、 不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)不等式的基本性質(zhì)有：（1） 對(duì)稱性： a>bb<a；（2） 傳遞性：如a>b， b>c，就 a>c；（3） 可加性： a>ba+c>b+c ；（4） 可乘性： a>b，當(dāng) c>0 時(shí)， ac>bc；當(dāng) c<0 時(shí)， ac<bc；不等式運(yùn)算性質(zhì)：（1） 同向相加：如a>b，c>d，就 a+c>b+d；（2） 異向相減： ab ， cdacbd .（3） 正數(shù)同向相乘：如a>b>0， c>d>

2、;0，就 ac>bd；（4）乘方法就：如a>b>0，nn +，就a nb n ；（5）開方法就：如a>b>0，nn +，就 n an b ；（6）倒數(shù)法就：如ab>0， a>b，就 11 ；ab2、基本不等式（或均值不等式）a 2b 2利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b 2 2ab（a， b r），該不等式可推廣為a2+b 2 2|ab|；或變形為 |ab|；22當(dāng) a， b0 時(shí)， a+b 23、不等式的證明ab 或 abab.2（1） 不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；（2） 在不等式證明過(guò)程中，應(yīng)留意與不等式的

3、運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用；（3） 證明不等式的過(guò)程中，放大或縮小應(yīng)適度；4、 不等式的解法解不等式是查找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過(guò)程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等；一元二次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基此題型；一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)，方程的聯(lián)系求一般的一元二次不等式ax2bxc0 或 ax 2bxc0 a0 的解集， 要結(jié)合ax 2bxc0 的根及二次函數(shù)yax2bxc 圖象確定解集對(duì)于一元二次方程ax2bxc0a0，設(shè)b 24，a它c(diǎn)的解按照0，0可分為三種情形 相應(yīng)地，二次函數(shù)yax2bxc a0 的圖象與 x 軸的位置關(guān)系也分為三種情形因此，我們分 三

4、種 情 況 討 論 對(duì) 應(yīng) 的 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0 a0 的解集，列表如下：含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類爭(zhēng)論；5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，爭(zhēng)論函數(shù)單調(diào)性等；在解決問(wèn)題過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)善于發(fā)覺(jué)詳細(xì)問(wèn)題背景下的不等式模型；用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一；爭(zhēng)論不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等；6、線性規(guī)劃問(wèn)題的解題方法和步驟解決簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃問(wèn)題的方法是圖解法，即借助直線 （線性目標(biāo)函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面區(qū)域 （可行域） 有交點(diǎn)時(shí)，直線在 y 軸上的截距的最大值或最小值求解；它的步驟如下：（ 1）設(shè)

5、出未知數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)；（ 2）確定線性約束條件，并在直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域；（ 3）由目標(biāo)函數(shù)z ax by 變形為 yb 是常數(shù)， z 隨 x， y 的變化而變化） ；a x z ，所以， 求 z 的最值可看成是求直線ybba x z 在 y 軸上截距的最值 （其中 a、bb（ 4）作平行線：將直線ax by 0 平移（即作ax by 0 的平行線），使直線與可行域有交點(diǎn)，且觀看在可行域中使小）時(shí)所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 5）求出最優(yōu)解：將（4）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出z 的最大（或最小）值；7、確定值不等式（ 1） x a（ a0）的解集為： x a x

6、 a ；x a（a 0）的解集為： x x a 或 x a ；z最大（或最b（2） | a| b| | ab | | a|b |二、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一 ：不等關(guān)系與不等式【內(nèi)容解讀 】養(yǎng)成推理必有依據(jù)的良好習(xí)慣，不要想當(dāng)然，不要錯(cuò)漏不等式性質(zhì)使用的條件，如ab0 ， nna nb n 中，留意后面大于的條件，出題者往往就在這里出一些似是而非的題目來(lái)困惑考生【命題規(guī)律 】高考中，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式的性質(zhì)上，題型多為挑選題或填空題，屬簡(jiǎn)潔題；例 、設(shè)a, br ，如 ab0 ，就以下不等式中正確選項(xiàng)（）a ba0b. a 3b 30c. ba0d. a 2b 20解：由 ab0 知,ab

