1、2017-2018學年山東師大附中高三（上）第一次模擬數學試卷（理科）、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每題給出的四個選項中,有且僅有一項是符合要求的1. （5 分）已知集合 A=1, 3, 4, 5，集合 B=x Z|x2-4x-5v 0，則 A A B的子集個數為（）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16(姑2. (5 分)計算：二di =()2 B.- 2 C . 2i D. - 2i3.A.4.削存在零點的是（）2 f (x) =ln(x+l) (5分)在下列區間中，使函數 廠(0,1) B. (1, 2) C. (2, e) D. (3, 4) （5分）設隨機變量X

2、服從正態分布N （0，1），P （X > 1） =p，則P （X >-1)A. p B. 1 - p C. 1 - 2p D. 2p5. （5分）調查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規規定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到 0.8mg/ml,在停止喝酒后，血液中酒精含量 就以每小時50%的速度減少，則他至少要經過（）小時后才可以駕駛機動車.A. 1 B. 2 C. 3 D. 46 . （5分）如圖中的三個直角三角形是一個體積為 20cm3的幾何體的三視圖，則 該幾何體外接球的面積（單位：cm

3、2）等于（）A. 55 冗B. 75 nC . 77 dD . 65 n7. （5分）某一算法程序框圖如圖所示，則輸出的S的值為（）2C.D. 0U B .I所表示的區域為M，函數y= -1 -x8. （5分）設不等式組與x軸所圍成的區域為N，向M內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為（）JJ 四A.可 B. A-7tC. JLD .丄9. （5分）用數學歸納法證明“的圖象v n (n N*, n> 1) ”時，由 n=k3(k> 1)不等式成立，推證A. 2k “B. 2k - 1 C. 2k10. （5分）已知函數f （x）n=k+1時，左邊應增加的項數是（）D. 2k+1=C

4、OS （ 2x+4I）,將y=f （ x）的圖象上所有的點的橫,縱坐標不變；再把所得的圖象向右平移|咁個單位長度,坐標縮短為原來的所得的圖象關于原點對稱，則 ©的一個值是（）3 叫 3TT| 5H| 3叫A.B .C.D . -1-111. （5分）“> 4”是 方程x2+ax+a=0有兩個負實數根”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12. (5分)拋物線y2=2px (p>0)的焦點為F,準線為L，A、B是拋物線上的W兩個動點，且滿足/ 的最大值是()7tAFB<3.設線段AB的中點M在L上的投影為N，則置23丄A

5、. 1B. 1 C. 1D.13.、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.已知兩個單位向量，滿足|+2|=_，貝U，的夾角為.（5 分）_a14.（5 分）dx=a，則(x+衛)展開式中的常數項為15.16.（5 分）（5 分）若寸/兀、1sin） -cos CL =-y-已知cos（2a），則已知函數f (x) = (x2+ax+b) ex，當bv 1時，函數f (x)在(-巴b+2-2）, （1,+x)上均為增函數，則歸的取值范圍是三、解答題：共70分解答題應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟第仃21題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選做題，考生根 據要求作答.

6、(一)必考題：共60分.17. (12分)已知等差數列an滿足a4=6，a6=10.(1) 求數列an的通項公式；(2) 設等比數列bn各項均為正數，其前n項和Tn，若b3=a3, T2=3，求Tn .18. (12分)如圖，在四棱錐中P- ABCD，底面ABCD為邊長為-衛的正方形， PA丄 BD .(1) 求證：PB=PD;(2) 若E，F分別為PC，AB的中點，EF丄平面PCD，求直線PB與平面PCD 所成角的大小.19. (12分)自2016年1月1日起，我國全面二孩政策正式實施，這次人口與 生育政策的歷史性調整，使得要不要再生一個”生'二孩能休多久產假”等成為千 千萬萬個家庭

