1、平面與圓錐面的截線一、教學目標：1. 學問與內容：（ 1）通過觀看平面截圓錐面的情境，體會定理2（ 2）利用 dandelin 雙球證明定理 2 中情形（ 1）（ 3）通過探究，得出橢圓的準線和離心率，加深對橢圓結構的懂得2. 過程與方法：利用現代運算機技術，動態地呈現dandelin 兩球的方法，幫忙同學利用幾何直觀進行思維， 培育同學的幾何直觀才能， 重視直覺的培育和訓練， 直覺用于發覺，規律用于證明；3. 情感態度價值觀：通過親歷發覺的過程， 提高對圖形熟悉才能， 重視合情推理和演繹推理的啟示、應用和培育，讓同學辯證地觀看、分析問題；二、教學重點難點重點：（ 1）定理 2 的證明（ 2）

2、橢圓準線和離心率的探究難點：橢圓準線和離心率的探究三、教學過程橢圓是生活中常見的圖形，是圓錐曲線中重要的一種；生成橢圓的方法有很多，例如：（1）圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1；（2）橢圓的定義（3）平面內到定點和定直線的距離之比等于常數0<e<1 的點的軌跡（4）一動點到兩個定點連線的斜率之積是一個負常數生成軌跡是橢圓；（5）圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖2ypdox圖 1假如用一平面去截一個正圓錐，所得截口曲線是橢圓嗎？仍有其他情形嗎？讓我們共同來探究平面與圓錐面的截線；a摸索：如圖 39 1 , ad 是等腰三角形abc底邊上的高 ,bad.直線 l 與ad 相交

3、于點p,且與 ad的夾角l為0.摸索究2:當與滿意什么關系.1 l 與ab或ab的延長線、ac都相交 ;p2 l與ab不相交 ;3 l與ba的延長線、ac 都相交bc d利用幾何畫板試驗探究.圖391g如圖 39 2 , 可以有如下結論 :a1 當l 與ab或ab的延長線、ac都相交時 ,設l 與 ab 或ab的延長線交于e ,與 ac 交于 f .l由于是aep 的外角, 所以必定有;f反之 ,當時, l與ab或ab的延長線、ac都相交 .ep2 當l與ab不相交時 ,就l / / ab, 這時有;反之,當時,l/ / ab,那么l與ab不相交 .bcd3 當l 與ba的延長線、ac都相交時

4、 ,設 l 與 ba的延長線交于 g,39 2由于是apg的外角, 所以; 假如, 那么 l與 ba的延長線、ac都相交摸索：將圖 39中的等腰三角形拓廣為圓錐, 直線拓廣為平面,就得到圖310.假如用一平面去截一個正圓錐，而且這個平面不通過圓錐的頂點，會顯現哪些情形呢？假如平面與一條母線平行相當于圖39 2 中的, 那么（1）平面就只與正圓錐的一半相交,這時的交線是一條拋物線;假如平面不與母線平行, 那么會顯現兩種情形 :（2）平面只與圓錐的一半相交, 這時的交線為橢圓 ;（3）平面與圓錐的兩部分都相交,這時的交線叫做雙曲線.歸納提升：定理在空間中，取直線l 為軸，直線l ' 與 l

5、 相交于 o 點，其夾角為 ， l ' 環繞 l 旋轉得到以 o 為頂點， l ' 為母線的圓錐面，任取平面 ，如它與軸 l 交角為 （ 與 l 平行，記住 0），就：（ 1） ，平面 與圓錐的交線為橢圓；（ 2） ，平面 與圓錐的交線為拋物線；（ 3） ，平面 與圓錐的交線為雙曲線；摸索 : 你能仿照定理1的證明方法證明定理2 的結論1 嗎 .問題： 利用 dandelin 雙球（這兩個球位于圓錐的內部，一個位于平面 的上方， 一個位于平面的下方，并且與平面 及圓錐均相切）證明： ，平面 與圓錐的交線為橢圓 .爭論： 點 a 到點 f 的距離與點 a 到直線 m 的距離比小于

6、 1） .證明 1：利用橢圓第肯定義，證明fa+ae=ba+ac= 定值，詳見課本 .證明 2：上面一個 dandelin 球與圓錐面的交線為一個圓， 并與圓錐的底面平行， 記這個圓所在平面為/；假如平面 與平面 /的交線為 m，在圖中橢圓上任取一點a，該 dandelin球與平面 的切點為 f，就點 a 到點 f 的距離與點 a 到直線 m 的距離比是（小于 1）.（稱點 f 為這個橢圓的焦點，直線m 為橢圓的準線，常數為離心率 e.）點評：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情形，以離心率的范疇為準.探究 : 如圖 312 ,1 找出橢圓的準線;2 探討 p到焦點f1 的距離與到兩平面交線m

