1、1第第13章章 塑性本構關系塑性本構關系周周 博博中國石油大學中國石油大學(華東華東) 儲運與建筑工程學院儲運與建筑工程學院213.1 屈服條件 屈服函數屈服函數：屈服條件的解析表示，即：屈服條件的解析表示，即()0ijf在幾何上是在幾何上是應力空間應力空間內的一個曲面，稱為內的一個曲面，稱為屈服曲面屈服曲面。對于各向同性材料，坐標軸的轉動不影響材料的屈服特性，因此可以對于各向同性材料，坐標軸的轉動不影響材料的屈服特性，因此可以取三個應力主軸為坐標軸取三個應力主軸為坐標軸(主應力空間主應力空間)，屈服函數表示為：，屈服函數表示為：123(,)0f 應力可以分解為球應力和偏應力，一般而言球應力不

2、影響材料的屈服，應力可以分解為球應力和偏應力，一般而言球應力不影響材料的屈服，材料的屈服只和偏應力有關。材料的屈服只和偏應力有關。屈服條件屈服條件：在復雜應力狀態下，材料初始彈性狀態的界限。：在復雜應力狀態下，材料初始彈性狀態的界限。3(,)mmmN123(,)mmmQ123(,)P 屈服點該線上所有點為屈服點312PONQ平面n3()3nijk 屈服面在屈服面在平面上的投影為一條封閉曲線，稱為平面上的投影為一條封閉曲線，稱為屈服曲線屈服曲線。 屈服面為以屈服面為以ON為軸線，以屈服曲線為截面形狀的、與坐標軸成等為軸線，以屈服曲線為截面形狀的、與坐標軸成等 傾角的柱體表面。傾角的柱體表面。 通

3、常在在通常在在平面研究屈服曲線的特性。平面研究屈服曲線的特性。4將主應力空間將主應力空間向向平面投影平面投影312PONQ平面n/111/222/1332sin( , )32sin( , )32sin( , )3n in jn k/1/2/3QxyOr120o120o/123123(,)(,)PQ ( , )Q x y/0/01313/0/02132132cos30cos30()26sin30sin30(2)6xy522221321322213213132221223231213222122313211()(2)26112 ()(2)()666112 ()()()()()6662 ()()()

4、 6 2rxyJ2131321tan3yx2131323tanLode應力參數：應力參數：0011, 3030 123在極坐標系下在極坐標系下6 屈服曲線的特點 屈服曲線是一條封閉曲線，且該曲線包圍坐標原點；屈服曲線是一條封閉曲線，且該曲線包圍坐標原點； 屈服曲線與任一從坐標原點出發的向徑相交且僅相交一次；屈服曲線與任一從坐標原點出發的向徑相交且僅相交一次； 屈服曲線對三個坐標軸的正負方向均為對稱；屈服曲線對三個坐標軸的正負方向均為對稱； 屈服曲線對坐標原點為外凸曲線，屈服面為外凸曲面。屈服曲線對坐標原點為外凸曲線，屈服面為外凸曲面。 典型應力狀態在平面上的極坐標平面上的極坐標1230,021

5、,303r 純拉伸純拉伸12300,21,303r 純壓縮純壓縮1230.0,0,2 ,0r 純剪切純剪切/1/2/3QxyOr120o120o7 常用屈服條件常用屈服條件 最大剪應力條件最大剪應力條件(Tresca屈服條件屈服條件)/1/2/313max2k132()22xk00123, 3030123max2s單向拉伸時，屈服時最大剪應力屈服條件為：13s8 畸變能條件畸變能條件(Mises屈服條件屈服條件)02222/12233111 ()()() 6dvUJEvkE/22rJk/1/2/320126dsvUE單向拉伸時，屈服時最大畸變能2221223311()()() 2s屈服條件為：

6、22212233113()()() 22eijijs s等效應力：913.2 塑性增量理論 本構特性本構特性：彈性階段，應力偏量分量與應變偏量分量之比為常數。：彈性階段，應力偏量分量與應變偏量分量之比為常數。1ijijkkijvvEE 1 2kkkkvE111133ijkkijijkkijkkijvvvesEEE 1111 233ijkkijijkkijvvesEE 1ijijvesE2(1)Ev3kkkkK12ijijes2(1 2 )EKv10金屬性質金屬性質：球應力只產生體積彈性改變，偏應力可產生塑性應變，：球應力只產生體積彈性改變，偏應力可產生塑性應變， 塑性應變不引起體積變化塑性應變

