1、第五節第五節 兩個重要極限兩個重要極限一一0sinlim1xxx xy01xsin xx1 0.5 0.05 0.01 0.001 0.841470.958850.999580.999980.99999980sinlim1xxx 于是得到于是得到第一個重要極限：第一個重要極限： 顯然顯然0lim1sinxxx 00“ ”未未定定式式0 xxsin ( )lim1( )u xu x 推廣形式為：如果推廣形式為：如果 ，或或 時，時， ，則則x ( )0u x 020202sin5sin(36)2tan1 lim2 lim3 lim2sin35624 lim(5)limlimsinsin2sin(

2、2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxx （ ）； （ ）；（ ）； （ ） ； ； ( (6 6) )例例1:1:求下列極限求下列極限解解: :00sin5sin51 limlim55xxxxxx （）1 55 22sin(36)sin3(2)2 limlim22xxxxxx （ ）2sin3(2)lim33(2)xxx 1 33 02tan3 limxxx（ ）0sin2limcosxxxx 0sin12limcosxxxx2 1 12 0sin34 limsin2xxx（ ）331 122 2256(5)limsin(2)xxxx 2limsinxxx(6)(6)2(2)lim(3)s

3、in(2)xxxx 1 ( 1)1 2sinlim22xxx2 0tan2limxxx 0sin323lim3sin22xxxxxxx2(2)(3)limsin(2)xxxx 2sinlim1xxx 二二第二個重要極限第二個重要極限1lim(1)xxex 1 未未定定式式204060802.552.62.652.7xye1lim(1)xxex1(1)xyxe-100-80-60-40-202.752.82.852.92.953.05xy1lim(1)xxex1lim(1)xxex1(1)xyx10lim(1)xxxe即即1 未未定定式式有有兩兩種種形形式式11lim(1)xxeuxx在在中中，

4、令令，則則變變形形為為10lim(1)uuue011lim(1)xxex10lim(1)xxxe0 02 2都稱為都稱為第二個重要極限第二個重要極限 00 xxxu x 如如果果當當或或者者時時，那那么么 1lim 1u xu xe第二個重要極限可以推廣為以下形式第二個重要極限可以推廣為以下形式: 1sin0lim 1sinxxx 如如 sinu xx 這這里里0( )sin0 xu xx 當當時時， 1sin0lim 1sinxxxe為了計算的方便，上述推廣的結果還可以進一步推廣為：為了計算的方便，上述推廣的結果還可以進一步推廣為： lim 1av xu xe 則則 00limxxxu xu

5、 x v xa 如如果果當當或或者者時時，并并且且，32122(1)lim 1;(2)lim 1;(3)lim2xxxxxxxxxx 例例2 ： 求下列極限求下列極限解解: :（1）這里）這里 1,u xv xxx 1( )0 xu xx 當當時時， limxu x v x1limxxx1 11lim 1xxex 這里這里 2,3u xv xxx 2( )0 xu xx 當當時時， limxu x v x2lim(3)xxx2 322lim 1xxex 32(2)lim 1xxx 22(3)lim2xxxx 224lim2xxxx 24lim 12xxx 這里這里 4,22u xv xxx 4

6、lim22xxx 8 limxu x v x282lim2xxxex 課堂練習課堂練習求下列極限求下列極限22010sin5sin(1)sin7(1)lim;(2)lim;(3)limsin317xxxxxxxxxx 252013(4)lim 1;(5)lim 1;(6)lim 12xxxxxxxxx limu xv x00 ,u xxv xx 且且，則則有有 limlimu xxv xx 等價無窮小代換法則：等價無窮小代換法則：若若 為為 型未定式極限型未定式極限即即 型未定式在求極限時，可將分子分母用等價無窮小型未定式在求極限時，可將分子分母用等價無窮小00替換后再求極限。替換后再求極限。

7、三三利用等價無窮小代換計算利用等價無窮小代換計算 未定式的極限未定式的極限0 0兩個無窮小量兩個無窮小量 ， 之比的極限之比的極限 稱為稱為 型型未定式極限未定式極限 u x v x limu xv x0 0 1000ln 11limlimln 1limln 11xxxxxxxxx 例如例如01lim1xxex 可可以以證證明明0sinlim1xxx 0sinxxx當當時時，0ln(1) xxx當當時時，01 xxex當當時時，需要記住的等價無窮小量有：需要記住的等價無窮小量有：0 x 當當時時sinxxtanxxln(1) xx 1 xex 22xaxaa 0sin5(1)limsin7xx

