1、工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)復(fù)習(xí)參考資料線性代數(shù)的復(fù)習(xí)尤其要求詳細(xì)閱讀人手一冊的綜合練習(xí)題授課教師：楊峰（省函授總站高級講師）第一章行列式一、全排列及其逆序數(shù) （理解）1、把 n 個不同元素排成一列，叫做這n 個元素的 全排列 。（也稱 排列）2、對于 n 個不同元素，先規(guī)定元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序（例如，n 個不同的自然數(shù)，可規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序） ，于是在這 n 個元素的任一排列中，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時， 就說有一個 逆序，一個排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個 排列的逆序數(shù) 。逆序數(shù)為奇數(shù)的排列叫做奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列叫做偶排列。例題求排列 32514 的逆序數(shù)解3 的逆序數(shù)為 0

2、；2 的逆序數(shù)為 1；5 的逆序數(shù)為 0；1 的逆序數(shù)為 3；4 的逆序數(shù)為 1；于是這個排列的逆序數(shù)為t010315二、 n 階行列式的定義 （理解）定義設(shè)有 n2 個數(shù)，排成 n 行 n 列的數(shù)表，aaa11121na21a22a2nan1an2ann作出表中位于不同行不同列的n 個數(shù)的乘積，并冠以符號( 1)t ，得到形如(1)t aa2panp（ ）1 p211n的項(xiàng)，其中 p1 p2pn 為自然數(shù) 1,2, n 的一個排列， t 為這個排列的逆序數(shù)。由于這樣的排列共有n！個，因而形如（ 1）式的項(xiàng)共有 n！項(xiàng)，所有這 n！項(xiàng)的代數(shù)和( 1)ta a2 p2a1p1npn稱為 n 階行

3、列式 ，記作a11a12a1nDa 21a22a 2n，a n1a n2a nn簡記為 det(aij ) ，數(shù) aij稱為行列式 det(aij) 的元素。元素 aij 的第一個下標(biāo)i 稱為行標(biāo)，表明該元素位于第 i行，第二個下標(biāo)j 稱為列標(biāo)，表明該元素位于第 j 列，三、行列式的性質(zhì) （掌握）記a11a12a1na11a21an1a 21a22a 2 nD Ta12a22an 2D，a n1a n 2a nna1na2 nann行列式 DT 稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式 。性質(zhì) 1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì) 2互換行列式的兩行（列） ，行列式變號。推論如果行列式的兩行（列）完全相同，

4、則此行列式等于零。性質(zhì) 3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)k，等于用數(shù) k 乘以此行列式。第 i行（或列）乘以 k，記作 rik （或 ci k ）推論行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。第 i行（或列）提出公因子 k，記作 rik （或 cik ）。性質(zhì) 4行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。性質(zhì) 5若行列式的某一列（行）的元素是兩數(shù)之和，例如aaaa/a11121i1i1nDa21a22a2ia2/ia2n，an1an2aniani/ann則 D 等于下列兩個行列式之和：a11a12a1ia1na21a22a2ia2nDan1an

5、2aniannaaa/a11121i1naaa/a21222i2naaa/annn1n 2ni性質(zhì) 6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變。以數(shù)k 乘第j列加到第i列上，記作cikc j；以數(shù)k 乘第j行加到第i行上，記作rikrj；計(jì)算行列式常用的一種方法就是利用運(yùn)算行列式，從而算得行列式的值。P16 例（可以證明，對于上三角行列式D 有：ri7、8。kr j把行列式化為上三角形a11a12a1na22a2 na11a22annD0ann當(dāng)然，把任意行列式化根據(jù)以上性質(zhì)為上三角形行列式需要一定的技巧。）四、行列式按行（列）展開（掌握）設(shè)a1

6、1a12a1na21a22a2 nDai 2aijainai1an1an 2ann在 n 階行列式中，把 aij所在的第 i行和第j 列劃去后，留下來的 n-1階行列式叫做元素 aij 的余子式，記作 M ij ；記A ( 1)ij Mij，ijAij 叫做元素 aij 的代數(shù)余子式 。引理一個 n 階行列式，如果其中第 i行的元素除 aij 外都為零，那么這行列式等于 aij 與它的代數(shù)余子式的乘積，即a11a12a1na21a22a2 nD0aij0aijAij0an1an 2ann定理行列式等于它的任一行 （列）的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即Dai1 Ai 1ai 2 Ai 2a

7、in Ain (i1,2, n)或Da1 j A1 ja2 j A2 janj Anj ( j1,2, n)推論 行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即Dai1 A j 1ai 2Aj 2ain Ajn0,ij或 Da1i A1 ja2 iA2 jani Anj0, ij，。五、四階行列式的計(jì)算 （重點(diǎn)掌握）例 1 計(jì)算行列式1234112321123211解：1 234 cc23c2c1 1311123 c44c1 12112232113111 c2 c1(1)3 35c3 c164811(1412)20001111111)1 135635(64811