7、在生育決策上避不開的話題.為了解針對產假的不同安排方案形成 的生育意愿，某調查機構隨機抽取了 200戶有生育二胎能力的適齡家庭進行問卷 調查，得到如下數據：產假安排(單位：周)1415161718有生育意愿家庭數48162026(1) 若用表中數據所得的頻率代替概率，面對產假為14周與16周，估計某家 庭有生育意愿的概率分別為多少？(2) 假設從5種不同安排方案中，隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案，然后由單位根據單位情況自主選擇. 求兩種安排方案休假周數和不低于 32周的概率； 如果用E表示兩種方案休假周數和求隨機變量 E的分布及期望.20. (12分)已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x

8、軸上，左頂點為A，左焦 點為F1 (- 2, 0)，點B (2,迴)在橢圓C上，直線y=kx (k工0)與橢圓C交 于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N(I)求橢圓C的方程；(U)在x軸上是否存在點P,使得無論非零實數k怎樣變化，總有/ MPN為 直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.21. (12分)已知函數 f (x) =ax (Inx - 1) (a0).(1) 求函數y=f (x)的單調遞增區間；(2) 當 a>0 時，設函數 g (x) =EJx3-f (x)，函數 h (x) =g' (x)， 若h (x) >0恒成立，求實數a的取值

9、范圍； 證明：In (1 x 2Xn) 2ev 12+22+32+n2 (n N* ).(二)選做題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答至選做題答題區 域，標清題號如果多做，則按所做第一題計分.選修4-4:坐標系與參數方程(本題滿分10分)x=i+tcos e22. (10分)已知直線I的參數方程：一 (t為參數),曲線C的參數(滬近8m a方程： ( a為參數)，且直線交曲線C于A , B兩點.(I)將曲線C的參數方程化為普通方程，并求 B=l時,|AB|的長度；(U)已知點P: (1, 0),求當直線傾斜角B變化時，|PA|?|PB|的范圍.選修4-5:不等式選講23. 已知函

10、數 f (x) =Iog2 (|x - 1|+| x+2| - a).(I)當a=7時，求函數f (x)的定義域；(U)若關于x的不等式f (x)> 3的解集是R，求實數a的取值范圍.20仃-2018學年山東師大附中高三（上）第一次模擬數學 試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每題給出的四個選項中， 有且僅有一項是符合要求的21. （5 分）已知集合 A=1, 3, 4, 5，集合 B=x Z|x - 4x-5v 0，則 A A B的子集個數為（）A. 2 B. 4 C. 8 D. 16【分析】求出集合B,根據集合的基本運算進行求解即可.【解

11、答】解：B=x Z| x2 - 4x- 5V 0=B=x Z| - 1v xv 5=0, 1, 2, 3，4， 則 A A B=1, 3, 4,故A A B的子集個數為23=8個，故選：C【點評】本題主要考查集合的基本運算以及集合關系的應用，根據條件求出 A A B是解決本題的關鍵.（2+i） CL-1）?2. （5分）計算：二門=（）A. 2 B.- 2 C . 2i D . - 2i【分析】先求出（1-i） 2的值，代入所求式子，利用兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的幕運算性質進行化簡.【解答】 解： = 黔 =£=2,故選A.【點評】本題考查兩個復數代數形式的乘除法，虛數單

12、位 i的幕運算性質，兩個復數相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復數.3. (5分)在下列區間中，使函數f (x)=ln(x+l)2存在零點的是)A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, e)D. (3, 4)【分析】由函數零點的判定定理即可判斷出.【解答】 解：f (1) =ln2 - 1vlne仁0, f (2) =ln3 1>Ine 1=0,二 f (1)f (2)v0.函數f (x)在區間(1, 2)上存在零點.故選B.【點評】熟練掌握函數零點的判定定理是解題的關鍵.4. (5分)設隨機變量X服從正態分布N (0, 1), P (X > 1) =p,貝U P (X

13、 > 1)=()A. p B. 1 p C. 1 2p D. 2p【分析】根據隨機變量符合正態分布和正態分布的曲線關于 x=0對稱，得到一對 對稱區間的概率之間的關系，即 P (X > 1) =P (X V- 1),得到要求的區間的概 率.【解答】解：隨機變量X服從正態分布N (0, 1),P (X > 1) =p, P (X V 1) =p,P (X> 1) =1 P (XV 1) =1 p,故選B.【點評】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查曲線關于 x=0 對稱時，對稱軸兩側的對稱區間上的概率之間的關系， 本題的運算量比較小，是 一個送分題目.5.