7、b ,所以 ba0 ,應(yīng)選 c.點(diǎn)評(píng)：此題考查確定值的概念和確定值的性質(zhì)，假如用特殊值法也能求解；例 2、已知a , b 為非零實(shí)數(shù)，且ab ，就以下命題成立的是222211baa 、 abb 、 a babc、2abd、a 2bab解：取 a 3， b，由（） （）（）都錯(cuò)，故（c ） ；點(diǎn)評(píng)：特殊值法是解挑選題的一種技巧，在應(yīng)試時(shí)要時(shí)刻牢記有這么一種方法；這里a ，b 沒(méi)有說(shuō)明符號(hào)，留意不要錯(cuò)用性質(zhì)；【命題規(guī)律】高考中，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式的性質(zhì)上，題型多為挑選題或填空題，屬簡(jiǎn)潔題；例 3、2021 廣東 設(shè) a,br ，如 ab0 ，就以下不等式中正確選項(xiàng)（）a ba033b

8、. ab0c. ba022d. ab0解：由 ab0 知,abbba,所以0 ,應(yīng)選 c.點(diǎn)評(píng)：此題考查確定值的概念和確定值的性質(zhì)，假如用特殊值法也能求解；例 4、2007 上海理科 已知a, b 為非零實(shí)數(shù)，且ab ，就以下命題成立的是222a bab211ba22a 、 abb 、 a babc、 abd、解：取 a 3，b，由（） （）（）都錯(cuò)，故（c）；點(diǎn)評(píng)：特殊值法是解挑選題的一種技巧，在應(yīng)試時(shí)要時(shí)刻牢記有這么一種方法；這晨a，b 沒(méi)有說(shuō)明符號(hào)，留意不要錯(cuò)用性質(zhì)；考點(diǎn)二 ：一元二次不等式及其解法【內(nèi)容解讀 】會(huì)從實(shí)際情形中抽象出一元二次不等式的模型，明白一元二次不等式與函數(shù)方程的聯(lián)系

9、；會(huì)解一元二次不等式，會(huì)由一元二次不等式的解求原不等式；用同解變形解不等式，分類解不等式；對(duì)解含參的不等式，對(duì)參數(shù)進(jìn)行爭(zhēng)論；留意數(shù)形結(jié)合，會(huì)通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)解不等式（1）用圖象法解一元二次不等式教材中在爭(zhēng)論一元二次不等式的解法時(shí)，是結(jié)合二次函數(shù)的圖象，利用對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解得出的，所以我們學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法時(shí)，應(yīng)從二次函數(shù)圖象動(dòng)身加以懂得2（2）弄清一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之間的關(guān)系二次函數(shù)yaxbxca0 是爭(zhēng)論自變量x 與函數(shù)值 y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，一元二次方程的解就是自變量為何值時(shí)，函數(shù)值y0 的這一情形；而一元二次不等式的解集是自變量變化過(guò)程中，何時(shí)函數(shù)值y0

10、 （y 0 ）或 y0 （ y 0 ）的情形一元二次方程ax2bxc0a0 的解對(duì)爭(zhēng)論二次函數(shù)yax2bxc a0 的函數(shù)值的變化是非常重要的，由于方程的兩根x1， x2是函數(shù)值由正變負(fù)或由負(fù)變?yōu)檎姆纸琰c(diǎn)，也是不等式解的區(qū)間的端點(diǎn)學(xué)習(xí)過(guò)程中，只有搞清三者之間的聯(lián)系，才能正確熟識(shí)與懂得一元二次不等式的解法【命題規(guī)律 】高考命題中，對(duì)一元二次不等式解法的考查，如以挑選題、填空題顯現(xiàn)，就會(huì)對(duì)不等式直接求解，或常常地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大；如以解答題顯現(xiàn)，一般會(huì)與參數(shù)有關(guān)，或?qū)?shù)分類爭(zhēng)論，或求參數(shù)范疇，難度以中檔題為主；例 5、不等式 x2x 的解集是（）a ，0b 0，1c 1，d ，