7、的距離之比 .msq1abf1p圖312如圖 312,上面一個 dandelin 球與圓錐的交線為圓s, 記圓s，所在的平面為.設與的交線為 m.在橢圓上任取一點 p,連接pf1.在中過p作m的垂線 ,垂足為a.過p作的垂線 , 垂足為b, 連接ab, 就ab是pa在平面上的射影 .簡單證明 , mab.故pab是平面與平面交成的二面角的平面角 .在rtabp中,apb, 所以pbpa cos.1設過p的母線與圓s交于點q1 ,就在rtpq1b 中 ,q1pb, 所以pbpq1 cos.2由 12得 pf1cos.由于0,故 coscos, 就 pf1cos1.pacos2pacos由上所述可

8、知, 橢圓的準線為m, 橢圓上任一點到焦點的距離與到準線的距離之比為常數 cos,因此橢圓的離心率為ecos,coscos即橢圓的離心率等于截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比.爭論：我們延用爭論橢圓結構特點的思路,爭論一下雙曲線的結構特點.q1f1s1os2q2f2p圖313如圖 313,當時, 平面與圓錐的兩部分相交在. 圓錐的兩部分分別嵌入dandelin球,與平面的兩個切點分別是f1、f2 , 與圓錐兩部分截得的圓分別為s1、s2 .在截口上任取一點p,連接pf1、pf2 .過p和圓錐的頂點o作母線 ,分別與兩個球切于q1、q2 ,就pf1pq1 , pf2pq2

9、 .所以 | pf1pf2| | pq1pq2 |q1q 2 .由于q1q 2為兩圓 s1、s2所在平行平面之間的母線段長,因此q1q 2的長為定值 .由上所述可知, 雙曲線的結構特點是:雙曲上任意一點到兩個定點即雙曲線的兩個焦點的距離之差的肯定值為常數.拓展： 1. 請證明定理 2 中的結論（ 2）2. 探究雙曲線的準線和離心率3. 探究定理中（ 3）的證明，體會當 無限接近 時平面 的極限結果四、自我檢測練習1.平面截球面和圓柱面所產生的截線外形是.分析：聯想立體幾何及上節所學，可得結論， 要留意平面截圓柱面所得的截線的不憐憫形 .答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓

10、或橢圓；2.判定橢圓、雙曲線、拋物線內一點到焦點距離與到準線距離之比與1 的關系？分析：第一通過畫圖查找規律，然后加以證明.答案：略.五、課外爭論材料材料 1. 閱讀，和你的同學一起探討文后的問題：運動的天體受向心力和離心力的作用，天體運行的速度不同，它所獲得的合 力也不同， 這樣就導致形成不同的運行軌道，如人造衛星發射的速度等于或大于 7.9km/s（第一宇宙速度即環繞速度）時，它就在空中沿圓或橢圓軌道運行；當 發射的速度等于或大于11.2 km/s（其次宇宙速度即脫離速度）時，物體可以掙脫地球引力的束縛， 成為繞太陽運動的人造行星或飛到其它行星上去；當速度等于或大于 16.7 km/s（第

11、三宇宙速度即逃逸速度）時，物體將擺脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去；例如：人造衛星、行星、慧星等由于運動的 速度的不同，它們的軌道是圓、橢圓、拋物線或雙曲線；（1）從天體運行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統一，莫非在冥冥宇宙中， 有什么奇妙的力氣，使天體運行也遵循著一種統一的規律嗎？（2）邀請你們的物理老師、地理老師，請他們上一節天體運行課，更深化的懂得圓錐曲線材料 2.圓錐截線，是一個平面截正圓錐面而得到的曲線設圓錐軸截面母線與軸的夾角為 ，截面和圓錐的軸的夾角為當截面不過頂點時，（1）當時，即截面和一條母線平行時，交線是拋物線；（2）當 時，即截面不和母線平行，且只和圓錐面的一葉相交時，2交線是橢圓特殊地，當，即截面和圓錐面的軸垂直時，交線是圓2（3）當 0 時，即截面不與母線平行，且和圓錐面的兩葉都相交時，交線是雙曲線當截面過頂點時，（1）當時，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線（2）當時，截面和圓錐面只相交于頂點，交線退化為一個點2（3）當 0時，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交直線前一類情形中，拋物線、橢圓（包含圓）