14、(5分)調查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規規定：駕 駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.2mg/ml .如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.8mg/ml,在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減少，則他至少要經過()小時后才可以駕駛機動車.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【分析】設n個小時后才可以駕車，根據題意可知，每單位時間內酒精下降的量 成等比數列，進而可得方程，求得 n.【解答】解：設n個小時后才可以駕車，由題得方程0.8 （1 - 50%） n=0.20.5n=_，n=2即至少要經過2小時后才可以駕駛機動車.故答案為2【點評】

15、本題意實際問題為依托，主要考查了等比數列的性質及實際應用. 考查 了學生運用所學知識解決實際問題的能力.6. （5分）如圖中的三個直角三角形是一個體積為 20cm3的幾何體的三視圖，貝U 該幾何體外接球的面積（單位：cm2）等于（）A. 55 冗B. 75 nC . 77 dD . 65 n【分析】由三視圖可知幾何體為三棱錐，作出其直觀圖三棱錐A - BCD ;由三棱錐的體積求出h的值，把三棱錐還原為長方體，長方體對角線的長是三棱錐外接球的直徑2R，由此求出外接球的面積.【解答】解：由三視圖可知幾何體為三棱錐，作出其直觀圖三棱錐A - BCD ;由三視圖可知 AB丄平面BCD，BC丄BD，BD

16、=5，BC=6, AB=h，三棱錐的體積 V=3xUx 5X 6h=20，A h=4;把三棱錐還原為長方體，如圖所示；則長方體對角線的長是三棱錐外接球的直徑 2R;（ 2R） 2=42+52+62=77，三棱錐外接球的面積為S=4冗R2=77 n故選：c.目.甘 疋基【點評】本題考查了三棱錐的結構特征以及多面體外接球的面積計算問題, 礎題.7. （5分）某一算法程序框圖如圖所示，則輸出的 S的值為（）C. 一D. 0【分析】由已知程序框圖的功能是利用循環結構計算并輸出變量S的值,根據y=sin 的周期性，即可求出S的值.【解答】解：由已知程序框圖的功能是利用循環結構計算并輸出變量Hl2兀 |2

17、87 瓦S=si-l+sil+sin +sin$的值，n2£l由于y=sin的周期為6,且同一周期內的6個函數值的累加和為0;又 2016-6=336,287 口=sin?K I 2開所以 S=sin+sin 3 +sin故選：A.【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，是基礎題.'x-y<V2jx+y>-Va8. （5分）設不等式組 所表示的區域為 M，函數y=-五丈的圖象與x軸所圍成的區域為N，向M內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為（Jb.7tTC.7tT【分析】作出平面區域，根據面積比得出概率.點O到直線x+y=-遲和直線x - Y巫的距離均為邁1 =1，

18、故半圓與AB，BC相切.向M 內隨機投一個點，則該點落在N內的概率為故選B.【點評】本題考查了幾何概型的概率計算，屬于基礎題.9. (5分)用數學歸納法證明v n (n N , n> 1)”時，由 n=k(k> 1)不等式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數是(k -1k,小k,，然后判A. 2 B. 2 - 1 C. 2 D. 2 +1【分析】考查不等式左側的特點，分母數字逐漸增加1,末項為斷n=k+1時增加的項數即可.【解答】解：左邊的特點：分母逐漸增加1.末項為I:4 1 I 1 I由n=k，末項為 到n=k+1，末項為也=戈T+龍，二應增加的項數為 2k.故選C.【點評

