1、2020屆吉林省吉林市高三第三次調研測試（4月） 數學（理）試題一、單選題1已知集合，則（ ）abcd【答案】b【解析】求出集合，利用集合的基本運算即可得到結論.【詳解】由，得，則集合，所以，.故選：b.【點睛】本題主要考查集合的基本運算，利用函數的性質求出集合是解決本題的關鍵，屬于基礎題.2已知復數滿足，則=（ ）abcd【答案】b【解析】利用復數的代數運算法則化簡即可得到結論.【詳解】由，得，所以，.故選：b.【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的基本概念，屬于基礎題.3已知向量，則向量在向量方向上的投影為（ ）abcd【答案】a【解析】投影即為，利用數量積運算即可得到結論.【

2、詳解】設向量與向量的夾角為，由題意，得，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：a.【點睛】本題主要考察了向量的數量積運算，難度不大，屬于基礎題.4已知為兩條不重合直線，為兩個不重合平面，下列條件中，的充分條件是（ ）abcd【答案】d【解析】根據面面垂直的判定定理，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于a，當，時，則平面與平面可能相交，故不能作為的充分條件，故a錯誤；對于b，當，時，則，故不能作為的充分條件，故b錯誤；對于c，當，時，則平面與平面相交，故不能作為的充分條件，故c錯誤；對于d，當，則一定能得到，故d正確.故選：d.【點睛】本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎題.5一

3、個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）abcd【答案】a【解析】根據題意，可得幾何體，利用體積計算即可.【詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：a.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題6函數的對稱軸不可能為（ ）abcd【答案】d【解析】由條件利用余弦函數的圖象的對稱性，得出結論【詳解】對于函數，令，解得，當時，函數的對稱軸為，.故選：d.【點睛】本題主要考查余弦函數的圖象的對稱性，屬于基礎題7已知為定義在上的奇函數，且滿足當時，則（ ）abcd【答案】c【解析】由題設條件，可得函數的周期是，再結合函數是奇函數的性質將轉化為函數值，即可得到結論

4、.【詳解】由題意，則函數的周期是，所以，又函數為上的奇函數，且當時，所以，.故選：c.【點睛】本題考查函數的周期性，由題設得函數的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.8已知數列為等比數列，若，且，則（ ）ab或cd【答案】a【解析】根據等比數列的性質可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數列為等比數列，則，又，即，所以，.故選：a.【點睛】本題考查了等比數列的性質，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎題.9橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（ ）abcd【答案】c【解析】根據橢圓的定義可得，再利用余弦定理即可得到結論.【詳解】由題意，又，則，由余弦定理可得.故.故選：c.【點睛】本題考查橢圓的

5、定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎題.10已知，則的大小關系是（ ）abcd【答案】b【解析】利用函數與函數互為反函數，可得，再利用對數運算性質比較a,c進而可得結論.【詳解】依題意，函數與函數關于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：b.【點睛】本題主要考查對數、指數的大小比較，屬于基礎題.11趙爽是我國古代數學家、天文學家，大約公元222年，趙爽為周髀算經一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的，如圖（1），類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖（2）所示的圖形，它是由個全等的三角形與中間的一個小正六邊

6、形組成的一個大正六邊形，設，若在大正六邊形中隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率為（ ）abcd【答案】d【解析】設，則，小正六邊形的邊長為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長為，再利用面積之比可得結論.【詳解】由題意，設，則，即小正六邊形的邊長為，所以，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點取自小正六邊形的概率.故選：d.【點睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題12已知分別為雙曲線的左、右焦點，點是其一條漸近線上一點，且以為直徑的圓經過點，若的面積為，則雙曲線的離心率為

7、（ ）abcd【答案】b【解析】根據題意，設點在第一象限，求出此坐標，再利用三角形的面積即可得到結論.【詳解】由題意，設點在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為，所以，又以為直徑的圓經過點，則，即，解得，所以，即，即，所以，雙曲線的離心率為.故選：b.【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關鍵在于求出與的關系，屬于基礎題.二、填空題13在的展開式中，項的系數是_（用數字作答）【答案】 【解析】的展開式的通項為：.令，得.答案為：-40.點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據條件寫出第r1項，再由特定項的特點求出r值即可.(2)已知展開式的某項，求特

8、定項的系數.可由某項得出參數項，再由通項寫出第r1項，由特定項得出r值，最后求出其參數.14已知兩圓相交于兩點,，若兩圓圓心都在直線上，則的值是_ .【答案】【解析】根據題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上，列出方程解得即可得到結論.【詳解】由,，設的中點為，根據題意，可得,且，解得，,，故.故答案為：.【點睛】本題考查相交弦的性質，解題的關鍵在于利用相交弦的性質，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎題.15若點在直線上，則的值等于_ .【答案】【解析】根據題意可得，再由，即可得到結論.【詳解】由題意，得，又，解得，當時，則，此時；當時，則，此時，綜上，