8、x例例3 ： 求下列極限求下列極限0sin5 5 ,sin7 7xxxxx時時，05lim7xxx 57 0ln(13 )(2)limtanxxx 0ln(13 ) 3 ,tanxxxxx時時，03limxxx 3 201(3)limln(12 )xxex 201 2 ,xxex 時時，02lim2xxx 1 ln(12 )ln1( 2 )2xxx 011(4)limxxx 011 2xxx時時，02limxxx 12 039(5)limxxx 202xxaxaa時時，023limxxx 16 2033limxxx 20ln(13)(6)limxxx 220ln(13) 3xxx時時，203l

9、imxxx 0lim30 xx 課堂練習課堂練習利用等價無窮小代換求下列極限利用等價無窮小代換求下列極限22030sin5sin(3)7(1)lim;(2)lim;(3)limtan39sin2xxxxxxxxxx 22sin20011ln(14 )(4)lim;(5)limsin1xxxxxxe 第六節第六節 函數的連續性函數的連續性 許多變量的變化都是連續的。如氣溫隨著時間的變化，許多變量的變化都是連續的。如氣溫隨著時間的變化，一般地，氣溫不會在極其短暫的時間內由一般地，氣溫不會在極其短暫的時間內由2c突變到突變到20c。由由2c變到變到20c必然要經過一個時間過程，并且不是一個很必然要經

10、過一個時間過程，并且不是一個很短的過程。短的過程。 自然界中連續的現象還有很多，抽象到數學上來可以描自然界中連續的現象還有很多，抽象到數學上來可以描述為：對函數述為：對函數 ，當自變量，當自變量 的改變量非常微小時，相的改變量非常微小時，相應函數值的改變量也非常微小，且隨著自變量的改變量趨于應函數值的改變量也非常微小，且隨著自變量的改變量趨于零，函數值的改變量也趨于零。零，函數值的改變量也趨于零。( )yf x x( )yf x 從幾何上講，函數從幾何上講，函數 在點在點 連續，就是曲線連續，就是曲線 在點在點 不間斷，即當橫坐標不間斷，即當橫坐標 從從 的左右兩側無限趨的左右兩側無限趨于于

11、時，縱坐標時，縱坐標 無限趨于無限趨于 處的縱坐標處的縱坐標 ，如下圖所示，如下圖所示( )yf x 0 x0 x0 xx00(,()xf x0 xy0()f x0 xxy( )yf x 00(,()xf x00()yf x 一一函數連續的概念函數連續的概念定義：定義：設函數設函數 在在 附近有定義附近有定義, ,如果當如果當 時，函時，函數數 的極限存在的極限存在, ,且等于它在點且等于它在點 處的函數值處的函數值 , ,即即)(xf)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x那末就稱函數那末就稱函數 在點在點 連續連續. .0 x fx0 x函數函數

12、 在點在點 連續必須同時成立以下三個條件：連續必須同時成立以下三個條件：0 x1在點在點 有定義，即有定義，即 存在；存在； 0fx 0limxxfx2 存在，即在存在，即在 有極限；有極限；0 x 00limxxfxfx 3極限值等于函數值，即極限值等于函數值，即 f x0 x 如果函數如果函數 在點在點 不能同時滿足以上三個條件，則不能同時滿足以上三個條件，則稱函數在點稱函數在點 間斷間斷，或稱函數在，或稱函數在 不連續不連續。0 x0 x例例1：討論函數討論函數 在在 的連續的連續性性sin xyx 0 x 解：解：因為因為函數函數 在在 沒有定義沒有定義sin xyx 0 x 所以所以