19、】本題是基礎題，考查數學歸納法證明問題的第二步，項數增加多少問題, 注意表達式的形式特點，找出規律是關鍵.10. ( 5分)已知函數f (x) =COS (2x+2I)，將y=f (X)的圖象上所有的點的橫坐標縮短為原來的度，所得的圖象關于原點對稱，則3兀A.，縱坐標不變；再把所得的圖象向右平移|咁個單位長 ©的一個值是()5引C.-【分析】根據函數y=Asin (x©) 誘導公式，求得©的值.D.的圖象變換規律，正弦函數的圖象的對稱性,)的圖象，再把所得的圖象向右平移|咁個單位長度，可得y=cos (4x- 4|咁+一I)的圖象.【解答】解：已知函數f (x)

20、=cos (2x+4J)，將y=f (x)的圖象上所有的點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，可得 y=cos ( 4x+!根據所得的圖象關于原點對稱，可得-3H4| 咁+£j=kn+_i, k Z,令k=- 1,可得©的一個值是衛丄故選：D.【點評】本題主要考查函數y=Asin （®x©）的圖象變換規律，正弦函數的圖象 的對稱性，屬于基礎題.11. （5分）“A 4”是 方程x2+ax+a=0有兩個負實數根”的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【分析】方程x2+ax+a=0有兩個負實數根, 結論.，解出即可

21、判斷出A=a2-4a>0a>0【解答】解：方程x2+ax+a=0有兩個負實數根，則 “A4”是 方程x2+ax+a=0有兩個負實數根”的充分不必要條件.故選：A.,解得a> 4,【點評】本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關系、根與系數的關系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.12. （5分）拋物線y2=2px （p>0）的焦點為F,準線為L, A、B是拋物線上的|MN|7TAFB=2rl.設線段AB的中點M在L上的投影為N，則辿231A. IB. 1C. 2D.空兩個動點，且滿足/ 的最大值是（）【分析】設|AF|=a, |BF|=b,連接

22、AF、BF.由拋物線定義得2|MN|=a+b,由 余弦定理可得| AB| 2= （ a+b） 2 - 3ab,進而根據基本不等式，求得| AB |的取值范 圍，從而得到本題答案.【解答】解：設|AF|=a, |BF|=b,連接AF、BF,由拋物線定義，得|AF|=|AQ| , |BF|=|BP| , 在梯形 ABPQ 中，2| MN | =| AQ|+| BP| =a+b.由余弦定理得,| AB 12=a2+b2 - 2abcos60=a2+b2 - ab, 配方得，|AB|2= (a+b) 2-3ab,)2,a+b|又 ab< (_ ( a+b) 2 - 3ab>( a+b) 2

23、-U (a+b) 2=U (a+b) 21得到 | AB| >2 (a+b). I MN |1,I MN |即的最大值為1.故選：B.PkVQO【點評】本題給出拋物線的弦AB對焦點F所張的角為直角，求 AB中點M到 準線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、 梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. （5分）已知兩個單位向量，滿足|+2|=亡，貝U，的夾角為【分析】禾U用向量的模的計算公式，求出向量的夾角即可.【解答】解：因為|一+2=_,所以 I 2+2號| 2=，+4 &(遲)2,

24、又，是兩個單位向量，1 1 ?又且 b二 | 呂 | | b |且，所以co_2兀丨，的夾角為m.故答案為I.【點評】本題考查向量的數量積的運算，向量的模的應用，考查計算能力.耳614. (5分)若jf創dx=a，則(x+創)6展開式中的常數項為160 .【分析】先根據定積分求出a的值，再根據二項式定理即可求出展開式中的常數 項.【解答】解：f dx=2lnx|J=2 (Ine-ln1) =2=a，2(x+2) 6展開式中的常數項為C6323=160,故答案為：160【點評】本題考查了定積分和二項式定理的應用，屬于基礎題.sin(-;-a ) -cos Q 半15. (5分)已知cos(2Q

