1、 普通物理的數學基礎 選自趙凱華老師新概念一、微積分初步 物理學研究的是物質的運動規律，因此我們經常遇到的物理量大多數是變量，而我們要研究的正是一些變量彼此間的聯系。這樣，微積分這個數學工具就成為必要的了。我們考慮到，讀者在學習基礎物理課時若能較早地掌握一些微積分的初步知識，對于物理學的一些基本概念和規律的深入理解是很有好處的。所以我們在這里先簡單地介紹一下微積分中最基本的概念和簡單的計算方法，在講述方法上不求嚴格和完整，而是較多地借助于直觀并密切地結合物理課的需要。至于更系統和更深入地掌握微積分的知識和方法，讀者將通過高等數學課程的學習去完成。 §1函數及其圖形 11函數 自變量和

2、因變量 絕對常量和任意常量 12函數的圖象 13物理學中函數的實例 §2導數 21極限 如果當自變量x無限趨近某一數值x0（記作xx0）時，函數f（x）的數值無限趨近某一確定的數值a，則a叫做xx0時函數f（x）的極限值，并記作 （A17）式中的“lim”是英語“limit（極限）”一詞的縮寫，（A17）式讀作“當x趨近x0時，f（x）的極限值等于a”。 極限是微積分中的一個最基本的概念，它涉及的問題面很廣。這里我們不企圖給“極限”這個概念下一個普遍而嚴格的定義，只通過一個特例來說明它的意義。 考慮下面這個函數： 這里除x1外，計算任何其它地方的函數值都是沒有困難的。例如當 但是若問

3、x1時函數值f（1）？我們就會發現，這時（A18）式的 說是沒有意義的。所以表達式（A18）沒有直接給出f（1），但給出了x無論如何接近1時的函數值來。下表列出了當x的值從小于1和大于1兩方面趨于1時f（x）值的變化情況： 表A-1 x與f（x）的變化值 x 3x2-x-2 x-1 0.9 -0.47 -0.1 4.7 0.99 -0.0497 -0.01 4.97 0.999 -0.004997 -0.001 4.997 0.9999 -0.0004997 -0.0001 4.9997 1.1 0.53 0.1 5.3 1.01 0.503 0.01 5.03 1.001 0.005003

4、0.001 5.003 1.0001 0.00050003 0.0001 5.0003 從上表可以看出，x值無論從哪邊趨近1時，分子分母的比值都趨于一個確定的數值5，這便是x1時f（x）的極限值。 其實計算f（x）值的極限無需這樣麻煩，我們只要將（A18）式的分子作因式分解： 3x2-x-2（3x2）（x-1）， 并在x1的情況下從分子和分母中將因式（x1）消去： 即可看出，x趨于1時函數f（x）的數值趨于3×125。所以根據函數極限的定義， 求極限公式 （2 ） （3 ） （4） 等價無窮小量代換 sinxx; tanx; arctanxx; arcsinxx; 22極限的物理意義

5、 （1）瞬時速度 對于勻變速直線運動來說， 這就是我們熟悉的勻變速直線運動的速率公式（A5）。 （2）瞬時加速度 時的極限，這就是物體在tt0時刻的瞬時加速度a： （3）水渠的坡度任何排灌水渠的兩端都有一定的高度差，這樣才能使水流動。為簡單起見，我們假設水渠是直的，這時可以把x坐標軸取為逆水渠走向的方向（見圖A-5），于是各處渠底的高度h便是x的函數： h=h（x） 知道了這個函數，我們就可以計算任意兩點之間的高度差。 就愈能精確地反映出x=x0這一點的坡度。所以在x=x0這一點的坡度k應是 23函數的變化率導數 前面我們舉了三個例子，在前兩個例子中自變量都是t，第三個例子中自變量是x這三個例

6、子都表明，在我們研究變量與變量之間的函數關系時，除了它們數值上“靜態的”對應關系外，我們往往還需要有“運動”或“變化”的觀點，著眼于研究函數變化的趨勢、增減的快慢，亦即，函數的“變化率”概念。 當變量由一個數值變到另一個數值時，后者減去前者，叫做這個變量的增量。增量，通常用代表變量的字母前面加個“”來表示。例如，當自變量x的數值由x0變到x1時，其增量就是 xx1-x0 （A25） 與此對應。因變量y的數值將由y0f（x0）變到y1=f（x1），于是它的增量為 yy1-y0=f（x1）f（x0）f（x0+x）f（x0）（A26）應當指出，增量是可正可負的，負增量代表變量減少。增量比 可以叫做函