13、函數函數 在在 不連續。不連續。sin xyx 0 x 例例2:2: 討論函數討論函數 在在 處的連續性處的連續性 12,1,1xxxfxex 1x 解：解：(1)123f 1limxfx 1limxfx 1lim23xx 11lim1xxe 1lim( )xf x不不存存在在1x 故該函數在故該函數在 處不連續處不連續有定義有定義2222lim( )lim2xxxxf xx 例例3:3: 討論函數討論函數 在在 處的連續處的連續性性 222232xxxfxxx 2x 解：解：(2)3f 有定義有定義2(2)(1)lim2xxxx 2lim(1)xx3 (2)f 2x 故該函數在故該函數在 處

14、連續處連續有時還需要用到函數在某一點單側連續的概念有時還需要用到函數在某一點單側連續的概念 000)lim(xxfxffxxx 如如果果，則則稱稱在在點點處處左左連連續續 000)lim(xxfxffxxx 如如果果，則則稱稱在在點點處處右右連連續續例如：函數例如：函數 在點在點 右連續，右連續，21yx1x 1x 在點在點 左連續左連續11 21yxxy例例4:4:.0, 0, 0,cos)(,處連續處連續在在函數函數取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af 00lim( )lim(

15、 )(0),xxf xf xf要要使使,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處連續處連續在在函數函數 xxf, 1 a二二間斷點及其分類間斷點及其分類函數的不連續點稱為間斷點。函數的不連續點稱為間斷點。如如函數函數 在在 不連續，所以間斷點為不連續，所以間斷點為sin xyx 0 x 0 x 一般地，函數沒有定義的點是間斷點，極限不存在的點一般地，函數沒有定義的點是間斷點，極限不存在的點也是間斷點，極限值不等于函數值的點仍是間斷點。也是間斷點，極限值不等于函數值的點仍是間斷點。-11231234211xyx 21,11xyxx 在在無無定定義義1x 是是其其間間斷斷點點21(1)yx oxy

16、1211(1)yxx 在在無無定定義義1x 是是其其間間斷斷點點,0,( )1,0,xxf xxx 函函數數(00)0,f, 1)00( f0(00)(00),lim( )xfff x不不存存在在0.x 為為函函數數的的間間斷斷點點oxy1,1( )11,1xxf xxx 函函數數在在處處oxy1121,11,1xxyx , 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 為為函函數數的的間間斷斷點點000( ),( )xf xxf xx 設設為為函函數數的的間間斷斷點點 如如果果在在處處的的左左右右極極限限都都存存在在，則則稱稱 為為間間斷斷點點，否

17、否則則稱稱為為第第一一類類第第二二類類間間斷斷點點。三三初等函數的連續性初等函數的連續性定理：定理：000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( ).f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx 若若函函數數在在點點處處連連續續則則在在點點處處也也連連續續例如例如,2,sin ,cos(,),xxexx 在在內內連連續續2sin ,cos ,tan.xxx exx 故故在在其其定定義義域域內內連連續續 即由連續函數經過四則運算所得到的函數仍然是連續即由連續函數經過四則運算所得到的函數仍然是連續的（分母為零的點除外）。的（分母為零的點除外）。00000()

18、,(),( ),().uxxxxuyf uuuyfxxx 設設函函數數在在點點連連續續且且而而函函數數在在點點連連續續則則復復合合函函數數在在點點也也連連續續定理定理 即由兩個連續函數經過復合運算所得到的函數仍然是即由兩個連續函數經過復合運算所得到的函數仍然是連續的。連續的。例如例如,1(, 0),(0,),ux在在內內連連續續,),(sin內連續內連續在在 uy1sin(, 0),(0,).yx在在內內連連續續定理定理 基本初等函數在定義域內是連續的基本初等函數在定義域內是連續的. .定理定理 一切初等函數在其一切初等函數在其定義區間定義區間內都是連續的內都是連續的. .定義區間是指包含在定義域內的區間定義區間是指包含在定義域內的區間. . 因為初等函數是由基本初等函數經過有限次四則運算因為初等函數是由基本初等函數經過有限次四則運算以及復合運算得到的并且由一個式子表達的函數。以及復合運算得到的并且由一個式子表達的函數。 fx0 x 根據這一結論，求初等函數根據這一結論，求初等函數 在某點在某點 的極限時，的極限時，如果如果 在在 的定義區間內，則函數的定義區間內，則函數 在該點的極限值在該點的極限值等于等于 在該點的函數值在該點的函數值 0 x fx fx fx 0fx即即 初等函數求極限的方法初等