1、),()(bxaxy則有則有lsyxfd),(),()(: rrl則則syxfld),()sin)(,cos)(rrf: 設空間曲線弧的參數方程為設空間曲線弧的參數方程為)()(, )(),(:ttztytx則則szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf( )(),xycyd 則有則有lsyxfd),( )1dyy ( ( ),)dcfyy ( )xy ( )yx 一、對弧長的曲線積分的計算法一、對弧長的曲線積分的計算法小結小結 如果如果 l 的方程為的方程為,:),(baxxy則則xxxqxxpbad )(

2、,)(,( ) xlyyxqxyxpd ),(d ),(對空間光滑曲線弧對空間光滑曲線弧 :類似有類似有zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttp,:)()()(ttztytx ( ),( ),( )qttt ( ),( ),( )rtttdt如果如果 l 的方程為的方程為( ),:,xyy cd則上式則上式 ( ), ( ), ddcpyyqyyy( )y( )yx ( )xy (coscoscos )pdydzqdzdxrdxdypqrdsddd(coscoscos )dp xq yr zpqrs兩類曲面積分之間的聯系兩類曲面積分之間

3、的聯系t),(yxfz xyzo),( coscoscos),( coscoscos三、三、對面積的對面積的曲面積分曲面積分221( , )( , )xyzx yzx y dxdy , , xydf x y( , , )df x y zs),(:. 1yxzz 若曲面若曲面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：, 面上的投影面上的投影在在為為xoydxy ijd ijs ip( , )z x y;dd ),(),(1),(,22zxzxyzxyzzxyxfxzdzx szyxfd),(則則.dd ),(),(1,),(22zyzyxzyxzyzyxfyzdzy s

4、zyxfd),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則2.:( , ),yy x z若曲面 rdxdyqdxdzpdydzdsnf、2 dxdyyxzyxrzyxzyxqzyxzyxpydxxy),(,)(,(,)(,(, rdxdyqdxdzpdydz、1 dydzzyxp),( dzdxzyxq),( dxdyzyxr),( dsrqp)coscoscos( rdxdyqdxdzpdydzdsnf、3:( , )zz x y 情情形形四、四、對坐標的對坐標的曲面積分曲面積分注意注意: :對坐標的曲面積分對坐標的曲面積分, ,必須注意曲面所取的側必須注意曲面所取的側. . , , ( ,

5、)d d ,( , , )d d , , ( , )d d.xyxyddr x y z x yx yr x y zx yr x y z x yx y取上側取下側xyd),(yxfz xyzodsn計算計算:( , )zz x y 情情形形將三種類型的積分轉化為同一個坐標面上的將三種類型的積分轉化為同一個坐標面上的二重積分二重積分. .那么那么上連續上連續在在函數函數的方程為的方程為如果如果,),(),(),(,),(),( yxryxqyxpdyxyxzzxy yxzyxrxzzyxqzyzyxpdd),(dd),(dd),( , , ( , )xp x y zzx y , , ( , ) ,

6、 , yq x y zzx yr x y z dxdy則則如果如果證證,),(),(:)1(xydyxyxzz )cos,cos,(cos n,11,1,1222222 yxyxyyxxzzzzzzzz,dcosdd,dcosdd,dcosddsyxsxzszy 由于由于sszydcoscoscosdcosdd ,dd)(ddcoscosyxzyxx yxrxzqzypdddddd()d d .xypzqzrx y ssxzdcoscoscosdcosdd .dd)(ddcoscosyxzyxy , , ( , )xp x y zyz x , , , , ( , )dxdzzq x y zr

7、x y zy z x yxrxzqzypdddddd).(,),(),(:)3( crqpdzyzyxxyz , , , , ( , )yp x y zq x y zxy z , , ( , )dzr x y zxy zydz yxrxzqzypdddddd).(,),(),(:)2( crqpdxzxzyyzxdsrqpdxdyrqdzdxpdydzi)coscoscos( 或由兩類曲面積分之間的聯系或由兩類曲面積分之間的聯系xyxydpx,y,z(x,y)( z ) qx,y,z(x,y)( z )rx,y,z(x,y)dxdy( , ),zz x y 如如果果 由由給給出出 則則有有 d