7、數在xx0到xx0+x這一區間內的平均變化率，它在x0時的極限值叫做函數yf（x）對x的導數或微商，記作y或f（x）， f（x）等其它形式。導數與增量不同，它代表函數在一點的性質，即在該點的變化率。 應當指出，函數f（x）的導數f（x）本身也是x的一個函數，因此我們可以再取它對x的導數，這叫做函數yf（x） 據此類推，我們不難定義出高階的導數來。 有了導數的概念，前面的幾個實例中的物理量就可表示為： 24導數的幾何意義 在幾何中切線的概念也是建立在極限的基礎上的。如圖A-6所示，為了確定曲線在P0點的切線，我們先在曲線上P0附近選另一點P1，并設想P1點沿著曲線向P0點靠攏。P0P1的聯線是曲

8、線的一條割線，它的方向可用這直線與橫坐標軸的夾角來描述。從圖上不難看出，P1點愈靠近P0點，角就愈接近一個確定的值0，當P1點完全和P0點重合的時候，割線P0P1變成切線P0T，的極限值0就是切線與橫軸的夾角。 在解析幾何中，我們把一條直線與橫坐標軸夾角的正切tan叫做這條直線的斜率。斜率為正時表示是銳角，從左到右直線是上坡的（見圖A-7a）；斜率為負時表示是鈍角，從左到右直線是下坡的（見圖A-7b）。現在我們來研究圖A-6中割線P0P1和切線P0T的斜率。 設P0和P1的坐標分別為（x0，y0）和（x0+x，y0+y），以割線P0P1為斜邊作一直角三角形P0P1M，它的水平邊P0M的長度為x

9、，豎直邊MP1的長度為y，因此這條割線的斜率為 如果圖A-6中的曲線代表函數y=f（x），則割線P0P1的斜率就等于函數在 線P0P1斜率的極限值，即 所以導數的幾何意義是切線的斜率。 §3導數的運算 在上節里我們只給出了導數的定義，本節將給出以下一些公式和定理，利用它們可以把常見函數的導數求出來。 31基本函數的導數公式 （1）yf（x）C（常量） （2）y=f（x） x （3）yf（x）=x2 （4）yf（x）x3 上面推導的結果可以歸納成一個普遍公式：當y=xn時， 等等。利用（A33）式我們還可以計算其它冪函數的導數（見表A-2）。 除了冪函數xn外，物理學中常見的基本函數還

10、有三角函數、對數函數和指數函數。我們只給出這些函數的導數公式（見表A-2）而不推導，讀者可以直接引用。 32有關導數運算的幾個定理 定理一 證： 定理二 表A-2基本導數公式 函數y=f(x) 導數y=f(x) c(任意常量) 0 xn(n為任意常量) nxn-1 n=1,x 1 n=2,x2 2x n=3,x3 3x2 sinx cosx cosx -sinx lnx ex ex 定理三 定理四 例題1求y=x2±a2（a為常量）的導數。 例題3求y=ax2（a為常量）的導數。 例題4求y=x2ex的導數。 例題6求ytanx的導數。 例題7求ycos（axb）（a、b為常量）的導

11、數。 解：令vaxb，yu（v）cosv，則 例題9求y=x2eax2（a為常量）的導數。 解：令uev，vax2，則 §4微分和函數的冪級數展開 41微分 自變量的微分，就是它的任意一個無限小的增量x用dx代表x的微分，則 dx=x（A38） 一個函數y=f（x）的導數f（x）乘以自變量的微分dx，叫做這個函數的微分，用dy或df（x）表示，即 dydf（x）f（x）dx， （A39） 一個整體引入的。當時它雖然表面上具有分數的形式，但在運算時并不象普通分數那樣可以拆成“分子”和“分母”兩部分。在引入微分的概念之后，我們就可把導數看成微分dy與dx之商（所謂“微商”），即一個真正的

12、分數了。把導數寫成分數形式，常常是很方便的，例如，把上節定理四（A37） 此公式從形式上看就和分數運算法則一致了，很便于記憶。 下面看微分的幾何意義。圖A-8是任一函數yf（x）的圖形，P0（x0，y0）和P1（x0+x，y0+y）是曲線上兩個鄰近的點，P0T是通過P0的切線。直角三角形P0MP1的水平邊 的交點為N，則 但tanNP0M為切線P0T的斜率，它等于x=x0處的導數f（x0），因此 所以微分dy在幾何圖形上相當于線段MN的長度，它和增量 是正比于（x）2以及x更高冪次的各項之和例如對于函數y=f（x）x3，y3x2x3x（x）2（x）3，而dy=f（x）x=3x2x當x很小時，（

