1、（1）證明：數列"也是等差數列：（2）設數列“、么的公差均是dwO,并且存在正整數s/，使得q是整數，求161的最小值.1L在平面直角坐標系xOy中，曲線G：'2=4x,曲線g：（x-4）2 + V=8，經過G上一點夕作一條傾 斜角為45的直線/,與J交于兩個不同的點Q,R,求IPQLIMI的取值范圍.2017年全國高中數學聯合競賽加試（B卷）一、（本題滿分40分）設實數a,b,c滿足a+b+c = O,令d = max|,”|，H，證明:K1+a）（l+W+c）>l-d2二、（本題滿分40分）給定正整數？，證明：存在正整數使得可將正整數集N.分拆為k個互不相交的子集4

2、，42,4,每個子集4中均不存在4個數（可以相同），滿足出?一4="三、（本題滿分50分）如圖，點。是銳角AA3C的外接圓。上弧8C的中點，直線D4與圓0過點3,C的切線分別相交于點P,Q, 8。與AC的交點為X, C尸與A8的交點為丫，8。與CP的交點為了，求證：47平分線段XV.四、(本題滿分50分)設4,。2,£ 1,2,5, RQ,% e 1,2，10,集合X=(/J)|l</< j< 20,(4 %)屹一4)0,求X的元素個數的最大值.一試試卷答案QL答案：- 9解：數列4的公比為，故一 = 什，2- =1 = 9.%+-74（4+生。”）q 9

3、2 .答案：x/5解：設Z = a+bi,a,beR,由條件得（。+9） +6=10a + （106 + 22）"比較兩邊實虛部可得，解得: =1,。= 2,故z = l + 2i,進而lzl=".73 .答案：一一 解：由條件知，/(1) + 1=(/(-1) + (1)2) = /(一1)一1, 兩式相加消去/（一1）,可知：，即.4 .答案:2 (V2)2+l2-22 V2cos A =解：由正弦定理知，又b?=ac,于是a:0:c = 2：7份：1,從而由余弦定理得:2xV2xl5 .答案：2733解：由條件知，所平行于8C,因為正四而體48CQ的各個而是全等的正三

4、角形，故AE = Ab = EF = 4,AD = AB = AE+BE = 1.由余弦定理得，DE = J4D2 + 6-24） AE cos60 =,49 + 16-28 =扃,同理有。尸=炳.作等腰ADEF底邊防上的高則，故DH=NdE?-EH2 =回,于是 Swf =；EF*DH = 2屈.6 .答案：-14解：注意K中共有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式數為C；= 84種，當取出的三點兩兩之間距離不超過2時，有如下三種情況：（D三點在一橫線或一縱線上，有6種情況，（2）三點是邊長為1,1,、歷的等腰直角三角形的頂點，有4x4= 16種情況，(3)三點是邊長為應,應,2的等腰直角三

5、角形的頂點，其中，直角頂點位于(0,0)的有4個，直角頂點位于(±1,0), (0,±1)的各有一個，共有8種情況.綜上可知，選出三點兩兩之間距離不超過2的情況數為6+16+8 = 30,進而所求概率為.7 .答案：解：二次曲線方程可寫成，顯然必須>0,故二次曲線為雙曲線，其標準方程為，則 c2著止整數sj 滿足4s + bt eZ，則4$+Z?, +g = % +(s 1)" + 4 + (/ )d + =()2+(-a)2=a2-a,注意到焦距2c = 4,可知24 = 4,又。<0,所以.8 .答案：574解：由條件知，當c = l時，有10工4

6、20,對于每個這樣的正整數b,由10/?<。4201知，相應的的個數為202-10/?，從而這樣的正整數組的個數為g (202 -10/7)= ")2=2)少=572,/>-1()22017當c = 2時，由，知，b = 20,進血 200Wa = 201 >10故4 = 200,201,此時共有2組(a/,c).綜上所述，滿足條件的正整數組的個數為572+2 = 574.9 .解：設，=21則fe2,4,于是"一。1<15Tl對所有fe2,4成立,由于 "一a 1<15 T k=> (f a)? v (5 -f了,0 -a5)

7、(5 一 a) v 0,對給定實數。,設/=(2"。-5)(5-°),則一是關于f的一次函數或常值函數,注意fe2,4,因此/(f)v0等價于,解得3<。<5/(2) = (-1-«)(5-«)<0/(4) = (3-«)(5-«)<0所以實數的取值范圍是3<<5.10 .解： 設等差數列4“的公差為d，則% -/乙=(一2。+3 - 4：-】)一(*+1。+2-。：) =4+2(限 一)3向+ %)(q用-%)= 4+22" 一( +=(2。»2 一- a>d = 3d2