8、srqpi)coscoscoscoscoscoscos( xynz , z ,1 yxzzcos,cos,cosnnn1 ()d d .xypzqzrx y 合一投影法（向量點積法）合一投影法（向量點積法） ,1,),(:yxffyxfz 法向量為法向量為設設 rdxdyqdzdxpdydzidxdyffrqpyx1 , dsna0, dxdydzdxdydzrqp.1,dxdyffrqpxoyyx 面投影面投影在在將將所截部分的外側所截部分的外側被平面被平面錐面錐面為為其中其中計算計算2, 1,222 zzyxzdxdyzxdzdxydydzi例例解解,2222yxyfyxxfyx d 利用

9、向量點積法利用向量點積法 21220rdrrd.215 dxdyz2 xyddxdyyx)(22 dxdyyxyyxxzxyi 1 ,2222241:22 yxdxy解解 dydzxz)(2有有上上在曲面在曲面, dsxz cos)(2 dxdyxz coscos)(2.11cos,1cos2222yxyxx 11, , ,xynzzx y22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy22()()()zx dydzzdxdyzxxz dxdy xyddxdyyxxxyx)(21)()(412222 xyddxdyyxx)(21222 2022220)21cos(rdrrrd.11c

10、os,1cos2222yxyxx .8 21 ( , , )( , , ) ( , , ),( , , ),if x y zx dydzf x y zy dzdxf x y zz dxdyf x y zxyz 計計算算其其中中為為連連續續函函數數為為平平面面在在第第四四卦卦限限部部分分的的上上側側例例5 5xyoz111 解解利用兩類曲面積分之間的關系利用兩類曲面積分之間的關系111 , , n 的的法法向向量量為為.31cos,31cos,31cos cos用用dxdydscosdydzdscosdxdzds代入得：1112333 ( , , )( , , ) ( , , )if x y z

11、xf x y zyf x y zz ds dszyx)(31 xyddxdy3131.21 二二高斯高斯 公式公式zyxzryqxpdddyxrxzqzypdddddd 定向曲面邊界曲線的定向曲面邊界曲線的.ddddddddd zryqxprqpzyxyxxzzycoscoscosddd .dsp xq yr zxyzpqr 三、斯托克斯公式三、斯托克斯公式 d ddd .qpx yp xq yxy 一格一格林公式林公式 對對稱稱，面面關關于于直直線線所所謂謂輪輪換換對對稱稱性性是是指指曲曲zyx . ,323 仍與原曲面重合仍與原曲面重合弧度后弧度后或或旋轉旋轉即將曲面繞直線即將曲面繞直線

12、zyx. , 1 2222rzyxzyx 例如例如:0),( ,具有如下特征具有如下特征則其方程則其方程若曲面具有輪換對稱性若曲面具有輪換對稱性 zyxf. , , ),( 的表達式的表達式不會改變不會改變的位置任意互換的位置任意互換中變量中變量將將fzyxzyxf.)z ,x,y(f)x, z ,y(f)y,x, z(f)z ,y,x(f . , ,積分值不會改變積分值不會改變無論怎樣互換無論怎樣互換變量變量中的中的則被積函數則被積函數曲面具有輪換對稱性曲面具有輪換對稱性z , y,x)z , y,x(f輪換不變性輪換不變性 若曲面若曲面 有輪換對稱性有輪換對稱性, , 則則 上的第一類曲上

13、的第一類曲面積分有輪換不變性面積分有輪換不變性. . sxzyfsyxzfszyxfd),(d),(d),(.)z ,x,y(f)x, z ,y(f)y,x, z(f)z ,y,x(f 0 )z ,y,x(f: 曲面曲面( , , )d( , , )d( , , )df x y zsf z x ysf y z xs. , ),( ,積分值不會改變積分值不會改變無論怎樣互換無論怎樣互換變量變量中的中的則被積函數則被積函數若曲面具有輪換對稱性若曲面具有輪換對稱性zyxzyxf線線例例. 計算計算,d2sx其中其中 為球面為球面 2222azyx被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0zyx解解:

14、由輪換對稱性可知由輪換對稱性可知sx d2sy d2sz d2x, y, z 地位相等地位相等szyxsxd)(31d2222aa2312332a例例解解.dd)( )0, 0, 0( 1 sxsyxzyxzyx與與求求設曲面設曲面 , 1 有輪換對稱性有輪換對稱性曲面曲面 zyx由積分的輪換不變性知由積分的輪換不變性知,szsysx ddd syxd, 0dd sysx szyxsx)d(31d sd31.612131 .)10(,dddd)2(22的上側的上側為有向曲面為有向曲面其中其中計算曲面積分計算曲面積分 zyxzyxzzyzx4,.為為了了對對第第二二類類曲曲面面積積分分的的方方法

15、法有有一一個個全全面面的的了了解解 并并對對不不同同的的方方法法進進行行比比較較 下下面面用用 種種不不同同的的方方法法求求解解:方法一方法一. yxzizy)zx(idddd 212和和分別計算分別計算-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51例例1-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51.:,211 分成兩片分成兩片將將時時計算計算i)(),(2221取前側取前側為為取后側取后側為為yzxyzx .11, 1| ),(),(2 yzyzydzyyz 21dd)2(dd)2(1z

16、yzxzyzxi2222()d d()d dyzyzddzyzy zzyzy z . yxzizy)zx(idd , dd 212zyzyzyyzydyzdd4dd4111222 yyd)1(3823112 204dcos316sinttty. -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51.1| ),(,dd)(22222面上的投影區域面上的投影區域在在是是其中其中而而xoyyxyxdyxyxixydxy xydi dd32,2dd1020 21ii 故原式故原式.22 . yxzizy)zx(idd , dd 212:方法二方法二.,dd

17、)2(的的曲曲面面積積分分化化為為對對坐坐標標將將yxzyzx 故故由于由于,dd2dd)(ddyxxyxzzyx yxzxzxyxzzyzxdd)2( )2(dddd )2( yxyxyxxxxyddd)()(2422222 , 0dd )(22 yxyxxxyd由對稱性知由對稱性知2()d dd dxzy zz x y -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51 xyxyddyxyxyxxdd)(2dd4222且且.2dd)(22 xydyxyx上式上式故故()由輪換對稱性由輪換對稱性:方法三方法三.算算化為第一類曲面積分計化為第一類

18、曲面積分計處的單位向量處的單位向量上任一點上任一點由于由于),(zyx )1 ,(11zyyxzzzzn )1 ,2,2(441122yxyx 2()d dd dxzy zz x y -1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51syxzxzxyxzzyzxd4411)2)(2(dddd )2(22 故故222222(2) ( 2 )()1 44xydxxyxxyxy .2dd)()(2422222 yxyxyxxxxyd221 44d dxy x y.,它們實質上是一樣的它們實質上是一樣的比較方法二和方法三比較方法二和方法三 :方法四方法四

19、.利利用用高高斯斯公公式式進進行行計計算算 ,1, 1| ),(22取下側取下側作輔助曲面作輔助曲面 yxzzyx-1-0.500.51-1-0.500.5100.51-1-0.500.51-1-0.500.51 則由高斯公式知則由高斯公式知所圍之立體所圍之立體與與為由為由記記, (2)d dd dxzy zz x y vd3 zyxyxz22ddd310,23d310 zz(2)xzzdvxz 因此因此其面積為零其面積為零面上的投影為一線段面上的投影為一線段在在由于由于,yoz (2)d dd dd dxzy zz x yz x yyxzzyzxdddd )2( 于是于是1d dxydx y

20、 .2)(23 .,以方法四最簡便以方法四最簡便可見就本題的計算而言可見就本題的計算而言.0, 2, 1,d22面面所圍成的空間立體的表所圍成的空間立體的表平面平面是圓柱面是圓柱面其中其中計算計算 zxzyxsx. 1:, 2:, 0:22321 yxxzz積分曲面積分曲面. 1:2221 yxdxoyxy均為均為面上的投影區域面上的投影區域在在和和 xydxsx d001d221例例2解解sxsxdd321 yd dxydx x y )(軸對稱軸對稱積分區域關于積分區域關于y, 0 , d 1中中在在 sx xydyxxsxddd1,dddyxs , 0 )(軸對稱軸對稱積分區域關于積分區域