11、01，解：原不等式可化為x2 x，即 x （x），所以x 或 x，選（） 點(diǎn)評(píng)：這是一道很簡(jiǎn)潔的一元二次不等式的試題，只要知道它的解法即可例 6 、 “ x2 ”是“ x2x60 ”的什么條件（）a 充分而不必要b 必要而不充分c充要d 既不充分也不必要解：由 |x 2，得： 2x 2，由 x2x60 得： 2 x3，2 x 2 成立，就 2x3 肯定成立，反之就不肯定成立，所以，選（）；點(diǎn)評(píng)：此題是不等式與充分必要條件結(jié)合的綜合考查題，先解出不等式的解集來(lái)，再由充分必要條件的判定方法可得；例 7、不等式2x2 2 x41的解集為22解：原不等式變?yōu)?2x2 x 42 1 ，由指數(shù)函數(shù)的增減性

12、，得：x2x41 x3x10x3,1 ，所以填： 3,1 ；點(diǎn)評(píng)：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對(duì)數(shù)函數(shù)交匯、不等式與數(shù)列交匯是常常考查的內(nèi)容，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練；例 8、已知集合ax|x25x4 0， bx | x22axa2 0，如 ba ，求實(shí)數(shù) a 的取值范疇解： ax | x25x4 0x |1 x 4 設(shè) f xx 22axa2 ，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）如 b，滿意條件，此時(shí)0 ，即4a 24a20 ，解得1a2 ；（2）如 b，設(shè)拋物線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1， x2 ，且 x1 x2 ，欲使 ba ，應(yīng)有x| x1 x x2x| 1x 4 ，f 1 0，12aa2 0，

13、結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得f 4 0，2a428aa即2 0，解得 2 a 18 綜上 a 的取值范疇是181，1 4，1 a 4，772 0，4a 24a2 0，點(diǎn)評(píng)：此題是一元二次不等式與集合結(jié)合的綜合題，考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，留意分類爭(zhēng)論思想的應(yīng)用，分類時(shí)做到不遺漏；【命題規(guī)律】高考命題中，對(duì)一元二次不等式解法的考查，如以挑選題、填空題顯現(xiàn)，就會(huì)對(duì)不等式直接求解，或常常地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大；如以解答題顯現(xiàn)，一般會(huì)與參數(shù)有關(guān)，或?qū)?shù)分類爭(zhēng)論，或求參數(shù)范疇，難度以中檔題為主；例 9. 設(shè) fx 1logx 3，gx 2log x2，其中 x0， x1比較 fx 與 gx

14、 的大小 .解： 1x 2 y2x y x2 y2 x y2aabb abba變式訓(xùn)練 1： 不等式 log 2x+3x2 1 的解集是 .3答案： x| x 3 且 x1,x 0；22x3102x313解析 ：或22,x,11,00,3 ；20x2x3x2x3例 2. 設(shè) fx 1 logx3， gx 2log x2，其中 x0，x1比較 fx 與 gx 的大小 .解： 當(dāng) 0x 1 或 x4 時(shí)， fxgx ； 當(dāng) 1x34 時(shí)， fx gx；當(dāng) x 34 時(shí)， fx gx. 3變式訓(xùn)練 2： 如不等式 1n a2 1) n 1對(duì)于任意正整數(shù)n 恒成立，就實(shí)數(shù)a 的取值范疇是.例 3. 函

15、數(shù)f x ax2 bx 滿意： 1f n1 2，2 f 1 4，求 f 2) 的取值范疇解：由 f x ax2 bx 得f 1 ab，f 1 a b，f 2 4a2b； a1f 1 f1 ； b21f 1 f 12就 f2 2f 1 f 1 f 1 f 1 3f 1 f 1由條件 1f1 2， 2f 14可得 3×1 23f1 f1 3×24；得 f 2 的取值范疇是5f 2 10.變式訓(xùn)練 3：如 1 3， 4 2，就 |的取值范疇是.解： 3， 3例 4. 已知函數(shù) f x x2 axb，當(dāng) p、q 滿意 pq 1 時(shí)，試證明：pf x qf yf px qy對(duì)于任意實(shí)

