1、拋物線的焦點與準線（高中知識有關）九上P54、活動2（新書）一、 高中知識：文科選修（1-1）P53-55；理科選修（1-1）P56-59拋物線的幾個定義：把平面內與一個定點F和一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線L叫做拋物線的準線.公式：拋物線的焦點為，準線為二、 試題：1、（2010黃岡市，25，15分）已知拋物線頂點為C（1，1）且過原點O過拋物線上一點P（x，y）向直線作垂線，垂足為M，連FM（如圖）（1）求字母a，b，c的值；（2）在直線x1上有一點，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點的坐標，并證明此時PFM為正三角形；（3）對拋物線上任意一點P

2、，是否總存在一點N（1，t），使PMPN恒成立，若存在請求出t值，若不存在請說明理由2、2012年山東濰坊市24(本題滿分11分)如圖，已知拋物線與坐標軸分別交于A(2，0)、B(2，0)、C(0，1)三點，過坐標原點0的直線y=kx與拋物線交于M、N兩點分別過點C,D(0，2)作平行于x軸的直線 (1)求拋物線對應二次函數的解析式； (2)求證以ON為直徑的圓與直線相切；(3)求線段MN的長(用k表示)，并證明M、N兩點到直線的距離之和等于線段MN的長3、湖北省黃岡市2011年中考數學試卷24、如圖所示，過點F（0，1）的直線y=kx+b與拋物線y=14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y

3、2）兩點（其中x10，x20）（1）求b的值（2）求x1x2的值（3）分別過M，N作直線l：y=1的垂線，垂足分別是 M1和N1判斷M1FN1的形狀，并證明你的結論（4）對于過點F的任意直線MN，是否存在一條定直線 m，使m與以MN為直徑的圓相切如果有，請求出這條直線m的解析式；如果沒有，請說明理由1yxO（第28題）1234243312344124、2010年南通市中考試題（五中月考） 28（本小題滿分14分）(2010年南通市)已知拋物線yax2bxc經過A（4，3）、B（2，0）兩點，當x=3和x=3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等經過點C（0，2）的直線l與 x軸平行，O為坐標原點（

4、1）求直線AB和這條拋物線的解析式；（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為A，判斷直線l與A的位置關系，并說明理由；（3）設直線AB上的點D的橫坐標為1，P（m，n）是拋物線yax2bxc上的動點，當PDO的周長最小時，求四邊形CODP的面積第22題圖ABQOyxPC5、（2011-2012福州市九上期末考試題）22（14分）已知拋物線經過點A（2，0）、B（0，1）兩點，且對稱軸是軸，經過點C（0，2）的直線與軸平行，O為坐標原點，P、Q為拋物線（）上的兩動點。（1）求拋物線的解析式;（2）以點P為圓心，PO為半徑的圓記為P，判斷直線與P的位置關系，并證明你的結論;（3）設線段，G是PQ的中點

5、，求點G到直線距離的最小值。6、（2012四川資陽9分）拋物線的頂點在直線上，過點F（2，2）的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MAx軸于點A，NBx軸于點B（1）(3分)先通過配方求拋物線的頂點坐標（坐標可用含m的代數式表示），再求m的值；來&源#%:中*教網（2）(3分)設點N的橫坐標為a，試用含a的代數式表示點N的縱坐標，并說明NFNB；（3）(3分)若射線NM交x軸于點P，且PA×PB，求點M的坐標拋物線的焦點與準線（高中知識有關）答案1、（2010黃岡市，25，15分）【分析】（1）拋物線的頂點為C（1，1），可設解析式為ya（x1）2+1，又因拋

6、物線過原點，可得a1，所以y（x1）2+1，化簡得yx22x，即可求字母a，b，c的值；（2）由FMFP，PM與直線垂直，可得，代入yx22x，解得點P坐標為（，）或（，），所以分兩種情況，通過計算可得PFM為正三角形；（3）由PMPN可得，整理得，解得，（舍去），故存在點N（1，），使PMPN恒成立【答案】（1）a1，b2，c0（2）FMFP，PM與直線垂直，把代入yx22x，解得點P坐標為（，）或（，），當點P坐標為（，）時，MPMFPF1，PFM為正三角形，當點P坐標為（，）時，MPMFPF1，PFM為正三角形，當點P坐標為（，）或（，）時，PFM為正三角形；（3）存在，PMPN， ，兩

7、邊同時平方得，yx22x，解得，（舍去），故存在點N（1，），使PMPN恒成立【涉及知識點】二次函數，等腰三角形，等邊三角形【點評】本題是一道綜合性較強的題目，第（1）問較簡單，考查大多數學生的能力水平，第（2）問、（3）問較難，解決的關鍵是利用等腰三角形的性質列出方程，從而求出點的坐標，在第（3）問中要注意解關于t的字母系數方程，本題有一定的區分度【推薦指數】2、2012年山東濰坊市24(本題滿分ll分) 解：(1)設拋物線對應二次函數的解析式為y=ax2+bx+c，由 解得 所以3分 (2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為點M、N在拋物線上， 所以，所以x22=4(y2+1)；