8、所以數列仍也是等差數列.(2)由已知條件與(1)的結果知:3d2=d，因為dwo,故,這樣耳=4+4.2=3" +d)& +2d)一； 記，貝iJ/eZ,且18q=3(3/-s - + l) + l是一個非零的整數，故從而.117又當時，有+a=+ = leZ, 13 18 18綜上所述，|的最小值為4.11 .解：設P(產,2f),則直線/的方程為丁 = x + 2一/，代入曲線j的方程得，(x-4)2+(x + 2r-r)2=8,化簡可得:2x2 -2(r -2f + 4)x + (t2 -2t)2 +8 = 00,由于/與C?交于兩個不同的點，故關于x的方程的判別式為正

9、，計算得, =(產 2f+4y 2(/ - 2r尸 + 8) = (r - 2t)2 -8(r-20 + 16-2(產 -2r)2-16 4=一( 一 2/+ 8(尸 2f) = -(t2 - 2/)( J - 2/ - 8) = -/(/- 2)(/ + 2)(/- 4),因此有fe(-2,0)U(2,4), 設。,R的橫坐標分別為,由知,王+/=一21+ 4,因此，結合/的傾斜角為45可知,I PQA PR= 72(%1 -r2)<V2(x2 -r) = 2x,x2-2r(xl +x2) + 2t4 =a2 - 2f )2 +8-2r(r - 2f + 4) + 2t4 =f 4 一

10、 43 + 4 + 8 - 2f 4 + 4/ 一 8 + 2?= r4-4r2+8 = (r2-2)2+4» 由可知，/一2e(2U(2,14),故(八-2)4)U(4196),從而由得:I PQ M PR 1= (r 一 2尸 + 4 e 4,8) U (8,200)注1：利用C?的圓心到/的距離小于g的半徑，列出不等式, 同樣可以求得中，的范圍.注2：更簡便的計算IPQMPRI的方式是利用圓事定理，事實上，g的圓心為M(4,0),半徑為)=2夜, 故 I PQ kl PR 1=1 PM I2 -r2 = (r - 4)2 + I 一 (2"尸=/一 4/ + 8 .加

11、試試卷答案證明：當dNl時，不等式顯然成立 以下設OWdcl,不妨設。力不異號，即出?NO,那么有(1+ «)(1+/?) = + a + b + ab> + a + b = -c>-d >0因此I(1 + a)(l + /?)(1 + c)|>|(1 -c)(l + c)| = l-c2=l-|c|2 >1-J2證明：取& =m + 1,令 A =x|x三，(mod/ + l),X£N+, i = l,2,"7 + 1設a,b,c,d £ A ,則心-c"三/，= 0(mod/ + l), m + fib

12、-cd ,而?+ 1加，所以在A中不存在4個數a,/?,c,",滿足。/?一4 = ?三、 證明：首先證明KY3C,即證 連接3D8,因為,1 AC CQsin ZACQ -AC BCsin ZACB 1 AC AQsin ZCAQ所以1=， -ABBC sin ZABC -ABBP sin ZABP -ABAPsin /BAP 222由題設，8P,CQ是圓切的切線，所以NACQ = NA8C, ZACB = ZABP,又ZCAQ = ZDBC = ZDCB = ZBAP （注意。是弧BC的中點），于是由知 因為 NCAQ = N84P,所以 N84Q = NCAP,s- AB AQ

13、 sin ZBAQ . D 4八于是也=22：iAQ Smcp - AC APsin ZCAP AC * AP 2c BC CQ sin ZBCQ 二八 而為絲半S鄧cp 2_ 8C BP sin ZCBP BP2由，得，即又，故設邊BC的中點為M,因為，所以由塞瓦定理知，AM,3X,CY三線共點，交點即為7,故由雙 8c可得A7平分線段XY四、解：考慮一組滿足條件的正整數（必,仇也，也。）對A = l,2,5,設，小,外0中取值為k的數有4個，根據X的定義,當4=勺時，（i,j）1X,因此至 少有個（i,j）不在X中，注意到，則柯西不等式，我們有51551155190£c： =5（

14、名：-彳（404尸 - £4）=彳20.（七一1） = 3。從而X的元素個數不超過C£o-30 = 190-30 = 160另一方而，取 出 人 _3 =。»-2 ='%-1=。4人=% （攵= 1,2,5）, 4=6 （j = 1,2,，20）,則對任意i,j （l«ivj<20）,有（4一勺）（1一與）=（一勺）（6-4）（6-即）=-（4-勺）2«0等號成立當且僅當4 =%，這恰好發生5=3。次，此時X的元素個數達到C：o-30 = 160綜上所述，X的元素個數的最大值為160.2017年全國高中數學聯合競賽一試（B卷）參考