16、數(shù)x、y 都成立的充要條件是op1.2證明 ： pf x qf y f px qy pqx y 2p1 px y 2充分性：當(dāng)0p1時(shí)，p1p xy 02從而 pf xqf yf pxqy 必要性：當(dāng)pf x qf y f pxqy 時(shí)，就有p1p xy 0，又 xy 2 0，從而p1p 0，即 0 p1綜上所述，原命題成立變式訓(xùn)練 4： 已知 a bc， abc 0，方程 ax2bx c 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x 1、x21 證明：1 b 1；2a2 如 x 2 x 1x2 x 2 1，求 x 2 x1 x2 x 2 ；12123 求| x 2 x 2 |12解： 1 a bc， ab c 0，

17、 3a ab c，a b a b， a0， 1 b1bx2aa 1b12ax122（方法 1） abc 0 ax2 bx c0 有一根為1，不妨設(shè) x11，就由2x1 x221可得x 2 x 2 10, 而 x2x 1x 2c a03cabc0 ， x2 1， x 2x1 x2x 23方法 2 xxb , x xc 由 x 2x xx 2 xx 2x x2221bcb abb2b11 ， bb0,121 222aa11 22121 2a 2aa2aa2aa2a1b1,2ab0, 2x1ax1 x 221x1x 22x22 x1 x212x1x 212ab3 axx3 由2 知，22c2xx1a

18、b 21b211 1b12 ， 1 b1 24 3 b1 213 x2x20, 312a2a 2a122a4a4a歸納小結(jié)1不等式的性質(zhì)是證明不等式與解不等式的重要而又基本的依據(jù)，必需要正確、嫻熟地把握，要弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論留意條件的放寬和加強(qiáng)，條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系2使用 “作差 ”比較，其變形之一是將差式因式分解，然后依據(jù)各個(gè)因式的符號(hào)判定差式的符號(hào)；變形之二是將差式變成非負(fù)數(shù)（或非正數(shù)）之和，然后判定差式的符號(hào)3關(guān)于數(shù) 式比較大小，應(yīng)當(dāng)將“相等 ”與“不等 ”分開加以說(shuō)明，不要籠統(tǒng)地寫成“ a b或考點(diǎn)三 ：簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃b a ”【命題規(guī)律 】線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)多以挑選、填空題的形

19、式顯現(xiàn)，題型以簡(jiǎn)潔題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的面積、最優(yōu)解的問(wèn)題；隨著課改的深化，近年來(lái)，以解答題的形式來(lái)考查的試題也時(shí)有顯現(xiàn)，考查同學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的才能；x 0例 7、如 a 為不等式組y0表示的平面區(qū)域，就當(dāng)a 從 2 連續(xù)變化到1 時(shí)，動(dòng)直線xya掃過(guò) a 中的那部分區(qū)域的y x2面積為3a 47b 1c4d 5解：如圖知區(qū)域的面積是oab 去掉一個(gè)小直角三角形；1（陰影部分面積比1 大，比s oab222 小,應(yīng)選 c,不需要算出來(lái)）2點(diǎn)評(píng)：給出不等式組，畫出平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積的問(wèn)題是常常考查的試題之一，假如區(qū)域是不規(guī)節(jié)圖形，將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可；例 8、如變

20、量 x,y 滿意2xyx2yx 0,y 0,40,50,，就 z=3x+2y 的最大值是a 90b. 80c. 70d. 403z3解:做出可行域如下列圖.目標(biāo)函數(shù)化為： yx，令 z，畫 y x ，及其平行線，如右圖，當(dāng)它經(jīng)過(guò)兩直線的交點(diǎn)時(shí)，取得取大值；2xy解方程組x2 y40x,得50y10.所以2022zmax310220270 ,故答 c.點(diǎn)評(píng)：求最優(yōu)解，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，再令z ，畫它的平行線，看y 軸上的截距的最值，就是最優(yōu)解；例 9、本公司方案2021 年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過(guò)300 分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過(guò)9 萬(wàn)元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別

