1、起 (本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！) 一、選擇題(每小題 5 分，共 20 分) 1已知|a|6，|b|3，ab12，則向量 a 在向量 b 方向上的投影是( ) a2 b2 c4 d4 解析： 記向量 a 與 b 的夾角為 ，由 ab|a|b|cos 12，即 63cos 12，所以 cos 23，所以 a 在 b 方向上的投影為|a|cos 6234. 答案： d 2若向量 a，b，c 滿足 ab 且 ac，則 c(a2b)( ) a4 b3 c2 d0 解析： 因為 ab 且 ac，所以 bc，從而 cbca0.所以 c(a2b)ca2cb0. 答案： d 3已知 ab，

2、|a|2，|b|3 且向量 3a2b 與 kab 互相垂直，則 k 的值為( ) a32 b.32 c32 d1 解析： 3a2b 與 kab 互相垂直， (3a2b)(kab)0， 3ka2(2k3)ab2b20， ab，ab0， 12k180，k32. 答案： b 4已知 a，b 均為單位向量，它們的夾角為 60，那么|a3b|( ) a. 7 b. 10 c. 13 d4 解析： |a3b|2a26ab9b2 16cos 60913，所以|a3b| 13. 答案： c 二、填空題(每小題 5 分，共 15 分) 5已知|a|3，|b|4，則(ab)(ab)_ 解析： (ab)(ab)a2

3、b2|a|2|b|232427. 答案： 7 6 在abc 中， bac120， ab2， ac1， d 是邊 bc 上一點， dc2bd， 則ad bc_ 解析： 由dc2bd，所以bd13bc，bcacab， 故adbc(abbd)bc ab13（acab） (acab) 23ab13ac(acab) 13abac13ac223ab2 13|ab|ac|cos 12013|ac|223|ab|2 1321121312322 83. 答案： 83 7若|a|1，|b|2，cab，且 ca，則向量 a 與 b 的夾角為_ 解析： ca，ca0，(ab)a0， 即 a2ab0. |a|1，|b|

4、2，12cosa，b0， cosa，b12. 又0a，b180，a，b120. 答案： 120 三、解答題(每小題 10 分，共 20 分) 8已知|a|3，|b|6，當ab，ab，a 與 b 的夾角是 60時，分別求 ab. 解析： 當 ab 時， 若 a 與 b 同向，則它們的夾角 0， ab|a|b|cos 036118； 若 a 與 b 反向，則它們的夾角 180， ab|a|b|cos 18036(1)18； 當 ab 時，它們的夾角 90， ab0； 當 a 與 b 的夾角是 60時， 有 ab|a|b|cos 6036129. 9設向量 a，b 滿足|a|b|1，|3ab| 5.

5、 (1)求|a3b|的值； (2)求 3ab 與 a3b 夾角的正弦值 解析： (1)由|3ab| 5，得(3ab)25， 所以 9a26abb25，因為 a2b21，所以 ab56.因此(a3b)2a26ab9b215， 所以|a3b| 15. (2)設 3ab 與 a3b 的夾角為 ， 因為(3ab)(a3b)3a28ab3b2203， 所以 cos （3ab）（a3b）|3ab|a3b|2035 34 39， 因為 0180，所以 sin 1cos214 392339. 所以 3ab 與 a3b 的夾角的正弦值為339. 能力測評 10已知向量 a，b 的夾角為 120，|a|b|1，c

6、 與 ab 共線，則|ac|的最小值為( ) a1 b.12 c.34 d.32 解析： |a|b|1，c 與 ab 共線 a 與 c 的夾角為 60或 120. 當 60時，|ac| a22acc2 1|c|c|2 |c|12234 |ac|min1 當 120時，|ac|1|c|c|2|c|12234 |ac|min32. 答案： d 11 已知向量 a， b 的夾角為 45， 且|a|4，12ab (2a3b)12， 則|b|_；b 在 a 方向上的投影等于_ 解析： 12ab (2a3b)a212ab3b212，即 3|b|2 2|b|40，解得|b| 2(舍負)，b 在 a 方向上的

7、投影是|b|cos 45 2221. 答案： 2 1 12已知非零向量 a，b，滿足|a|1，(ab)(ab)12，且 ab12. (1)求向量 a，b 的夾角；(2)求|ab|. 解析： (1)(ab)(ab)12， a2b212，即|a|2|b|212， 又|a|1，|b|22. ab12，|a|b|cos 12， cos 22，0180，向量 a，b 的夾角為 45. (2)|ab|2(ab)2 |a|22|a|b|cos |b|212， |ab|22. 13已知|a|2|b|2，且向量 a 在向量 b 方向上的投影為1. (1)求 a 與 b 的夾角 ； (2)求(a2b)b； (3)當 為何值時，向量 ab 與向量 a3b 互相垂直？ 解析： (1)|a|2|b|2， |a|2，|b|1. 又 a 在 b 方向上的投影為