21、關于y, d 2中中在在 sx,dd11dyxs xydyxxsxdd2d2, 0 y,3向其它坐標面投影向其它坐標面投影面上的投影不是區域面上的投影不是區域在在xoy .,投影相同投影相同分成前后兩片分成前后兩片坐標平面坐標平面選擇選擇zox.11222xyyx 可得可得由由,1:231xy 前片前片.1:232xy 后片后片. 20, 11: xzxdzx投影區域投影區域yxzyysxzdd1d22 xzxxdd01122 .d 相同相同前后兩片前后兩片 s.dd112xzx 32313dddsxsxsx zxdxzxzyyxdd1222 zxdxzxxdd122 11202dd12xzx

22、xx, .00dd 321 所以所以sxsxzoxy例例3.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxi設 為曲面21,222zyxz取上側, 求 解解: 作取下側的輔助面1:1z1:),(22yxdyxyxi11zyxdddyxxdd)(2xyd) 1(20d10drr221drz202dcos103drr4用柱坐標用柱坐標用極坐標用極坐標2111解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉轉面面方方程程為為繞繞xyzo132 *xyzo132 * *i且有且有dvzryqxp)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyi4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzd

23、xzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 i故故.34 )(31yddxdzdydv221xzy 31)1(dyy ,2 或：或：xyzo132 *yzdxdydzdxyxdydzy4)1(2)18(2* 212222222598(),()() axdydzzadxdyixyzzaxya 例 ：計算其中為例 ：計算其中為下半球面的上側， 為大于零的常數。下半球面的上側， 為大于零的常數。 dxdyazaxdydzai2)(11）：）：解（解（ vsdvazaadxdyazaxdydza)22(1)(12323213azdv

24、av 30222222adxdyzdzazayxa 323a ssdxdyazadxdyazaxdydza22)(1)(1 dsdxdyaadxdyaa22113a )(2333aai 23a s)98(,)()(5222212222為大于零的常數。為大于零的常數。的上側，的上側，下半球面下半球面為為其中其中計算計算例例ayxazzyxdxdyazaxdydzi dxdyazaxdydzai2)(1解解 dxdyazdxdyzaxax2)()(1 ddxdyayxayxaxaxa)()(12222222.23a s222:ayxd coscoscos vvvvnxyz證明：證明： coscos

25、coszuyuxunu coscoscoszvuyvuxvunvu coscoscoszuvyuvxuvnuv dsnuvnvu)( 即即dszuvzvuyuvyvuxuvxvucos)(cos)(cos)( dxdyzuvzvudxdzyuvyvudydzxuvxvu)()()( 2222)(xuvxuxvxvuxvxuxuvxvux 又又2222xuvxvu dvzuyuxuvzvyvxvuiv)()(222222222222 (1)(1)簡化曲線積分簡化曲線積分.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向邊界正向邊界為頂點的三角形區域的為頂點的三角形區域的是以是以其中其中

26、計算計算lyxyxxl xyo11d由格林公式由格林公式所圍區域為所圍區域為記記,dl dlyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 dyxydd.61dd1010 xyyx例例1解解xyabco1 21.)0 , 1()1 , 0(1)1 , 0()0 , 2(22,d)e3(d)2(22接而成的定向曲線接而成的定向曲線的一段連的一段連到到上從點上從點圓弧圓弧的一段及的一段及到到上從點上從點由直線由直線是是其中其中計算計算 cbyxbayxlyyxxyxly.ca添加定向線段添加定向線段.call 定向閉曲線定向閉曲線,22yxp ,e3yyxq , 2 yp. 3 xq根據格林公式得根

27、據格林公式得例例2解解 dyxdd)2(3 lyyyxxyxd)e3(d)2(2 calyyyxxyxd)e3(d)2(2).14(5dd5 dyx. 21:, 0: xyca cayyyxxyxd)e3(d)2(2. 3d212 xx lyyyxxyxd)e3(d)2(23)14(5 . 245 xyabco1 21xyoabr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圓周在第一象限從的圓周在第一象限從是半徑為是半徑為計算計算rbrarlyxl ., booa添加定向直線段添加定向直線段.loabo 定向閉曲線定向閉曲線,),(, 0),(xyxqyxp . 0, 1 ypxq dyxyp