21、為 500 元/分鐘和 200 元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來(lái)的收益分別為0.3 萬(wàn)元和 0.2萬(wàn)元問(wèn)該公司如何安排在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬(wàn)元？xy 300，解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x 分鐘和 y 分鐘，總收益為z 元，由題意得500 x200 y 90000，目標(biāo)函數(shù)為z3000 x2000 y y500x 0， y 0.xy 300，400二元一次不等式組等價(jià)于5 x2 y 900，x 0， y 0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖：300l200m作直線l :300

22、0 x2000 y0 ，即 3 x2 y0 100平移直線 l ，從圖中可知，當(dāng)直線l 過(guò) m 點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值xy300，聯(lián)立解得 x100， y200 點(diǎn) m 的坐標(biāo)為 100，200 0100200 300x5x2 y900.zmax3000x2000y700000（元）答：該公司在甲電視臺(tái)做100 分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200 分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70 萬(wàn)元點(diǎn)評(píng) ：用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問(wèn)題能提高同學(xué)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的才能，隨著課改的深化，這類試題應(yīng)當(dāng)是高考的熱點(diǎn)題型之考點(diǎn)四：基本不等關(guān)系【內(nèi)容解讀】明白基本不等式的證明過(guò)程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)潔的最值問(wèn)題

23、，懂得用綜合法、分析法、比較法證明不等式；利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問(wèn)題：（1）當(dāng) a， b 都為正數(shù)，且ab 為定值時(shí)，有ab 2ab （定值），當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ab 有最小值；（2）當(dāng) a， b 都為正數(shù)，且ab 為定值時(shí)，有ab ab 24（定值），當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ab 有最大值創(chuàng)設(shè)基本不等式使用的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常常用的解題技巧，而拆與湊的過(guò)程中，一要考慮定理使用的條件（兩數(shù)都為正）；二要考慮必需使和或積為定值；三要考慮等號(hào)成立的條件（當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時(shí)，等號(hào)成立） ，它具有肯定的敏捷性和變形技巧，高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn)【命題

24、規(guī)律】 高考命題重點(diǎn)考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要顯現(xiàn)在挑選題或填空題，一般難度不太大；rx+例 10、（上海理）已知 x， y，且4 y1 ，就 xy 的最大值是1xyx 4 y1x4 y 211解：44216，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=2 時(shí)取等號(hào) .例 1、（2021 浙江） 已知 a0, b0,且ab2,就（）ab11ab2222(a) 2(b) 2(c) ab2(d) ab3解：由 a0, b0 ,且 ab2 ，4ab2a2b22ab2a 222b22 ；b a，點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查不等式的重要不等式學(xué)問(wèn)的運(yùn)用；y2例 2、2021 江蘇 已知x, y, zr，

25、 x2 y3 z0 ，就xz 的最小值0x3zy2x29 z26 xz6 xz6 xz解：由 x2 y3 zy2，代入xz 得4 xz4 xz3，當(dāng)且僅當(dāng)x 3 z時(shí)取“”得點(diǎn)評(píng)：本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用題目有有三個(gè)未知數(shù)，通過(guò)已知代數(shù)式，對(duì)所求式子消去一個(gè)未知數(shù)，用基本不等式求解；例 13 設(shè) a、br，試比較a b ，ab ，2a2b 22，2的大小11ab+1112ab 2a 2b22aba2b 2a2b2解： a、br ，a2即b ab ；1a ab ，當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)等號(hào)成立又1244ba2b2 22 ab 2aba 2b 222；當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)等號(hào)成立而ab ab22

26、于是 ab 112ab2 ab 2ab 當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取 “”號(hào)2b2說(shuō)明：題中的1a、ab 、1b、a分別叫做正數(shù)的調(diào)和平均數(shù)，幾何平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)，平方平均數(shù)也可取特殊值，得22出它們的大小關(guān)系，然后再證明a b2a2b2練習(xí) 1：（ 1）設(shè)a, br ，已知命題p : ab ；命題 q :，就 p 是 q 成22立的（）a 必要不充分條件b 充分不必要條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件222abab解：b.解析：ab 是等號(hào)成立的條件.22222（2）如a,b, c 為 abc 的三條邊，且sab c , pabbcac ，就（）a s2 pbps2 pc spd ps2