15、答案及評分標準說明：1 .評閱試卷時，請依據本評分標準.填空題只設8分和。分兩檔：其他各題的 評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不得增加其他中間檔次，2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可 參考本評分標準適當劃分檔次評分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、 11小題5分為一個檔次，不得增加其他中間檔次，一、填空題：本大題共8小題，每小題X分，共64分.L在等比數列叫中，%=五,% =事,則十"懦的值為 叫 + 20 IT答案：.9解：數列m的公比為9 二0二平，故世"二#色吼_ =0.% -V2生+* 夕'（a-q&#

16、39; 92 .設復數z滿足乙+ 9 = 10+ 22i,則的值為.答案：V5 .解；設2 = +方，a,/>WR.由條件得3 + 9） + bi = 10a + （-10b + 22）i.比較兩邊實虛部可得+9 = 10a, '6 = -10"22, 解得a = l" = 2,故z = l + 2i,進而|z| = 4.3 .設/(/)是定義在R上的函數，若x) + .d是奇函數，/(五)十2y是偶函數, 則/的值為.答案；-：4解；由條件知，/+1 =-(/(=1) 1, /+ 2=/(-1)+:，兩式相加消去-1),可知2l)+3=-L 即/=一2_.2

17、44 .在力HC中，若sind = 2sinC,且三條邊的也已成等比數列,則cos/的 值為.解：由正弦定理知，-= = 2,又bc,于是：b:c = 2:JLl,從 c sinC而由余弦定理得，COS / = 丁十 _ = 2' = _也, 2bc 2xV2 x 145 .在正四面體力灰力中，£F分別在棱力24C上，滿足8E = 3,EF = 4,且EF與面8cQ平行，則DEF的面積為答案：2衣.解：由條件知，爐平行于8C .因為正四而體月8CQ 的各個面是全等的正三角形，故AE = AF = EF = 4, Ab = AB = AE-V BE = 7 .由余弦定理得，DE

18、 = J 4D )盤-2AD AE cos 60。=J49 + 16 二 28=后,同理有。/二歷.作等腰,底邊防上的高/汨,則£=緒=2,故 dh = Nde?-eh2 =屈，于是右.-=；.EF DH = 2而.6 .在平而直角坐標系"萬中，點集K = (x,y)|x,y = 1,0,1.在K中隨機 取出三個點，則這三個點兩兩之間距離均不超過2的概率為.答案：.解;注意K中共有9個點，故在K中隨機取出三個點的方式數為C =對種.當取出的二點兩兩之間距離不超過2時，有如卜.二種情況；(1)三點在一橫線或一縱線上，有6種情況.(2)三點是邊長為1J0的等腰直角三角形的頂點，

19、有4x4 = 16種情況.(3)三點是邊長為0.加,2的等腰直用三角形的頂點，其中，直角頂點位 于(0,0)的有4個，直角頂點位于(土1,0), (0,±1)的各有一個,共有8種情況,綜上可知，選出三點兩兩之間距離不超過2的情況數為6-16 + 8 30,進而所求概率為也=上.84 147 .設為非零實數，在平面直角坐標系*伽中，二次曲線/十十不=0的 焦距為4,則a的值為.答案；上或，2解;二次曲線方程可寫成一£- 二 1.顯然必須>0,故二次曲線為雙曲 3 Z7線，其標準方程為則1=(卡/十(注意至IJ焦距yj-a)(一 ”)2c = 4,可知 “ a = 4r

20、乂<0,所以a = .28,若正整數“，"。滿足20172102100力21000% 則數組(凡凡。)的個數 為,.答案：574.解，由條件知cW20171000=2.當。=1時，有10£力£20.對于每個這樣的正整數由10/i工。工201知,2相應的。的個數為202-10人 從而這樣的正整數組的個數為(102+2)x11= 572.20 52(202-10/?) = /h-10當c = 2時，由20WH2017100,知人=20.進而200WW201710故僅=200, 201.此時共有2組& b, c).綜上所述，滿足條件的正整數組的個數為572

21、+2 574,二、解答題；本大題共3小題，滿分56分，解答應寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.9 .(本題滿分16分)設不等式|2"-4<|5-2對所有丘I. 2成立，求實 數。的取值范圉.解；設，=21則在2 4,于是|/< 5 1|對所有/£工4成立,由于 |f-a|<|5-/|<(r-a)2 <(5-r)2O (21 一 5)(5 a) < 0 .g分對給定實數“，設/= (2f a 5)(5a),則/是關于的一次函數或常 值函數.注意七2 4,因此/)<0等價于7(4) = (3-4(5-)<0, 解得3< a