25、+-) ，則【分析】根據三角恒等變換化簡蘭石7)8°一z兀cos(2Cl -F再利用二倍角公式求出-.丄兀 sin【解答】解：兀二 sin-的值.d)-cosd6311，得出 sin ( a)的值,JT cos a cos&sin cos aSinor COS aK sin （ od衛J） = - 3;=1 - 2sin2 （ a+一一!）=-sin （ a+_l） =3,117一百r故選：9.【點評】本題考查了三角恒等變換與二倍角公式的應用問題，是基礎題.16. (5分)已知函數f (x) = (x2+ax+b) ex，當bv 1時，函數f (x)在(-巴 b+2l1-2)

26、, (1, +x)上均為增函數，則豆的取值范圍是 (-3,-司1 .【分析】根據求導公式求出函數的導數，在根據二次函數圖象求出a，b的取值范圍，繪制出a，b的取值范圍，根據線性規劃求出其取值范圍.【解答】解：由 f'(x) =x2+ (a+2) x+a+bex函數 f (x)在(-x，- 2)，(1，+x)增函數，2 x + (a+2) x+a+b > 0 恒成立，42 (a+2)+a+b>0 >1十(a+2)+n+b>Qa-b=Co-L2a+b+30 ?畫出滿足條件的平面區域，如圖所示:-34-5由 ，解得B (1,1),r2a+b+3=0由 ，解得 C (-

27、 1,- 1),b+2而 Kab= - 3, Kac b+2結合圖象 立的幾何意義表示過A (2,- 2)與平面區域內的點的直線的斜率,故空切的取值范圍是(-3,-3,故答案為：(-3,-創.【點評】考察學生函數求導、二次函數的性質及線性規劃問題，屬于中檔題.三、解答題：共70分解答題應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟 第 仃21題為必做題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選做題，考生根 據要求作答.(一)必考題：共60分.17. (12分)已知等差數列an滿足34=6, a3=10.(1) 求數列an的通項公式；(2) 設等比數列bn各項均為正數，其前n項和Tn,若b3=a3,

28、 T?=3，求Tn.(2)由(1)可得an=2n- 2,把已知可轉化為丄bj q =2bl+q+q2)，解方程可得b1,【分析】(1)利用等差數列的通項公式可把已知條件用 31, d表示，解方程可得 a1, d從而可求anq,代入等比數列的求和公式.【解答】解：(1)設等差數列an的公差為d,首項為a, (a1+3d=6T ai=6, a6=10,.呂盧5D ( 3分)鬥解得(5分)二數列&的通項公式 an=ai+ (n- d) d=2n- 2. (6 分)(2)設各項均為正數的等比數列bn的公比為q (q>0)ai=2n 2,as=4,t a3=b3, b3=4bj q2=4

29、I即®（l+q罔（8分）解得舍（ 10 分）l-q1-2=21（12 分）【點評】本小題主要考查等差、等比數列的通項公式以及等比數列的前 n項和公式，屬于對基本定義、基本公式的簡單運用的考查，試題難度不大.18. (12分)如圖，在四棱錐中P ABCD，底面ABCD為邊長為-日的正方形，PA丄 BD .(1) 求證：PB=PD;(2) 若E, F分別為PC, AB的中點，EF丄平面PCD,求直線PB與平面PCD 所成角的大小.【分析】（1）連接AC, BD交于點0,連結P0,則AC丄BD，結合PA丄BD得 出BD丄平面PAC，故而BD丄P0,又0為BD的中點，得出 0P為BD的中垂

30、線，得出結論；（2）設PD的中點為Q,連接AQ，EQ,證明四邊形AQEF是平行四邊形，于 是AQ丄平面PCD，通過證明CD丄平面PAD得出CD丄PA,結合PA丄BD得出 PA丄平面ABCD，以A為原點建立空間直角坐標系，則直線 PB與平面PCD所 成角的正弦值等于|cosv一1111> |，從而得出線面角的大小.【解答】解：（1）連接AC, BD交于點0,連結P0.底面ABCD是正方形， AC 丄 BD, 0B=0D .又 PA丄 BD , PA?平面 PAC, AC?平面 PAC, PAG AC=A , BD 丄平面 PAC,v P0?平面 PAC, BD 丄 P0.又 0B=0D,