27、p解： d解析：spa2b 2c2abbcac1 ab22bc2ac2 0,sp ，又 | ab |c,| bc |a,| ac |b,a 22abb 2c2 , b22bcc 2a 2 , a22acc2b 2 a2b2c22abbcac,s2 p ；（3）設(shè) x > 0, y > 0, axy, b1xyx1x1y， a 與 b 的大小關(guān)系（）ya a >bb a <bcabd ab解：b；解析： axyxyxy；1xy1xy1xy1x1y（4） b 克鹽水中，有a 克鹽（ ba0 ），如再添加m 克鹽（ m>0 ）就鹽水就變咸了，試依據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式

28、.a am解：b bm解析 :由鹽的濃度變大得2. 已知 a， b，x，y r+（ a， b 為常數(shù)）， axb1 ，求 x y 的最小值 . y解：ab2ab變式訓(xùn)練 2：已知 a， b，x ，yr+（a，b 為常數(shù)），a b10，axb1 ，如 x y 的最小值為18，求 a， b 的值ya2，a8，解：或b8，b2.例 3. 已知 a, b 都是正數(shù)，并且ab，求證： a5 + b5 > a2b3 + a3b2解：證： a5 + b5 a2b3 + a3 b2 = a5a3b2 + b 5a2b3 = a3 a2b2 b3 a2b2 = a2b2 a3b3= a + bab2a2

29、+ ab + b 2a, b 都是正數(shù)， a + b, a2 + ab + b2 > 0；又 ab， ab2 > 0 a + bab2a2 + ab + b2 > 0即： a552 33 2+ b > a b + a b變式訓(xùn)練 3： 比較以下兩個(gè)數(shù)的大小：（1）2（2） 21與23；3與65 ；（3）從以上兩小項(xiàng)的結(jié)論中，你否得出更一般的結(jié)論？并加以證明解：（1）2123 ,（ 2） 2365（3）一般結(jié)論：如nn 就n1nn3n2 成立證明欲證n1nn3n2 成立；只需證1n1n1n3n2也就是n1nn3n2（）nnn1n3 ,nn2；從而（ * ）成立，故n1nn

30、3n2nn例 4. 甲、乙兩地相距s（千米），汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度最大不得超過(guò)c（千米 /小時(shí)）已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（元）由可變部分與固定部分組成可變部分與速度v （千米 /小時(shí)）的平方成正比，且比例系數(shù)為正常數(shù)b；固定部分為a 元(1) 試將全程運(yùn)輸成本y 元表示成速度v 千米 /小時(shí) 的函數(shù) .(2) 為使全程運(yùn)輸成本最省，汽車應(yīng)以多大速度行駛？解: 1 依題意得，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為s , 全程運(yùn)輸成本為y as bv 2s s a bv，故所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥s a bvv 0,c v··vvvvr2 s、a、b、v +，故 s a b

31、v 2s ab當(dāng)且僅當(dāng)a bv 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)va如a c即 v bvvba 時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小b如a >c，就當(dāng) v0， c時(shí)， bysa bv s a bcs c vabcvvcvcc v0，且 a>bc 2 ，故有 abcvabc2 >0 s a bv sa bc，且僅當(dāng) v c 時(shí)取等號(hào)，即v c 時(shí)全程運(yùn)輸成本最小vc變式訓(xùn)練 4： 為了通過(guò)運(yùn)算機(jī)進(jìn)行較大規(guī)模的運(yùn)算，人們目前普遍采納以下兩種方法：第一種傳統(tǒng)方法是建造一臺(tái)超級(jí)運(yùn)算機(jī)此種方法在過(guò)去曾被普遍采納但是人們逐步發(fā)覺(jué)建造單獨(dú)的超級(jí)運(yùn)算機(jī)并不合算，由于它的運(yùn)算才能和成本的平方根成正比另一種比較新的技術(shù)是建造分布