9、.故答案為：.【點睛】本題考查誘導公式和同角的三角函數的關系，考查計算能力，屬于基礎題.16已知數列的前項和且，設，則的值等于_ .【答案】7【解析】根據題意，當時，可得，進而得數列為等比數列，再計算可得，進而可得結論.【詳解】由題意，當時，又，解得，當時，由，所以，即，故數列是以為首項，為公比的等比數列，故，又，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數列遞推關系、函數求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題17在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的大小；（2）若，為外一點，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根據正弦定理化簡等式可得，

10、即；（2）根據題意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四邊形，進而可得最值.【詳解】（1），由正弦定理得： 在中，則，即，即.（2）在中，又，則為等邊三角形，又，-當時，四邊形的面積取最大值，最大值為.【點睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應用，屬于基礎題18在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數學教師為了調查高三學生數學成績與線上學習時間之間的相關關系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤問卷，其中每周線上學習數學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數學平均成績不足120分的占，統計成績后得到如下列

11、聯表：分數不少于120分分數不足120分合計線上學習時間不少于5小時419線上學習時間不足5小時合計45（1）請完成上面列聯表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”；（2）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數不少于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數是，求的分布列（概率用組合數算式表示）；若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數學成績不少于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.

12、0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）【答案】（1）填表見解析；有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”（2）詳見解析期望；方差【解析】（1）完成列聯表，代入數據即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進而得到概率，列出分布列；根據分析知，計算出期望與方差.【詳解】（1）分數不少于120分分數不足120分合計線上學習時間不少于5小時15419線上學習時間不足5小時101626合計252045有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”.（2）由分層抽樣知，需要從不足120分的學生中抽取人，的可能取值

13、為0，1，2，3，4，所以，的分布列：從全校不少于120分的學生中隨機抽取1人，此人每周上線時間不少于5小時的概率為，設從全校不少于120分的學生中隨機抽取20人，這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數為，則，故，.【點睛】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差的計算問題，屬于基礎題.19如圖所示，在四棱錐中，點分別為的中點.（1）證明：面；（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據題意，連接交于，連接，利用三角形全等得，進而可得結論；（2）建立空間直角坐標系，利用向量求得平面的法向量，進而可得二面角的余弦值.【詳解】（1）

14、證明：連接交于，連接，且，面面，面，（2）取中點，連，.由，面面面，又由，以分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，為面的一個法向量，設面的法向量為，依題意，即，令，解得，所以，平面的法向量，又因二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意中位線和向量法的合理運用，屬于基礎題.20已知傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.（1）求拋物線的方程；（2）設為拋物線上任意一點（異于頂點），過做傾斜角互補的兩條直線、，交拋物線于另兩點、，記拋物線在點的切線的傾斜角為，直線的傾斜角為，求證：與互補.【答案

15、】（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據題意，設直線方程為，聯立方程，根據拋物線的定義即可得到結論；（2）根據題意，設的方程為，聯立方程得，同理可得，進而得到，再利用點差法得直線的斜率，利用切線與導數的關系得直線的斜率，進而可得與互補.【詳解】（1）由題意設直線的方程為，令、，聯立，得，根據拋物線的定義得，又，故所求拋物線方程為.（2）依題意，設，設的方程為，與聯立消去得，同理，直線的斜率=切線的斜率，由，即與互補.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系的綜合應用，直線斜率的應用，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題21已知函數（1）若，試討論的單調性；（2）若，實數為方程的兩不等實根，求

16、證：.【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據題意得，分與討論即可得到函數的單調性；（2）根據題意構造函數，得，參變分離得，分析不等式，即轉化為，設，再構造函數，利用導數得單調性，進而得證.【詳解】（1）依題意，當時，當時，恒成立，此時在定義域上單調遞增；當時，若，；若，；故此時的單調遞增區間為，單調遞減區間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設），即證，令，設，則，在單調遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當時，時，故在上單調遞增，在上單調遞減，不妨設，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則=，（也可代入后再求導）在上單調

17、遞減，故對于時，總有.由此得【點睛】本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，屬于難題.22在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線交曲線分別于，求面積的最小值，并求此時四邊形的面積.【答案】（1）；（2）面積的最小值為；四邊形的面積為【解析】（1）將曲線消去參數即可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標方程即可；（2）由（1）得曲線的極坐標方程，設，利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根據題意知，進而可得四邊形的面積.【詳解】（1）由曲線的參數方程為（為參數）消去參數得曲線的極坐標方程為，即，所以，曲線的直角坐標方程.（2）依題意得的極坐標方程為設，則，故，當且僅當（即）時取“=”，故，即面積的最小值為.此時，故所求四邊形的面積為.【點睛】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題23已知均