31、PB=PD.（2）設PD的中點為Q,連接AQ, EQ,AFI1貝 U EQ/ CD, EQ=UcD , 又 AF/ CD, EQ/ AF, EQ=AF , 四邊形AQEF為平行四邊形，二EF/ AQ ,v EF丄平面PCD,： AQ丄平面PCD, AQ丄PD,v Q是PD的中點， AP=AD二一.v AQ 丄平面 PCD,： AQ 丄 CD,又 AD 丄 CD, AQ A AD=A , CD 丄平面 PAD,： CD 丄 PA.又 BD 丄 PA, BD A CD=D , PA丄平面 ABCD .以A為坐標原點，以AB , AD , AP為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則 B （_,0,

32、 0）, P（0, 0, AQ丄平面PCD,：T為平面PCD的一個法向量.cos<瓦，固 =|麗|両| =-2設直線PB與平面PCD所成角為9, 則 sin 9 =osv 帕，岡 > | =Z .7T直線PB與平面PCD所成角為【點評】本題考查了線面垂直的判定與性質，線面角的計算，空間向量的應用, 屬于中檔題.19. （12分）自2016年1月1日起，我國全面二孩政策正式實施，這次人口與 生育政策的歷史性調整，使得要不要再生一個”生'二孩能休多久產假”等成為千 千萬萬個家庭在生育決策上避不開的話題.為了解針對產假的不同安排方案形成 的生育意愿，某調查機構隨機抽取了 200戶

33、有生育二胎能力的適齡家庭進行問卷 調查，得到如下數據：產假安排（單位：周）1415161718有生育意愿家庭數48162026（1） 若用表中數據所得的頻率代替概率，面對產假為14周與16周，估計某家 庭有生育意愿的概率分別為多少？（2）假設從5種不同安排方案中，隨機抽取2種不同安排分別作為備選方案， 然后由單位根據單位情況自主選擇. 求兩種安排方案休假周數和不低于 32周的概率； 如果用E表示兩種方案休假周數和求隨機變量 E的分布及期望.【分析】（1 ）由表中信息可知，利用等可能事件概率計算公式能求出當產假為14周時某家庭有生育意愿的概率和當產假為 16周時某家庭有生育意愿的概率.（2）設

34、兩種安排方案休假周數和不低于 32周”為事件A，由已知從5種不同 安排方案中，隨機地抽取2種方案選法共有10種，由此利用列舉法能求出其和 不低于32周的概率.由題知隨機變量E的可能取值為29，30, 31，32, 33, 34，35.分別求出相 應的概率，由此能求出E的分布列和E （ $ .【解答】解：（1）由表中信息可知，當產假為14周時某家庭有生育意愿的概率P 二 4 = 1為1 200貢；，P a丄當產假為16周時某家庭有生育意愿的概率為_艾2_ （2分）（2）設 兩種安排方案休假周數和不低于 32周”為事件A，由已知從5種不同安排方案中，隨機地抽取 2種方案選 法共有!（種），其和不低

35、于 32 周的選法有（14、18）、（15、17）、（15、18）、（16、17）、（16、18）、（17、18），共 6 種，由古典概型概率計算公式得P TH（6 分）由題知隨機變量 $的可能取值為29, 30，31, 32，33, 34, 35.P（& =29）=-0.1 P（&-30）=0. 1, P（&2戸（2=匹）辜丸起，P（ 2=33）諾產6 2, P（ 2=34）專嚴6 1, P（ &110 10 10 10因而E的分布列為E293031P0.10.10.2323334350.20.20.10.1所以 E ( 0 =29X 0.1+30 X 0.1