32、式運(yùn)算機(jī)系統(tǒng)它是通過(guò)大量使用低性能運(yùn)算機(jī)也叫工作站 組成一個(gè)運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)這樣的網(wǎng)絡(luò)具有驚人的運(yùn)算才能，由于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)算才能是各個(gè)工作站的效能之和假設(shè)運(yùn)算機(jī)的運(yùn)算才能的單位是mips 即每秒執(zhí)行百萬(wàn)條指令的次數(shù)，一臺(tái)運(yùn)算才能為6000mips 的傳統(tǒng)巨型機(jī)的成本為100 萬(wàn)元； 而在分布式系統(tǒng)中，每個(gè)工作站的運(yùn)算才能為300mips ，其價(jià)格僅為5 萬(wàn)元需要說(shuō)明的是，建造分布式運(yùn)算系統(tǒng)需要較高的技術(shù)水平，初期的科技研發(fā)及網(wǎng)絡(luò)建設(shè)費(fèi)用約為600 萬(wàn)元請(qǐng)問(wèn)：在投入費(fèi)用為多少的時(shí)候，建造新型的分布式運(yùn)算系統(tǒng)更合算？解： 設(shè)投入的資金為x 萬(wàn)元，兩種方法所能達(dá)到的運(yùn)算才能為y1 , y2 mips ，就

33、y1k1x 把 x100 ， y16000代入上式得 k1600 ，又 y2k2 x600 ，當(dāng) x6005 時(shí)， y2300代入上式得 k260 ，由 y2 y1 得 60x600 600x ，即 x10x6000，解得 x 900萬(wàn)元 答：在投入費(fèi)用為900 萬(wàn)元以上時(shí)，建造新型的分布式運(yùn)算系統(tǒng)更合算；歸納小結(jié)1在應(yīng)用兩個(gè)定理時(shí)，必需熟識(shí)它們的常用變形，同時(shí)留意它們成立的條件2在使用 “和為常數(shù)、積有最大值”和“積為常數(shù)、和有最小值”這兩個(gè)結(jié)論時(shí)，必需留意三點(diǎn)：“一正 ”變量為正數(shù)， “二定 ”和或積為定值， “三相等 ”等號(hào)應(yīng)能取到，簡(jiǎn)記為“一正二定三相等 ”考點(diǎn)五 ：確定值不等式【內(nèi)容

34、解讀 】把握確定值不等式x a， x a（a 0）的解法，明白確定值不等式與其它內(nèi)容的綜合；【命題規(guī)律 】本節(jié)內(nèi)容多以挑選、填空題為主，有時(shí)與充分必要條件相結(jié)合來(lái)考查，難度不大；考點(diǎn)六 ：不等式的綜合應(yīng)用【內(nèi)容解讀 】用不等式的性質(zhì)、基本不等式、一元二次不等式等內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題，如求最值，證明不等式等；【命題規(guī)律 】不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題，有肯定的難度；例 14、（江蘇模擬）如圖，某單位用木料制作如下列圖的框架,框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x, y 單位 :米的矩形 ,上部是斜邊長(zhǎng)為 x 的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8 平方米 .（）求x, y 的關(guān)系式，并求x 的

35、取值范疇；（）問(wèn)x, y 分別為多少時(shí)用料最省.解：（）由題意得：xy1 xx8 x0, y0,22y8x ,x 4（）設(shè)框架用料長(zhǎng)度為l ，31 6就 l2 x2 y2x2 x2x4642842.3當(dāng)且僅當(dāng)（22） x16 , xx842 , y22,滿意 0x42.答：當(dāng)x842 米， y22 米時(shí)，用料最少.點(diǎn)評(píng)：此題考查利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題，是面積固定，求周長(zhǎng)最省料的模型，解題時(shí)，列出一個(gè)面積的等式，代入周長(zhǎng)所表示的代數(shù)式中，消去一個(gè)未知數(shù)，這是常用的解題方法；例 15、某化工企業(yè)2007 年底投入 100 萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5 萬(wàn)元，此外每年都