22、<5.16分所以實數口的取值范圍是3 < a < 5 .10 .本題滿分20分設數列泣J是等差數列，數列也滿足 a=。川"2一4%=12一<i）證明;數列也;也是等差數列；<2）設數列5、色的公差均是2工0,并且存在正整數s, /,使得q+女 是整數，求同的最小值.解：（1）設等差數列他J的公差是d,則4+k - a=（%+±%+3 一 口，j 一（。,川*-2 -<）=凡+式q+3 - 4+1）一（4 + i +%）（%+%）=生+2,2£/ 一（"7 十 %）"二（2%.2q 用-4）3 =3臚 所以數列

23、依也是等差數列.5分<2）由已知條件及（1>的結果知因為二0,故"二L這樣32 =-：=（% + d）（4 + 2d）-"：=3d% + 2/ =（i + .10 分n"9若正整數S,f滿足 一4FZ,貝1 22凡+也=4 + q + 7；=仆+（，-1必 + +。一10+了=2% +*記/ = 2%+史手工+1則/ez,且1防=3（3/-S - + D+1是一個非零的15分20分整數+ &|18a.|>b從而心1|7又當.=時，有+ 1 =1- = 1 G Z .1818 18綜上所述，同的最小值為今11.（本題滿分20分）在平面直角坐

24、標系工0：中，曲線C：/=4x,曲線 Q:（x-4-十/ =8.經過C上一點尸作一條傾斜角為45。的直線/,與仁交于兩 個不同的點0.R,求歸Q|.|PR|的取值范圍.解；設以5,2/1,則直線，的方程為尸=,丫十2/-，代入曲線。2的方程得， （.v-4）2 + （x + 2/-/2）z=8,化簡可得2/ - 2（產一 2, + 4）.v + （/一 27）2 +8 = 0.由于，與G交于兩個不同的點，故關于支的方程的判別式為正.計算得，3 =（產-2/+4）2一2（/-2。2 + 8）=（/一2廳一8（-2。+16 2（/一力）2 164二一（2。: + 8（產2/）=-（r- 2a（一

25、2/-8） = -/（/ -2）（/ + 2）（，- 4）,因此有/（-2,0）11（2,4）.10分10萬設0,火的橫坐標分別為對電，由知，X + 士 =廠-2, + 4, 天天(廣27 + 8),2 因此，結合,的傾斜角為45。可知，|尸-|依1 =應(為一，“區一/2) = 2亢出一2J6十£)十2rl =(r-2/)2+8-2r(r -2/ + 4)+ 2t4 二廣 一 4/ 3 + 4r2 + g 214 + 4, ； 一 8/十 2 J =4/+8 =(產-2)2+4.15分 由可知，產一 2 E (-2. 2)11(2,14),故(產- 2)醍0, 4)11(4,196

26、)，從而由得，伊加仍川=儼2)十4H4,8)1)(8,200).20分注1：利用g的圓心到/的距離小于g的半徑，列出不等式 什滬1 < 20 , 同樣可以求得中，的范圍，注2：更簡便的計算|尸5PM的方式是利用圓塞定理.事實上，G的圓心為 "(40),半徑為r = 2亞,故PPR = PM -r1 = (r - 4尸 +(2/ 72揚2 = t4 -4/2 十8 .2017年全國高中數學聯合競賽加試(B卷) 參考答案及評分標準說明：1 .評閱試卷時，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分.2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可 參考本評分標準適當劃

27、分檔次評分,10分為一個檔次.不得埔加其他中間檔次一、(本題濡分40分)設實數°,用c滿足“ + b + c=0 ,令4 = max|M，»|,|c| . 證明：|(1+砍1 +狽+啪1-證明：當421時，不等式顯然成立.10分以下設不妨設4, b不異號，即涼>之0,那么有(1 +。)(1 + />) = + a-vb+ab>ab= -c> 1J > 0 .20分閃此+川+與。+0)住 Ki 一。(1+。)|=1 -=1 一固？ 1 一/.40分二、（本鹿滿分40分）給定正整數小，證明：存在正整數A ,使得可將正整 數集N.分拆為A個互不相交的

28、子集,4,每個子集4中均不存在4個數 a,b,c,d （可以相同）,滿足ab-cd = m.證明：取 A = +1,令 4 = xx = / （mod/w +1）, x w N J , i = 1,2,，小 +1.20分設a,Ac,de4，則ah - cd 三 i - =0（mod m + l）,故 i + l|ab-cd,而小+ 11m，所以在4中不存在4個數4,“c,d,滿足ab - cd = m 40 分三、（本H滿分5。分）如圖，點。是銳角力SC的外接圓上弧BC的中 點，直線D4與圓卬過點用C的切線分別相交于點P,。，50與4C的交點為X, CP與的交點為y , BQ與CP的交點為7求證：47平分線段AT.（答題時請將圖畫在答卷紙上）AV AV證明：首先證明四 8C,即證久=” XC YB所以連接8D,CO.因為SCQ Smbc 二 S