1、高一必修 4 三角函數和向量大題訓練（曉出）一、三角函數的化簡和求值問題：學習要求： 這是基本功， 也是高考的第一大道題目，務必要拿分；公式要默寫記憶，特殊是“奇變偶不變，符號看象限”；解題方法要把握“高次降低次（用二陪角公式）、不同名化同名” （和差公式的逆向使用、構造法求值、平方法求值） 、解方程思想（知一求二）；指定范疇和不指定范疇求值問題；1此題 12 分 f x2 sinxcos xcos2 xsin 2x ，求 1f x 最小正周期；2 f x 最大值以及相應的x 值；1解答：（ 1） t=；（ 2） x=k+時， fx| max=2 .282（本小題滿分12 分）已知函數f x2

2、 sinx23 sin x cos x1. 求：（ 1）f x 的最小正周期； （ 2）f x的單調遞增區間； （ 3）f x 在 0, 上的最值 .22解：（）由于f x2 sin 2 x23 sinx cos x11cos 2 x23 sinxcos x13 sin 2 xcos 2 x22 sin 2 x2,6所以 f x的最小正周期t2.2（）由于f x2 sin 2 x2,6所以由 2k2得 kxk 62 x2 k6kz3kz ,2所以 f x 的單調增區間是k, k k635z .（）由于 0x,所以2 x.2666所以12sin 2 x1.6所以 f x2 sin 2 x21,4

3、 .6即 f x的最小值為1，最大值為4.（2021 年） 3（本小題滿分14 分）設函數fx3sinx，0 ， x6,，且以為最小正周期2（ 1）求 f0；（2）求 fx 的解析式；（ 3）已知f39 ，求 sin的值41253.解：（ 1）由已知可得：f 03 sin62（ 2）f xa的周期為，即 22a4故2f x3 sin 4x 6（ 3） f 4123 sin 441263 sin a 23cosa由已知得：3 cos a29 即 cos a3553 2444 sin a1cosa15故 sin a 的值為或5554此題 12 分 已知向量 a=cos, sin,0, 向量 b=3

4、,1(1) 當 a b 時，求；(2) 當 a b 時，求；(3) 求 2a b的最大值和最小值4解答：（1）5；（ 2）6；（ 3）最大值為4；最小值為23 1.3（2021 年） 5 本小題滿分 12分）已知向量 asin,2 與 b1,cos 相互垂直，其中0, 2（ 1）求 sin和 cos的值；（ 2）如 5 cos35 cos， 0，求 cos的值2vvv v5.【解】（ 1） q ab ,agbsin2cos0 ，即 sin2cos又 sin 2cos1 , 4cos 2cos21 ，即 cos21 ， sin 2455又0,sin25 ， cos5255（ 2） 5cos5co

5、scossinsin5 cos25 sin35 coscossin,cos2sin 21cos2，即 cos212又0, cos2226此題滿分10 分已知向量a =（ cos，sin），b =（ cos，sin），| a（）求 cos（）的值；b 25 5（）如，2，且sin 5 213，求 sin的值vv6 解：（）（5 分）q acos，sin，bvvcos，sin，abcoscos，sinsin-1分vv25q ab，5coscos2sinsin2255 -2 分即cos22cos4-1分53-1分5（）（ 5 分） 0,2230 ，0. -1 分4cos，sin.55-1分sin5

6、，cos1312 .13-1分sinsinsincoscossin412353351351365 -2分二三角函數的圖象問題：（學習要求：做到能會識圖、畫圖、關鍵是用圖來把握性質，要默出三個基本三角函數圖；把握圖象的平移（方法是只“對x”進行移或伸） ，要區分“先移動后伸縮”與“先伸縮后平移”一般挑選前者做題好點；按向量平移是難點，要作圖懂得移動方向；學會五點法作圖（有時包括邊界點不止五點），關鍵是指定范疇的作圖問題，要用整體思想；）7已知函數y= 12cos2x+3 sinx· cosx+1（ x r）,2（ 1）當函數y 取得最大值時，求自變量x 的集合；（ 2）該函數的圖像可由

7、y=sinxx r的圖像經過怎樣的平移和伸縮變換得到？7解：（ 1） y= 1 cos2x+3 sinx·cosx+1= 12cos2x 1+1 +3 （2sinx· cosx） +122444= 1 cos2x+3 sin2x+ 5 = 1cos2x· sin+sin2x· cos+ 54= 1 sin2x+2442+ 5 64664所以 y 取最大值時，只需2x+=6+2k ,（ k z），即x= 26+k ,（ k z）所以當函數y 取最大值時，自變量x 的集合為 x|x=（ 2）將函數y=sinx 依次進行如下變換：+k ,kz6（ i）把函數y

8、=sinx 的圖像向左平移，得到函數y=sinx+66的圖像；（ ii ）把得到的圖像上各點橫坐標縮短到原先的的圖像；（ iii ）把得到的圖像上各點縱坐標縮短到原先的1 倍（縱坐標不變） ，得到函數y=sin2x+261 倍（橫坐標不變），得到函數2y= 1 sin2x+26的圖像；（ iv）把得到的圖像向上平移5 個單位長度，得到函數y= 1sin2x+ 54264的圖像 綜上得到 y= 1 cos2 x+23 sinxcosx+1 的圖像 2*8 設函數fx=a ·b,其中 a=2cosx,1, b=cosx,3 sin2x, x r.（1）如 fx=13 , 且 x , 求