36、+31 X 0.2+32 X 0.2+33X 0.2+34X 0.1+35X 0.1=32,(12 分)【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法, 是中檔題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用.20. (12分)已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左頂點為A，左焦 點為F1 (- 2, 0)，點B (2, 一)在橢圓C上，直線y=kx (k工0)與橢圓C交 于E，F兩點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N(I)求橢圓C的方程；(U)在x軸上是否存在點P,使得無論非零實數k怎樣變化，總有/ MPN為 直角？若存在，求出點P的坐標，若不存在

37、，請說明理由.2 2【分析】(I)由題意可設橢圓標準方程為 工1 +EJ=1 (a>b>0),結合已知及隱 含條件列關于a, b, c的方程組，求解方程組得到a2, b2的值，則橢圓方程可求；(U)設F (xo, yo), E (- xo,- yo),寫出AE、AF所在直線方程，求出 M、N的坐標，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以 MN為直徑的圓 經過定點(土 2, 0),即可判斷存在點P.x2| y廚=1 (a> b>0),2【解答】解：(I)由題意可設橢圓方程為-4貝 U c=2, a2 - b2=c2, 一=1,解得：a2=8, b2=4.可得橢圓c的

38、方程為回+亠=1；2x0(U)如圖，設 F (xo, yo), E (- xo, yo),貝U 8 I +=1, A (- 2id,0),AF所在直線方程y= 三至（x+2），2V2y0取 x=0，得 y='2V2y0二 N （0，： '),AE所在直線方程為y=2L(x+門),2V2y0取 x=0，得 y='則以MN為直徑的圓的圓心坐標為（),半徑r=圓的方程為x2+ （y -i6y02叫= x02)22V2o.，即 x2+( y+162 =取 y=0，得 x= ± 2.可得以MN為直徑的圓經過定點（土 2，0）.可得在x軸上存在點P （± 2，0

39、），使得無論非零實數k怎樣變化，總有/ MPN為直角.【點評】本題考查橢圓的方程和簡單性質， 考查直線與圓位置關系的應用，考查 整體運算思想方法，是中檔題.21.1. (12分)已知函數 f (x) =ax (Inx - 1) (a0).(1)求函數y=f (x)的單調遞增區間；(2)當 a>0 時，設函數 g (x) =£x3-f (x)，函數 h (x) =g' (x), 若h (x) >0恒成立，求實數a的取值范圍； 證明：In (1X 2X 3X -x n) 2ev 12+22+32+n2 (n N* ).【分析】(1)求出函數f (x)的導數，對a討論，

40、分a>0, av0,由導數大于0, 解得增區間；(2)當a>0時，求出g (x)的導數，由題意可得藥£1的最大值，求出右邊函數的導數，求得單調區間、極值和最值，即可得到所求a的范圍；2 由可得上V圉，x N，可得2elnnvn2,由累加法和對數的運算性質即可 得證.【解答】解：(1)函數 f (x) =ax (Inx- 1)的導數為 f'(x) =a (Inx - 1) +a=alnx， 當 a> 0 時，x > 1 時，f'( x) > 0，f (x)遞增；0v xv 1 時，f' (x) v 0，f (x) 遞減；當 av 0

41、 時，Ov x v 1 時，f' (x) > 0，f (x)遞增；x> 1 時，f'( x) v 0，f (x) 遞減.即有a>0，f (x)的遞增區間為(1，+x)；av0時，f (x)的遞增區間為(0, 1)；(2)當 a>0 時，設函數 g (x) =§!x3-f (x) =®x3- ax (Inx - 1), 丄函數 h (x) =g' (x) =x2 alnx, x>0,1 如i2h (x)> 0恒成立，即為如丄的最大值，In”|由y=的導數為. ，當x >一時，函數y遞減； 當0vxv兇時，函數y遞增，即有x=/l取得最大值墜,解得 0v a< e；證明：由可得X |v亦1, x N ,即有 2elnnv n2,可得 2e （In 1+