8、又ON2=x22+y22=4(y2+1)+y22=(y2+2)2，所以ON=，又因為y2l， 所以0N=2+y25分 設ON的中點E，分別過點N、E向直線作垂線，垂足為P、F， 則 ， 所以ON=2EF， 即ON的中點到直線，的距離等于0N長度的一半， 所以以ON為直徑的圓與相切7分(3)過點M作MHNP交NP于點H，則MN2=MH2+NH2=(x2x1)2+(y2y1)，又y1=kx1,y2=kx2，所以（y2y1)2=k2(x2x1)2所以MN2=(1+k2)(x2一xl)2；又因為點M、N既在y=kx的圖象上又在拋物線上，所以，即x24kx4=0，所以，所以(x2x1)2=16(1+k2

9、)，所以MN2=16(1+k2)2，MN=4(1+k2)9分延長NP交于點Q，過點M作MS交于點S，則MS+NQ=y1+2+y2+2=又x12+x22=24k2+4(1+k2)=16k2+8，所以MS+NQ=4k2+2+2=4(1+k2)=MN即M、N兩點到距離之和等于線段MN的長ll分說明：本參考答案給出了一種解題方法，其它正確方法應參考本標準給出相應分數.3、湖北省黃岡市2011年中考數學試卷考點：二次函數綜合題。專題：代數幾何綜合題。分析：（1）把點F的坐標代入直線可以確定b的值（2）聯立直線與拋物線，代入（1）中求出的b值，利用根與系數的關系可以求出x1x2的值（3）確定M1，N1的坐

10、標，利用兩點間的距離公式，分別求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判斷三角形的形狀（4）根據題意可知y=1總與該圓相切解答：解：（1）直線y=kx+b過點F（0，1），b=1顯然和是方程組的兩組解，解方程組消元得，依據“根與系數關系”得.M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由題知M1的橫坐標為x1，N1的橫坐標為x2，設M1N1交y軸于F1，則F1M1F1N1=x1x2=4，而FF1=2，所以F1M1F1N1=F1F2，另有M1F1F=FF1N1=90°，易證RtM1FF1RtN1FF1，得M1FF1=FN1F1，故M1FN1=M1FF1F1FN1=FN1F1

11、F1FN1=90°，所以M1FN1是直角三角形.存在，該直線為y=1.理由如下：直線y=1即為直線M1N1.FMNN1M1F1Oyxl 第22題解答用圖PQ如圖，設N點橫坐標為m，則N點縱坐標為,計算知NN1=， NF=，得NN1=NF同理MM1=MF.那么MN=MM1NN1，作梯形MM1N1N的中位線PQ，由中位線性質知PQ=（MM1NN1）=MN，即圓心到直線y=1的距離等于圓的半徑，所以y=1總與該圓相切.點評：本題考查的是二次函數的綜合題，（1）由點F的坐標求出b的值（2）結合直線與拋物線的解析式，利用根與系數的關系求出代數式的值（3）用兩點間的距離公式，判斷三角形

12、的形狀.（4）根據點與圓的位置判斷直線與圓的位置4、2010年南通市中考試題（五中月考）22（本小題滿分14分）（1）因為當x=3和x=3時，這條拋物線上對應點的縱坐標相等，故b=0.設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到yax2bxc，得 解得這條拋物線的解析式為yx2-1.設直線AB的解析式為y=kx+b，把A（4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得 解得這條直線的解析式為y-x+1.（2）依題意，OA=即A的半徑為5.而圓心到直線l的距離為3+2=5.即圓心到直線l的距離=A的半徑，直線l與A相切.（3）由題意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D

13、（-1，）.由（2）中點A到原點距離跟到直線y=-2的距離相等，且當點A成為拋物線上一個動點時，仍然具有這樣的性質，于是過點D作DH直線l于H，交拋物線于點P，此時易得DH是D點到l最短距離，點P坐標（-1，-）此時四邊形PDOC為梯形，面積為.略解過程如下：（以下過程是：證明當點D、P、H三點共線時，PDO的周長最小）如圖1，過點P作PH，垂足為H，延長HP交x軸于點G，設P（m,n）則，OP=PH要使PDO的周長最小，因為OD是定值，所以只要OP+PD最小，OP=PH只要PH+PD最小根據“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。”可知，當點D、P、H三點共線時，PH+PD最小

14、，因此，當點D、P、H三點共線時，PDO的周長最小。5、（2011-2012福州市九上期末考試題）22.解：（1）拋物線的對稱軸是y軸, . -1分拋物線經過點、兩點,-3分所求拋物線的解析式為.-4分（2）設點P坐標為（，），如圖,過點P作，垂足為,（）=，-6分=,-8分.直線與以點P為圓心,長為半徑的圓相切. -9分 （3）如圖,分別過點P、Q、G作l的垂線，垂足分別是D、E、F. 連接并延長交的延長線于點, 是的中點,易證得， ，-11分由(2)知拋物線上任意一點到原點的距離等于該點到直線的距離, 即，- 12分 ，-13分只有當點、三點共線時，線段的中點到直線的距離最小. ,4.5，即點到直線距離的最小值是4.5.- 14分（若用梯形中位線定理求解扣1分）6、（2012四川資陽9分）【答案】解：（1），頂點坐標為(2 , )。頂點在直線上，2+3=，解得。（2）點N在拋物線上，且點N的橫坐標為a，點N的縱坐標為，即點N(a,)。過點F作FCNB于點C，在RtFCN中，FC=a+2，NC=NBCB=,。而，NF2=NB2，NF=NB。（3）連接AF、BF，由NF=NB，得NFB=NBF，由（2）的結論知，MF=MA，MAF=MFA。MAx軸，NBx軸，MANB