28、xqyxdd)(d dyxdd.42r 例例3解解 boyxd oayxd .4dd 2ryxyxl 所以所以, 0d00 rxx, 0d00 ryoaxy.)0 , 0(2)0 ,2(,d)cose (d)(sine 2的有向弧段的有向弧段到點到點線線沿曲沿曲為從點為從點為正的常數為正的常數其中其中計算計算oxaxyaalbayaxyxyxbyixlx 解解,cose,cosbyypayexqxx ,abypxq ,構成閉曲線構成閉曲線添加輔助線添加輔助線loaoa ,d所圍的區域記作所圍的區域記作d例例4yaxyxyxbyixxloaoad)cose (d)(sine 由格林公式由格林公式

29、21ii yxabddd )( 2)(2aab , 0, 0, dyyxoa軸上軸上在在由于由于21iii 于是于是 axbxi202d)(故故yxypxqiddd1 ,22ba .22232aba oabxy(2)(2)簡化二重積分簡化二重積分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2為頂點的三角形閉區域為頂點的三角形閉區域以以計算計算baodyxdy 則則令令,e, 02yxqp .e2yypxq boaboaydyyxyxdedde22 oayyxde2. 10:.: xxyoa).e1(211 10de2xxx例例5解解.2dd2dd的面積的面積ddlsyxyxxy

30、(3)(3)計算平面區域的面積計算平面區域的面積.d),(d),(d)( ldyyxqxyxpypxq 則則令令,xqyp 則則令令, 0 xqp .ddd的面積的面積ddlsyxyx 則則令令, 0, qyp.ddd的面積的面積ddlsyxxy .dd21dd llldyxxyxyyxs的面積的面積例例6 6所圍成圖形的面所圍成圖形的面求橢圓求橢圓 sin,cosbyax .a積積解解 lxyyxadd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab oxy.)0()(2成的圖形的面積成的圖形的面積軸所圍軸所圍與與計算拋物線計算拋物線xaaxyx .dd21 ldyxx

31、ys的面積的面積.amoonal .0:, 0:axyona . 0:,: axxaxyamoo)0 ,(aanm ldyxxysdd21的面積的面積 amoonayxxyyxxydd21dd21 0d)12()(210axaxaxaxx.612a 例例7 7解解(4)(4)計算曲線方程未知的曲線積分計算曲線方程未知的曲線積分.,dd22方向為逆時針方向方向為逆時針方向閉曲線閉曲線滑且不經過原點的連續滑且不經過原點的連續分段光分段光為一條無重點為一條無重點其中其中計算計算lyxxyyxl .),(,),(2222yxxyxqyxyyxp ,)0 , 0(),(時時當當 yx,)(22222yx

32、xyypxq . 0 ypxq即即.,上不一定連續上不一定連續在在所圍成的閉區域為所圍成的閉區域為記記dypxqdl 例例8 8解解xyoldxyold.,)0 , 0()1(上連續上連續在在時時當當dypxqd dlyxypxqyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不連續上不連續在在時時當當dypxqd .,:,1222dclldcryxcrrrr圍成的復連通區域為圍成的復連通區域為共同共同與與記記不相交不相交內且與內且與位于位于使得使得為半徑作圓周為半徑作圓周以原點為圓心以原點為圓心 rc).(),(),(1)1(dcyxqyxp xyol1drc.,1格林公式格林

33、公式上應用上應用在在取逆時針方向取逆時針方向dcr ldyqxpyxypxqdddd)(01 rclyqxpyqxpdddd rrcclyqxpyqxpyqxpdddddd所以所以)(2dd122所圍圖形的面積所圍圖形的面積rccrxyyxrr .2222 rr( (積分值與積分路徑無關積分值與積分路徑無關) ).),1(,)0 , 1(,4dd22取逆時針方向取逆時針方向為半徑的圓周為半徑的圓周為中心為中心是以點是以點其中其中計算曲線積分計算曲線積分 rrlyxxyyxil則可簡化計算則可簡化計算為某個正數為某個正數為橢圓為橢圓改改若能將積分路徑若能將積分路徑由被積函數的分母可知由被積函數的分母可知),(4,222aayxl )0 , 0(),(,)4(42222 yxypyxxyxq由于由于式式可可知知所所圍圍的的區區域域內內由由格格林林公公使使得得方方向向逆逆時時針針圓圓因因此此若若取取一一足足夠夠小小的的橢橢layxl),(4:222 例例9 9解解, 04dd22 llyxxyyx llyxxyyxyxxyyxi22224dd4dd于是于是 lxyyxadd12)(22所圍的橢圓區域的面積所圍的橢圓區域的面積la