1、優秀教案歡迎下載高三復數專題復習：一、復數的概念及運算：1、復數的概念： （ 1）虛數單位i ；（ 2）實部： rez ，虛部：im z ；實數b有理數0無理數（ 3）復數的分類 zabi 虛數b0純虛數 a0a,br ；（ 4）相等的復數：2、復數的加、減、乘、除法就：（ 1）加減法具有交換律和結合律；（ 2）乘法具有交換律、結合律、安排律；非純虛數 a0（ 3）除法：abicdiacbdc2d 2bcad i cdi c2d 20 ；3、復數的共軛與模：（ 1） zrzz ； z 是純虛數zz ，反之不成立；（ 2）復數 zabi 與點 za, b是一一對應關系，另：z 與 z 關于 x

2、軸對稱，z 表示 z 對應點與原點的距離；4、復數共軛運算性質：z1z2z1z2 , z1z2z1z1z1z2 ,；nz2z25、復數模的運算性質：z1 z2z1z1 zz ,z2z1z2z20, znz；6、復數的模與共軛的練習：2zz z ；7、 重要結論（1）對復數 z 、z1 、 z2 和自然數m、n，有zmznzm n， zm nzmn ， zz nnnz1z2122i 1i ， i 21 ， i 3i ， i 41 ；i 4 n 11 ， i 4n 21 ， i 4n 3i ， i 4n1 .31i 22i ，1i1ii ， 1ii .1i4設13i2，2，120，23n3n，優秀

3、教案歡迎下載nn 1n 208. 一些幾何結論的復數形式1復平面上 z1，z,2，zz2z1,3三點共線的充要條件是z3zzr.2復平面上z1z2z3為正三角形的充要條件是（有三種形式，它們是等價的）1. z1z22. z2z2z2z3z2z zz3z1 ;z zz z ;12z23.131 2z2z302 31 3cos3i sin.33復平面上z1z2z3的面積為s表示為 s1 im z22z1z2z1 .4復平面上zz13z1, z2 , z3, z4四點共圓的充要條件是 ：z4z1z3z2z4z2r,0 .二、復數的三角形式：1、復數的三角形式概念：任何1個復數 zabi ,都可以改寫

4、成復數的形式：zr cosi sin, 其中： ra 2b 2 , cosa , sinb ;rr2、復數的三角形式的乘法公式：設復數 z1r1cosi sin, z2r2 cosi sin就， z1z2r1 cosi sinr2 cosi sinr1 r2cosi sin即： 兩個復數相乘，積的模等于兩個復數的模之積，積的輻角等于兩個復數的輻角之和；上述結論，可以推廣到有限個復數相乘的情形 ；z1z2 z3znr1 cos 1i sin1r2 cos 2i sin2 r3 cos 3i sin3 rn cos ni sinn r1r2r3rn cos123ni sin123n3、復數的三角形

5、式的乘方公式（棣莫佛定理）r cosni sinr n cos ni sin n即：復數的n（ nn ）次冪的模等于模的n 次冪，輻角等于這個復數的輻角的n 倍，這個定理稱為棣莫佛定理；4、復數的三角形式的除法公式設z1r1 cosi sin, z2r2 cosi sin;11zr就：z2r2cos cosi sin i sinr1cos r2i sin.即：兩個復數像除，商的模等于被除數的模除以除數的模，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角；優秀教案歡迎下載三、復數中的方程問題：1、實系數一元二次方程的根的情形：對方程ax2bxc0 （其中a, b,cr 且 a0 ），令b 24ac ，當

6、0 時，方程有兩個不相等的實數根；當=0 時，方程有兩個相等的實根；當0 時，方程有兩個共軛虛根：x12、復系數一元二次方程根的情形：bibi, x2；22對方程ax2bxc0, xb的平方根；2a3、一元二次方程的根與系數的關系：bx1x2如方程 ax2bxc0 （其中 a, b,cr 且 a0 ）的兩個根為x1、x2 ，就a ；cx1x2a22四、例題精選例 1：已知z2 3iz23i40 ，求 z ；例 2：已知 z23 4i231 i2243i10，求 z ；例 3：設 z 為虛數，z1 為實數，且12 ；z（ 1）求 z 的值及 z 的實部的取值范疇；（ 2）證明： u1z 為純虛數

7、；1z優秀教案歡迎下載例 4：已知關于t 的方程 t 22ta0ar 有兩個根t1、t2 ，且滿意t1t223 ；（ 1）求方程的兩個根以及實數a 的值；（ 2）當 a0 時，如對于任意xr ，不等式log a x2ak 22mk2k 對于任意的k2, 12恒成立，求實數m 的取值范疇；例 5：已知復數z1 滿 足 1i z115i , z2a2i，其中 i 為虛數單位，ar ，如z1z2z1 ，求 a 的取值范疇；例 6：設虛數z 滿意 2z5z10 ；（ 1）求 z 的值；z（ 2）如mm為實數，求實數m 的值；z（ 3）如 12i z 在復平面上對應的點在第一、第三象限角平方線上，求復數

