1、人教版高中數學必修精品教學資料本章回顧識結構點回放兩種數列的基本公式及性質等差數列an等比數列an定義an1and (d為常數) 等價形式an1an12anq (q0)(q為常數) 等價形式an1·an1a (an0)通項公式ana1(n1)d變形：anam(nm)dana1·qn1變形：anam·qnm中項a,a,b成等差數列a(a稱為a,b的等差中項)a,g,b成等比數列g± (ab>0) (g稱為a,b的等比中項)前n項和公式snna1dq1時,snna1 q1時,sn基本性質若mnpq,則amanapaq若mnpq,則am·ana

2、p·aq若mn2p,則aman2ap若mn2p,則am·anaan是常數列d0an是常數列q1an遞增d>0an遞增或an遞減d<0an遞減或sm、s2msm、s3ms2m成等差數列sm,s2msm,s3ms2m成等比數列(q1或m為奇數)若項的下標成等差數列,則相應的項成等差數列若項的下標成等差數列,則相應的項成等比數列若an,bn成等差數列,則anbn,anbn成等差數列an,bn成等比數列,則,an·bn成等比數列想方法一、取倒數法和取對數法求通項例1已知數列an滿足an1,a12.求an.解對an1兩邊取倒數得：,n1.令bn,則bn1bnn1

3、.bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)123n1n.an.例2在數列an中,an13a,a13.求an.解由已知,an>0,對an13a兩邊取常用對數得：lg an12lg anlg 3.令bnlg an.則bn12bnlg 3.bn1lg 32(bnlg 3)bnlg 3是等比數列,首項是b1lg 3lg 3lg 32lg 3.bnlg 32n1·(b1lg 3)2nlg 3.bn(2n1)lg 3lg lg an.an二、運用恒等變形求數列前n項和例3(2009·山東日照一模)已知數列an的各項均為正數,sn為其前n項和,對于任意的nn*滿足2sn3an

4、3.(1)求數列an的通項公式；(2)設數列bn的通項公式是bn,前n項和為tn,求證：對于任意的正數n,總有tn<1.(1)解由已知得 (n2)故2(snsn1)2an3an3an1,即an3an1 (n2)故數列an為等比數列,且q3.又當n1時,2a13a13,a13.an3n.(2)證明bn.tnb1b2bn1<1.例4已知數列an的前n項和sn,對一切正整數n,點(n,sn)都在函數f(x)2x24的圖象上(1)求數列an的通項公式；(2)設bnan·log2an,求數列bn的前n項和tn.解(1)由題意,sn2n24,n2時,ansnsn12n22n12n1,

5、當n1時,a1s12344,也適合上式,數列an的通項公式為an2n1,nn*.(2)bnanlog2an(n1)·2n1,tn2·223·234·24n·2n(n1)·2n1,2tn2·233·244·25n·2n1(n1)·2n2.得,tn232324252n1(n1)·2n223(n1)·2n22323(2n11)(n1)·2n2(n1)·2n223·2n1(n1)·2n22n2n·2n2.三、運用方程(組)的

6、思想解數列問題例5等差數列an中,a410,且a3,a6,a10成等比數列,求數列an前20項的和s20.解設數列an的公差為d,則a3a4d10d,a6a42d102d,a10a46d106d.由a3,a6,a10成等比數列得a3a10a,即(10d)(106d)(102d)2,整理得10d210d0,解得d0或d1.當d0時,s2020a4200.當d1時,a1a43d103×17.s2020a1d20×7190330.例6(2009·江蘇通州模擬)已知數列an和bn滿足a1m,an1ann,bnan.(1)當m1時,求證：對于任意的實數,數列an一定不是等差

7、數列；(2)當時,試判斷數列bn是否為等比數列(1)證明當m1時,a11,a21,a3(1)222.假設數列an是等差數列,由a1a32a2,得232(1),即210,3<0,方程無實根故對于任意的實數,數列an一定不是等差數列(2)解當時,an1ann,bnan.bn1an1anbn.又b1mm,當m時,數列bn是以m為首項,為公比的等比數列；當m時,數列bn不是等比數列四、運用函數的思想解數列問題例7設bn(1r)qn1,r219.21,q,求數列的最大項和最小項的值解1.記cn,則cn1.作出函數y1的圖象易知：c20<c19<<c1<1,c21>c2

8、2>>1.最高點為(21,c21),最低點(20,c20)最大項為c21,c212.25,最小項為c20,c204.五、構建數列模型解實際應用題例8甲、乙兩大超市同時開業,第一年的全年銷售額為a萬元,由于經營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為(n2n2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年銷售額多an1萬元(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式；(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購？如果有這種情況,將會出現在第幾年？解(1)設甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an,bn.則有：a1a,n2時：an(n2n2)

9、(n1)2(n1)2(n1)a.anbnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)aaa2an1a,(nn*)(2)易知bn<3a,所以乙將被甲超市收購,由bn<an得：a<(n1)a.n4n1>7,n7.即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被甲超市收購例9某油料庫已儲油料a t,計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25%,以后每年的進油量為上一年底儲油量的25%,且每年運出b t,設an為正式運營第n年底的儲油量(1)求an的表達式并加以證明；(2)為應對突發事件,該油庫年底儲油量不得少于a t,如果ba t,該油庫能否長期按計劃運營？如果可以請加以

10、證明,如果不行請說明理由(取lg 20.30,lg 30.48)解(1)依題意油庫原有儲油量為a t,則a1(125%)abab,an(125%)an1ban1b (n2,nn*),令anx(an1x),則anan1,于是b,即x4b,an4b(an14b),數列an4b是公比為,首項為a5b的等比數列an4b(a14b)n1n1na5b·n1,anna4b5bn1na4b.(2)若ba t時,該油庫第n年年底儲油量不少于a t,即na×4×aa,即n3,nlog 34.8,可見該油庫只能在5年內運營,因此不能長期運營思妙解1等差數列性質多,三點共線可求和例1在等差數列an中,s1020,s50200,求s2 010的值解由snan2bn,知anb,所以點在直線yaxb上,于是點,三點共線,成立把s1020,s50200代入上式,解得：s2 010205 020.2數列圖象莫輕視,大題小作顯神奇例2設等差數列an的前n項和為sn,已知a1>0,s12>0,s13<0,指出s1,s2,s12中哪一個值最大,并說明理由？解an是等差數列,snn2n,s12>0,s13<0.a13s13s12<0,a1>0,a13<0,