8、48111001 1 23323( 1)47447例 2 計(jì)算行列式1234234134124123解：1 234 cc23c2c1 1000127312 341 c4 4c1 21271)1 128103412328(107101341234710133127 r2 2r11271 144(1)28r3 7r1044( 1)10436710130436( 144 116) 160五、克拉默法則 （注意，計(jì)算量比較大）設(shè)有 n 個未知數(shù) x1 、 x2 、 xn 的 n 個線性方程的方程組a11 x1a12 x2a1n xnb1a21 x1a22 x2a2 n xnb2（1）an1 x1an

9、2 x2ann xn bn克拉默法則如果線性方程組（ 1）的系數(shù)筆列式不等于零，即a11a1nD0an1ann那么，方程組（ 1）有唯一解x1D1， x2D 2， x nD nDDD 。其中 D j ( j1,2, n) 是把第數(shù)行列式中第 j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n 階行列式，即a11a1, j ib1a1,j 1a1nDjan1an, j 1bnan, j 1ann第二章矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念 （理解）1、由 mn個數(shù) aij (i1,2, , m; j 1,2, , n) 組成的 m 行 n 列的數(shù)表a11a12a1na21a22a 2 na m1am 2a mn

10、稱為 m 行 n 列矩陣，簡稱 mn 矩陣，記作a11a12a1na21a22a2nAam1am2amn也常記作 Am n 。這 mn 個數(shù)稱為矩陣 A 的元素，簡稱元，數(shù) aij 稱為 (i , j ) 元。以數(shù) aij 為 (i , j ) 元的矩陣可簡記作（ aij ）或 (aij ) m n 。2、行數(shù)和列數(shù)都等于n 的矩陣 A 稱為 n 階矩陣或 n 階方陣，n 階方陣 A 也記作An 。3、只有一行的矩陣Aa1a2an稱為行矩陣，又稱行向量。為避免元素間的混淆，行矩陣也記作A(a1, a2 , an )只有一列的矩陣Bb1b2bm稱為列矩陣，又稱列向量。4、兩個矩陣的行數(shù)相等，就稱

11、它們是同型矩陣 ，如果 Aaij 與 Bbij 是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元素相等，即aijbij (i1,2, m; j1,2, n)那么就稱矩陣 A 與矩陣 B 相等，記作AB5、元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作 O。注意不同型的零矩陣是不同的。6、單位矩陣簡記作 E，即100010En0017、對角矩陣簡記作 A diag (11, 2, n ) 即100020A00n二、矩陣的運(yùn)算與性質(zhì) （掌握）1、矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣 mn A aij、 Bbij，那么矩陣 A 與 B的和記作A+B ，規(guī)定為a11b11a12b12a1nb1nnAa21b21a22b22a2nb2 nBam1bm

12、1am2bm2amnbmn注意：只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算。矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：設(shè) A 、B、C 都是 m×n 矩陣，則（1）AB B A；（2）(AB)CA(BC)（3） ABA (B)設(shè)設(shè)矩陣 Aaij，記AaijA 稱為矩陣 A 的負(fù)矩陣 。2、數(shù)與矩陣相乘數(shù) 與矩陣 A 的乘積記作 A 或 A，規(guī)定為a11a12a1nAa21a22a2nAam1am2amn數(shù)乘矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律：設(shè) A 、B、為 m×n 矩陣， 、為數(shù)，則（ 1）（ 2）（ 3）()A(A)；()AAA；(AB)AB。3、矩陣與矩陣相乘設(shè) A aij 是一個 m

13、 s矩陣， B bij 是一個 s n 矩陣，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個 m n 矩陣 C cij ,其中cijai 1b1 j ai 2 b2 jais bsj并把此乘積記作C=AB必須注意： 只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘。矩陣的乘法不滿足交換律 ，即一般情況下 ABBA ，但仍滿足下列結(jié)合律和分配律（假設(shè)運(yùn)算都是可行的） ：（ 1）（ 2）( AB)CA(BC)( AB)( A)BA( B), （其中 為數(shù)）（3） A( BC)ABAC(B C)A BA CA（重要）例 1 已知矩陣131116A 013B25001，0

14、4求 AB。解：113(2)1101635114AB01(1)(2)3006(1)534010(2)(1)00605(1)45652 70 44、方陣的行列式、伴隨矩陣定義由 n 階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式 （各元素位置不變），稱為方陣 A 的行列式。 記作 A 。行列式 A 的各個元素的代數(shù)余子式Aij 所構(gòu)成的如下矩陣A11a2 nan1A12a22an2AA1na2 nann稱為方陣 A 的伴隨矩陣 ，記為A。5、逆矩陣定義對于 n 階矩陣 A ，如果有一個 n 階矩陣 B，使ABBAE則說矩陣 A 是可逆的，并把矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣。定理若 A0 ，則矩陣 A 可逆，且A11AA。重要例題P56-57 例 10方陣的逆矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律：1）若 A 可逆，則A 1亦可逆，且 ( A 1) 1A 。2）若 A 可逆，數(shù)0 則 A 可逆，且 (A)1 1A。3）若 A ，B 為同階矩陣，且均可逆，則 AB 亦可逆，且(AB) 1B1A1。例題：設(shè) n 階方陣 A 滿足 A 2A 2E = 0，證明： AE 是可逆矩陣，并求 A E 的逆矩陣。證明：由 A2A2E = 0 得A2A = 2EA（AE）= 2E1 A(A