13、x）2、（x）3、比x小得多， 中的線性主部。這就是說，如果函數在x=x0的地方象線性函數那樣增長，則它的增量就是dy §5.積分 5.1幾個物理中的實例 (1)變速直線運動的路程 我們都熟悉勻速直線運動的路程公式。如果物體的速率是v，則它在ta到tb一段時間間隔內走過的路程是 sv(tbta). (A.45) 對于變速直線運動來說，物體的速率v是時間的函數： vv(t)， 函數的圖形是一條曲線(見圖A-10a)，只有在勻速直線運動的特殊情況下，它才是一條直線(參見圖A-4b)。對于變速直線運動，(A.45)式已不適用。但是，我們可以把tta到ttb這段時間間隔分割成許多小段，當小段

14、足夠短時，在每小段時間內的速率都可以近似地看成是不變的。這樣一來，物體在每小段時間里走過的路程都可以按照勻速直線運動的公式來計算，然后把各小段時間里走過的路程都加起來，就得到ta到tb這段時間里走過的總路程。 設時間間隔(tbta)被tt1(=ta)、t2、t3、tn、tb分割成n小段，每小段時間間隔都是t，則在t1、t2、t3、tn各時刻速率分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)。如果我們把各小段時間的速率v看成是不變的，則按照勻速直線運動的公式，物體在這些小段時間走過的路程分等于v(t1)t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t.于是，在整個(tb-ta)這段時間里的總路

15、程是 現在我們來看看上式的幾何意義。在函數vv(t)的圖形中，通過t=t1、t2、t3、tn各點垂線的高度分別是v(t1)、v(t2)、v(t3)、v(tn)(見圖A-10b)，所以v(t1 )t、v(t2)t、v(t3)t、v(tn)t就分 這些矩形面積的總和，即圖中畫了斜線的階梯狀圖形的面積。 在上面的計算中，我們把各小段時間t里的速率v看做是不變的，實 際上在每小段時間里v多少還是有些變化的，所以上面的計算并不精確。要使計算精確，就需要把小段的數目n加大，同時所有小段的t縮短(見圖A-10c)。t愈短，在各小段里v就改變得愈少，把各小段里的運動看成勻速運動也就愈接近實際情況。所以要嚴格地

16、計算變速運動的路程s，我們就 應對(A.46)式取n、t0的極限，即 當n愈來愈大，t愈來愈小的時候，圖A-10中的階梯狀圖形的面積 就愈來愈接近v(t)曲線下面的面積(圖A-10d)。所以(A.47)式中的極限值等于(tbta)區間內v(t)曲線下的面積。 總之，在變速直線運動中，物體在任一段時間間隔(tbta)里走過的路程要用(A.47)式來計算，這個極限值的幾何意義相當于這區間內v(t)曲線下的面積。 (2)變力的功 當力與物體移動的方向一致時，在物體由位置ssa移到ssb的過程中，恒力F對它所作的功為 AF(sbsa) A.48) 如果力F是隨位置變化的，即F是s的函數：FF(s)，則

17、不能運用(A.48)式來計算力F的功了。這時，我們也需要象計算變速運動的路程那樣，把(sbsa)這段距離分割成n個長度為s的小段(見圖 A-11) 并把各小段內力F的數值近似看成是恒定的，用恒力作功的公式計算出每小段路程s上的功，然后加起來取n、s0的極限值。具體地說，設力F在各小段路程內的數值分別為F(s1)、F(s2)、F(s3)、F(sn)，則在各小段路程上力F所作的功分別為F(s1)s、F(s2)s、F(s3)s、F(sn)s.在(sbsa)整段路程上力F的總功A就 都是變化的，所以嚴格地計算，還應取n、s0的極限值，即 同上例，這極限值應是(sbsa)區間內F(s)下面的面積(見圖A

18、-12)。 5 2定積分 以上兩個例子表明，許多物理問題中需要計算象(A.47)和(A.49)式中給出的那類極限值。概括起來說，就是要解決如下的數學問題：給定一個函數f(x)，用xx1(=a)、x2、x3、xn、b把自變量x在(ba)區間內的數值分成n小段，設每小段的大小為x，求n、x0時 函數，b和a分別叫做定積分的上限和下限。 用定積分的符號來表示，(A.47)和(A.49)式可分別寫為 在變速直線運動的路程公式(A.51)里，自變量是t，被積函數是v(t)，積分的上、下限分別是tb和ta；在變力作功的公式(A.52)里，自變量是s，被積函數是F(s)，積分的上、下限分別是sb和sa. 求