36、要花費(fèi)肯定的保護(hù)費(fèi)，第一年的保護(hù)費(fèi)為2 萬(wàn)元，由于設(shè)備老化，以后每年的保護(hù)費(fèi)都比上一年增加2 萬(wàn)元（1）求該企業(yè)使用該設(shè)備x 年的年平均污水處理費(fèi)用y （萬(wàn)元）；（2）問(wèn)為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備？解：（ 1） y1000.5 x246x1002 x即 yx1.5 （ xx0 ）；（ 2）由均值不等式得：y x100 x1001.52x 100x1.521.5（萬(wàn)元）當(dāng)且僅當(dāng)x，即 xx10 時(shí)取到等號(hào)答：該企業(yè)10 年后需要重新更換新設(shè)備內(nèi)容解讀】用不等式的性質(zhì)、基本不等式、一元二次不等式等內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題，如求最值，證明不等式等；【命題

37、規(guī)律】不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題，有肯定的難度；考 點(diǎn) 七 ： 不 等 式 的 證 明 （ 一 ） 1比較法是證明不等式的一個(gè)最基本的方法，分比差、比商兩種形式1 作差比較法，它的依據(jù)是：ab0abab0abab0ab它的基本步驟：作差 變形 判定，差的變形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等2 作商比較法，它的依據(jù)是：如a >0 ， b >0，就a1ab ba1abba1abb它的基本步驟是：作商 變形 判定商與 1 的大小它在證明冪、指數(shù)不等式中常常用到2 綜合法：綜合法證題的指導(dǎo)思想是“由因?qū)Ч?”，即從已知條件或基本不等式動(dòng)身，利用不等式的性質(zhì)，推出要

38、證明的結(jié)論3 分析法：分析法證題的指導(dǎo)思想是“由果索因 ”，即從求證的不等式動(dòng)身，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，假如能夠確定這些充分條件都已具備，那么就可以判定所要證的不等式成立典型例題例 1. 已知 a0, b0 ，求證：ababba證法 1：abab a 3b 3ab ab ab a 22 ab b 2 ab ab 2baabababab>0，ab >0 ， ab 20a bab ab) 0a b即abb aa bb aa 3b 3ababab 2ab證法 2：abab ab 11abababba故原命題成立，證畢變式訓(xùn)練 1

39、： 已知 a、b、x 、yr +且1 1 ，x y. ab求證：xyxayb解：證法一 ： 作差比較法 xybxay，又 1 1 且 a、br +， ba0. 又 x y 0， bx ay.xayb（xa）（ yb）abbxay0，即xy.（ xa）（ yb）xayb證法二： 分析法 x、y、a、b r+，要證xy， 只需證明 xy+b yx+a ，即證 xb ya.xayb由 1 a1 0， ba 0. 又 x y 0，知 xb ya 明顯成立 .故原不等式成立 . b例 2. 已知 a、br+，求證：ab ab122abb a 證明： ab2 ab，因此要證明原不等式成立，就只要證a b1

40、2ab 由于 ab12 ab 2 22 2a b0 22所以 ab12 ab 從而原不等式成立變式訓(xùn)練 2： 已知 a、b、cr，求證： a2b2證明：左邊右邊c24ab3b2c a2b2c24ab3b2c12 4a414b224c 21624ab12b28c 2ab4a 2b 23b2c 24ab4c1 03b2c例 3. 已知 abc 的外接圓半徑r1， sabc1， a 、 b 、 c 是三角形的三邊，令sab41c ， ta11求證： tsb c證明：s abc1ab sin c21 cab2 2rabc 4r又 r1， s1abc4abc1sabc111bccaab111111bccaab 222111tabcst但 ttss 的條件是 abc 1 ，此時(shí)s abc3 與已知沖突4變式訓(xùn)練 3： 如 a,b, c 為 abc 的三條邊，且sa2b2c2 , pabbcac ，就（）a s2 pb ps2 pc spd ps2 p答案 :d 解析：spa 2b2c2 abbcac1 ab22bc 2ac2