8、z ；優秀教案歡迎下載例 7：已知方程x2xp0 有兩個根x1 和x2 ， pr ；（ 1）如x1x23，求實數p ；（ 2）如x1x23 ，求實數p ；例 8：已知復數zabi a , br 是方程 x24 x50 的根， 復數u3i ur 滿足z25 ，求 u 的取值范疇；例 9：關于 x 的方程 x22abi xabi0 有實根，求一個根的模是2，求實數a, b 的值；例 10：設兩復數z2z1 , z2 滿意1a x z z40za2240 （其中 a0 且 a1 ， xr ），求 z1z212是虛數；（ 1）求證：z1是定值，求出此定值；z2（ 2）當 xn時，求滿意條件的虛數z1

9、的實部的全部項的和；z2優秀教案歡迎下載例 11：設兩個復數z 、z滿意 100 z2z2kz zkr ，并且z2 是虛數，當kn時，1求所以滿意條件的虛數2121 21z2 的實部之和；z1例 12：運算：（ 1）2 cos 12i sin123 cos6i sin6（ 2）3 cos55i sin5（ 3）12 cos3i sin36 cos6i sin6例 13：給定復數z ，在 z ，z, zz, z , z ,222z, z, z這八個值中，不同值的個數至多是 ；例 14：已知以下命題（ 1） zzzr ；（ 2） zzz 為純虛數；（ 3） z1z20z1z2 ；2（ 4）zz0z

10、0z0z2z20zz0z 2z2zz121或 2；（ 5） 1212；（ 6）.z2其中正確的命題是 ；例 15：是否存在復數z 同時滿意條件：1在，求出復數z ，如不存在，說明理由；z10 z6 ； z 的實部、虛部為整數；如存優秀教案歡迎下載例 16：設z1 是已知復數，z 為任意復數且z1, zzz1 ，就復數對應的點的軌跡是a、以z1 的對應點為圓心、1 為半徑的圓；b、以z1 的對應點為圓心，1 為半徑的圓；c、以d、以1z1 的對應點為圓心、211 z 的對應點為圓心，21 為半徑的圓；21 為半徑的圓；2例 17：滿意方程zre z1的復數 z 對應的點的軌跡是；a、圓b、橢圓c

11、、雙曲線d 、拋物線例 18：復平面內，滿意z1iz1i 2 的復數 z 所對應的點的軌跡是a、橢圓b、雙曲線c、一條線段d 、不存在2例 19：滿意方程z15 z160 的復數 z 對應的點的軌跡是a、四個點b、四條直線c 、一個圓d、兩個圓例 20：設復數z2 xa 2 xai , x、ar ，當 x 在,內變化時，求z 的最小 值 g a ；例 21：如復數z1 和z2 滿意： z2az1i a0 ，且 z2z1z1z2842 ； z1 和z2 在復平面中對應的點為并指出此時a 的值；z1 和z2 ，坐標原點為o ，且 oz1oz2 ，求oz1z 2 面積的最大值，優秀教案歡迎下載例 2

12、2：已知復數z01mim0 , zxyi ,abix , y ,a ,br，i 為虛數單位，且對于任意復數 z ，有z0z,2 z ；（ 1）試求 m 的值，并分別寫出a 和 b 用 x、y 表示的關系式；（ 2）將x, y作為點 p 的坐標，a ,b 作為點 q 的坐標， 上述關系可以看作是坐標平面上點的一個變換： 它將平面上的點p 變到這一平面上的點q，當點 p 在直線 yx時，試求點p 經該變換后得到的點q 的軌跡方程；1上移動（ 3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經上述變換后得到的點仍在該直線上？如存在，試求出全部這些直線；如不存在，就說明理由；例23 ： 已 知 復 數 z1mn

13、i , z222i 和 zxyi， 其 中m,n, x, y均 為 實 數 ， 且zz1iz2 ；12（ 1）如復數z1 所對應的點m m, n 在曲線 y x321 上運動，求復數z 所對應的點p x, y 的軌跡方程；（ 2）將（ 1）中點 p 的軌跡上每一點沿向量方程；a 3 ,1 方向平移，得到新的軌跡c ，求 c 的2（ 3）軌跡c 上任意一點a（異于頂點）作其切線l , l交 y 軸于點b；問：以ab 為直徑的圓是否恒過x 軸上肯定點？如存在，求出此定點坐標；如不存在，就說明理由；優秀教案歡迎下載例題答案：1、7 ；2、1； 3、（ 1）12re z1；（ 2）略；5、a1,7；6

14、、（ 1） z5 ；（ 2）m5 ；（ 3）z103210 i或z2103210 i2；7、（ 1） p5 或p22 ；（ 2）當 0p14時，方程無解； 當 p0 時， p2 ；當 p1 時， p49 ；8、u42,6；9、當 b0時， a4 或a4 ；當 ba1a10 時，,；53b3b3axa40a2 xa 20a 1a19a 2110、（ 1）i，定值；（ 2） a1 時，； 0a1時，；2221a1a11、 95； 12、略； 13、4； 14、（ 1）（ 4）； 15、存在、 z16、 d； 17、d； 18、c； 19、c ；13i 或 z3i ；20、a22,2a24aa22, a2；21、 8，此時a1 ，提 示：由條件得z84211a1a2, sa1a2zz1z21222284221a2a1a 28422 2a11a1a a842，2 212822當且僅當 a1