9、x；33（2）如函數 y=2sin2x 的圖象按向量c=m ,n| m|<平移后得到函數y= f x的圖象 ,求實數 m 、2n 的值 .8 解答 1 fx=a·b=1+2sin2x+6,由 1+2sin2x+6=13 , 得 sin2x+6=3 ，2x ,， 332x+ 5266. 2x+= 6，即 x=.342函數 y=2sin2x 的圖象按向量c=m,n 平移后得到函數y=2sin2 x m +n 的圖象 ,即函數 y= f x的圖象 .由1 得 fx= 2sin2 x+ 1, | m|<,m = ,n=1.（可以12212作圖懂得）9 設函數f xsin 2 x

10、0, yf x 圖像的一條對稱軸是直線x；8（）求；（）求函數yf x 的單調增區間；（）畫出函數yf x 在區間0, 上的圖像；9 解：（）x是函數 y 8f x 的圖像的對稱軸，sin 28k41,kz .又20,3.4（）由（）知由題意得3,因此 y 42 k2 xsin 2 x32k3.4, kz .所以函數ysin2 x2423的單調增區間為 k 4, k588, kz .（）由ysin 2 x3知43578888 1010x0y2222故函數 yf x在區間 0,上圖像是三平面對量與解析幾何綜合（學習要求：要把圖形和向量結合分析；重點是綜合求平行、垂直、長度（即模長） 、角度（角度

11、）問題；把握數形結合、解方程思想；估量顯現中等題以上；）1此題滿分 10 分已知 a1,2, b3,2 ，當 k 為何值時，kab 與a3b平行？平行時它們是同向仍是反向？1 解 :由于 kab k3,2 k2 ， a3b10,4 -2分當 kab與a3b 平行 時，就 k342k2100 -2分解得： k1-2分3此時 a3b10,4 ，kab1k3,2k12 = 133,21 32 = 10 , 4 33=10,43a3b -2分3所以 kab 與a3b 反向 -2分另解： 當 kab 與a3b 平行，存在唯獨實數，使 kaba3b即 k3,2k210,4k310得：2k24解得： k1

12、, 31，即當 k31， ka 3b與a3b 平行這時由于1，所以 ka3b 與a3b 反向2、此題滿分14 分四邊形 abcd 中， ab6,1, bc x, y, cd2,3（1）如bc /da ，試求 x 與 y 滿意的關系式；（2）滿意（ 1）的同時又有acbd ，求x, y 的值及四邊形abcd 的面積；2解： bcx, ydaad abbccd x4, y2x4,y2（1）bc / da就有 xy2yx40化簡得：x2 y02'（2）acabbcx6, y1bdbccd x2, y3又 acbd就 x6 x2 y1 y30化簡有： x2y 24x2 y1504'x2

13、y0聯立x 2y 24x2y150x6x2解得或6'y3y1bc / daacbd就四邊形 abcd 為對角線相互垂直的梯形x6當acy30,4bd8,0此時 sxabcd21acbd16 2當y此時 sac11ac8,0bdbd160,48'abcd23、已知平面上一個定點c（ 1， 0）和一條定直線l ： x 4，p 為該平面上一uuuruuuruuuruuur動點，作 pql ，垂足為 q ，（ pq2 pc）（ pq 2 pc） 0.（1）求點 p 的軌跡方程；uuur（2）求 pquuur· pc的取值范疇uuuruuuruuuruuuruuur2uuur2

14、3、解：（ 1）由（ pq2 pc）（ pq2 pc） 0， pq 4 pc 設 p（x， y），得 x42 4（x1）2 y2， 3x2 4y212.點 p 的軌跡方程為uuur22x y；43uuur（ 2）設 p（x，y）， pq（ 4x，0）， pc（ 1 x， y）uuur pquuur· pc（ 4x，0）·（ 1x， y）x25x4x25 9 24uuuruuur由 x 2，2，故有 pq · pc 2， 184 平面內有向量 oa =（1，7）， ob =（5，1）， op =（ 2，1），點 x 為直線 op上的一個動點 .（1）當 xa

15、83; xb 取最小值時，求 ox 的坐標；（2）當點 x 滿意（ 1）的條件和結論時，求cosaxb的值. 4解：（1）設 ox =（ x， y），點 x 在直線 op上，向量 ox 與op 共線.又op =（2，1）， x2y=0，即 x=2y. ox =（2y，y）. 又 xa =oa ox ， oa =（ 1， 7）， xa =（12y， 7 y） .同樣 xb =ob ox =（52y，1y）.于是 xa · xb =（12y）（ 5 2y）+（7y）（ 1y）=5y2 20y+12=5（y2）28.當 y=2 時， xa · xb 有最小值 8，此時 ox =（4，2）.（2）當 ox =（ 4， 2），即 y=2 時，有 xa =（ 3，5）， xb =（ 1， 1）.| xa |=34 ， | xb |=2 .cos axb=xaxb= 4 17 .| xa | xb |17評述：（1）中最值問題不少都轉化為函數最值問題解決，因此解題關鍵在于查找變量，以構造函數 . 而（ 2）中即為數量積定義的應用.5（本小題滿分13 分）如圖4，已知點a1,1 和單位圓上半部分上的動點b y如 oaob ，求向量 ob ；ba求 |oaob | 的最大值圖 4o