7、不引起體積變化 。epepijijijijijdedededed增量假設增量假設：塑性應變分量的微小增量與偏應力分量比值為常數。：塑性應變分量的微小增量與偏應力分量比值為常數。pijijdd s非負比例系數非負比例系數塑性增量理論塑性增量理論12ijijijdedsd s0pkkd13ppppijijkkijijddedde 普朗特普朗特- -雷斯方程雷斯方程11pijijdd s2()ppijijijijddds s32eijijs s23pppeijijddd32peedd1322peijijijeddedss等效應力等效應力等效塑性應變增量等效塑性應變增量32ppeijijedds普朗特

8、普朗特- -雷斯方程雷斯方程1232eijijedds1ijijkkijvvEE 312231 ()233 23 2ijijkkijijkkijijeijeEEEsEds 0.51eevdE忽略彈性變形忽略彈性變形32ppeijijedds23ppeijijddd等效應變增量等效應變增量塑性變形特點塑性變形特點：不可壓縮性、非線性、對加載路徑依賴性。：不可壓縮性、非線性、對加載路徑依賴性。1313.3 塑性全量理論比例加載比例加載：在加載過程中，各個應力分量都按相同比例增長。在加載過程中，各個應力分量都按相同比例增長。000, , ijijijijeeksksk32ppeijijedds003

9、2ppeijijedds0000323 23 2ijppijeeijpeeijpeesddksdksd32ppeijijes亨基亨基-依留申方程依留申方程:全量理論適用條件全量理論適用條件( (簡單加載定理簡單加載定理) )：12v meeA比例加載比例加載1413.4 塑性勢的概念pijijdd s0pijijVdd021111()()2233ijijijkkijijkkijVJs s 011111 ()()() ()23333111 ()()2331 ()3 ijkkijijkkijijkkijijkkijijkkijijijkkijijijkkijijijijdVddddds d 0ij

10、ijVs 塑塑 性性 勢勢塑性勢函數Mises屈服函數15pijijfdd 流動法則的正交性流動法則的正交性屈服函數是塑性勢函數屈服函數是塑性勢函數0Vf123123:pppfffddd123fffgradfijk為屈服面上過點為屈服面上過點(1, 2, 3)的法線方向矢量的法線方向矢量和屈服曲面外法線方向和屈服曲面外法線方向 一致一致pijijdnijijfn1613.5 材料特性的假設 德魯克公設德魯克公設(穩定性假說穩定性假說)0ijijdd*()0ijijijd 在加載過程中，應力增量所做的功恒為正：在加載過程中，應力增量所做的功恒為正： 在加載與卸載的整個應力循環中，應力增量所完成凈

11、功恒為非負。在加載與卸載的整個應力循環中，應力增量所完成凈功恒為非負。epijijijddd*()0eijijijd*()0pijijijd穩定(應變強化)不穩定不穩定17ij*ijABC初始屈服面繼生屈服面*()0pijijijd*()()()()0()0()pijijijpppijijijijijijijijijABBCCApijijijBCpijijijBCdddddd*()0pijijijBCd0BC *()0pijijijd0pijijdd局部最大原理局部最大原理(德魯克不等式德魯克不等式)18 屈服曲面的外凸性屈服曲面的外凸性ijdpijdij*ij*()ijijij*ij*()i

12、jijpijd0cos022pijijpijijdddd*()0cos022pijijijpijijijdd在在m維空間中，一個圖形外凸的充維空間中，一個圖形外凸的充要條件：對于該圖形的任意邊界點，要條件：對于該圖形的任意邊界點，總存在一個通過此點的總存在一個通過此點的(m-1)維超維超平面，使該圖形完全位于這個超平平面，使該圖形完全位于這個超平面的一側。面的一側。19 伊留申公設：伊留申公設：彈塑性材料的物質微元體在應變空間中任一彈塑性材料的物質微元體在應變空間中任一 應變循環中所完成的功為非負。應變循環中所完成的功為非負。0ijijd12345應力循環完成的功總是小應力循環完成的功總是小于應變循環所完成的功于應變循環所完成的功20 德魯克公設是在應力空間討論問題，而依留申公設是在應變空間德魯克公設是在應力空間討論問題，而依留申公設是在應變空間 討論問題；討論問題； 根據德魯克公設可以導出應力空間屈服面的外凸性，根據依留申根據德魯克公設可以導出應力空間屈服面的外凸性，根據依留申 公設可以導出應變空間屈服面的外凸性；公設可以導出應變空間屈服面的外凸性； 德魯克