19、任意函數定積分的辦法有賴于下面關于定積分的基本定理： 如果被積函數f(x)是某個函數(x)的導數，即 f(x)=(x)， 則在xa到xb區間內f(x)對x的定積分等于(x)在這區間內的增量，即 現在我們來證明上述定理。 在axb區間內任選一點xi，首先考慮(x)在x=xi到x=xi+xxi+1區間的增量(xi)=(xi+1)-(xi)： 但按照定理的前提，(x)=f(x)，故 (xi)(xi)x=f(xi)x. 式中表示“近似等于”，若取x0的極限，上式就是嚴格的等式。 把axb區間分成n1小段，每段長x.上式適用于每小段。根據積分的定義和上式，我們有 因x1a，xnb，于是得(A.53)式，

20、至此定理證訖。 下面看看函數(x)在f-x圖(見圖A-13)中所表現的幾何意義。如前所述，(xi)=(xi+1)-(xi)=f(xi)x，正是寬為x、高為 積。它和曲線段PiPi+1下面的梯形xixi+1Pi+1Pi的面積只是相差一小三角形PiNPi1的面積。當x0時，可認為(xi)就是梯形xixi+1Pi+1Pi的面積。 既然當x由xi變到xi+1時，(x)的增量的幾何意義是相應區間f-x曲線下的面積，則(x)本身的幾何意義就是從原點O到x區間f-x曲線下面的面積加上一個常量C(0).例如(xi)的幾何意義是圖形OxiPiP0的面積加C，(xi1)的幾何意義是圖形Oxi+1Pi+1P0的面積

21、加C，等等。這樣，(xi)=(xi+1)-(xi)就是： (Oxi+1Pi+1P0的面積+C) -(OxiPiP0的面積+C) =xixi+1Pi+1Pi的面積， 而(b)-(a)的幾何意義是： (ObPbP0的面積+C) (OaPaP0的面積+C) abPbPa的面積。 5.3不定積分及其運算 在證明了上述定積分的基本定理之后，我們就可以著手解決積分的運算問題了。根據上述定理，只要我們求得函數(x)的表達式，利用(A.53)式立即可以算出定積分 去求(x)的表達式呢？上述定理告訴我們，(x)=f(x)，所以這就相當于問f(x)是什么函數的導數。由此可見，積分運算是求導的逆運算。如果f(x)是

22、(x)的導數，我們可以稱(x)是f(x)的逆導數或原函數。求f(x)的定積分就可以歸結為求它的逆導數或原函數。 在上節里我們講了一些求導數的公式和定理，常見的函數我們都可以按照一定的法則把它們的導數求出來。然而求逆導數的問題卻不像求導數那樣容易，而需要靠判斷和試探。例如，我們知道了(x)x3的導數(x)3x2，也就知道了F(x)3x2的逆導數是(x)x3.這時，如果要問函數f(x)x2的逆導數是什么，那么我們就不難想到，它的逆導數應該是x3/3.這里要指出一點，即對于一個給定的函數f(x)來說，它的逆導數并不是唯一的。1(x)x3/3是f(x)x2的逆導數，2(x)x3/31和3(x)=x3/

23、35也都是它的逆導數，因為1(x)、2(x)、3(x)都等于x2.一般說來，在函數f(x)的某個逆導數(x)上加一任意常量C，仍舊是f(x)的逆導數。通常把一個函數f(x)的逆導數的通式(x)C叫做它的不定積分，并記作f(x)dx，于是 因在不定積分中包含任意常量，它代表的不是個別函數，而是一組函數。 表A-4基本不定積分公式函f(x(-1) n=1時，x1=x n=2時，x2 n=3時，x3 sinx -cosx+C cosx sinx+C ln|x|+C ex ex+C 上面所給的例子太簡單了，我們一眼就能猜到逆導數是什么。在一般的情況下求逆導數，首先要求我們對各種函數的導數掌握得很熟練，才能確定選用那一種形式的函數去試探。此外，掌握表A-4中給出的基本不定積分公式和其后的幾個有關積分運算的定理，也是很重要的。(表中的公式可以通過求導運算倒過來驗證，望讀者自己去完成) 下面是幾個有關積分運算的定理。 定理一 如果f(x)au(x)(a是常量)，則 定理二 如果f(x)=u(x)±v(x)，則 這兩個