1、基本不等式 題一、選擇題1若a，br，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是()aa2b2>2ab bab2 c.> d.22若a1，則a的最小值是()a0 b2 c. d33若x0，f(x)3x的最小值為()a12 b12 c6 d64函數yx(0x2)的最大值是()a. b. c1 d25某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元，為使平均到每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品()a60件 b80件 c100件 d120件6點(x，y)在直線x3y20上移動時，z3x27y3的

2、最小值為()a. b32 c6 d97某工廠第一年產量為a，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則()ax bx cx dx8已知正數a，b滿足4ab30，使得取最小值的實數對(a，b)是()a(5，10) b(6，6) c(10，5) d(7，2)9不等式9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為()a2 b4 c6 d810已知x>0，y>0，且xy8，則(1x)(1y)的最大值為()a16 b25 c9 d3611若x，y是正數，則的最小值是()a2 b. c4 d.12給出下列語句：若a，b為正實數，ab，則a3b3a2bab2；若a，b，

3、m為正實數，ab，則；若，則ab；當x時，sin x的最小值為2，其中結論正確的個數為()a0 b1 c2 d3二、填空題13已知x>0，y>0，lg xlg y1，則z的最小值為_14函數f(x)lg x(0x1)的最大值是_，當且僅當x_時取等號15若對任意x0，a恒成立，則a的取值范圍是_16已知ab0，則a2取最小值時b的值為_三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)(1)已知x0，求y2x的最大值；(2)已知x2，求yx的最小值；(3)已知0x，求yx(12x)的最大值18(本小題滿分12分)過點p(2，1)的直

4、線l分別交x軸，y軸的正半軸于a，b兩點，求aob的面積s的最小值19.(本小題滿分12分)設x，y滿足約束條件，若目標函數zaxby(a0，b0)的最大值為8.(1)求的最小值；(2)求a216b24ab的最小值20.(本小題滿分12分)是否存在常數c，使得不等式c對任意正實數x，y恒成立？證明你的結論參考答案與解析1【解析】選d.特值法：取ab1可排除a、b、c選項2【解析】選d.因為a1，所以a10，a(a1)1213，當且僅當a1，即a2時，等號成立，故選d.3【解析】選a.因為x0，所以f(x)3x2 12，當且僅當3x，即x2時取等號4【解析】選b.因為0x2，所以011，所以yx

5、2·2，當且僅當1，即x1時，等號成立，故選b.5【解析】選b.因為生產x件產品的生產準備費用與倉儲費用之和為800·x，所以平均每件費用y20，當且僅當，即當x80件時，ymin20.6【解析】選d.因為x3y2，所以z3x33y32×3239.當且僅當x3y即x1，y時取等號7【解析】選b.a(1x)2a(1a)(1b)，從而(1x)2(1a)·(1b)，所以x.8【解析】選a.(4ab)，當且僅當即時等號成立故選a.9【解析】選b.a1a12(1)2，當且僅當xy時等號成立，所以的最小值為(1)2，于是(1)29恒成立，所以a4，故選b.10【解析

6、】選b.(1x)(1y)25，因此當且僅當1x1y即xy4時，(1x)(1y)取最大值25，故選b.11【解析】選c.1124.當且僅當xy時，式子取得最小值4.12【解析】選c.本題中作差變形后可得：a3b3a2bab2(ab)2(ab)，由于a，b為正實數，ab，所以(ab)2(ab)0，即正確；對于用賦值法很容易判斷其錯誤，如a1，b2，m1，符合條件但結論不正確；對于，利用不等式的性質，在不等式兩邊同時乘c2，不等號的方向不改變，故正確；對于，利用基本不等式成立的條件“一正，二定，三相等”的第三點不成立，取不到“”，故錯誤綜合得正確的有，兩個，從而選c.13【解析】由已知條件lg xl

7、g y1，可得xy10.則22，故2，當且僅當2y5x時取等號又xy10，即x2，y5時等號成立【答案】214【解析】因為0x1，所以lg x0，所以lg x0，f(x)lg x24.當且僅當lg x，即lg x±2時，取“”又因為lg x0，所以lg x2，此時x.【答案】415【解析】因為x0，所以x2(當且僅當x1時，等號成立)，所以，即的最大值為，故a.【答案】16【解析】因為ab0，所以0b(ab)，當且僅當bab，即b時等號成立，所以，所以a2a2232，當且僅當a2，即a4時等號成立，此時b2.【答案】217【解】(1)因為x0，所以x4，所以y2242，所以當且僅當x

8、(x0)，即x2時，ymax2.(2)因為x2，所以x20，所以yxx22224.所以當且僅當x2(x2)，即x3時，ymin4.(3)因為0x，所以12x0，所以y×2x·(12x)，所以當且僅當2x12x，即x時，ymax.18【解】設直線l的方程為y1k(x2)(顯然k存在，且k0)令y0，可得a；令x0，可得b(0，12k)因為a，b都在正半軸上，所以20且12k0，可得k0.所以saob|oa|·|ob|(12k)2k2224，當且僅當k2，即k時，saob取得最小值4.19【解】作出不等式組表示的平面區域，如圖，作直線l0：axby0，平移l0，由圖可知，當直線經過點a(1，4)時，zmaxaxbya4b8.(1)因為a0，b0，則(a4b)·(54)，當且僅當2，即a，b時取等號，所以的最小值為.(2)因為a4b8，a0，b0，所以a4b24，所以ab4.又因為a216b232，所以a216b24ab321616，當且僅當a4b4，即a4，b1時取等號，所以a216b24ab的最小值為16.20【解】當xy時，由已知不等式得c.下面