1、2 質點和剛體動力學介紹質點的位置、位移、速度、加速度等基本概念，給出質點沿直線或曲線運動時的描述方法，介紹動能定理以解決質點動力學問題即力與運動的關系，給出剛體運動學的描述方法以及剛體動力學問題的解決方法。2.1質點運動學2.1.1 基本概念質點運動學(kinematics of particles)給出了質點的運動描述，即任一時刻質點的位置、速度、加速度的描述方法。（1）位置 (position)通過單軸坐標系上的s來定義位置。如圖2.1所示，原點O是軸上的固定點，通過這個點，就能用s去定位任意時刻質點的位置。s的大小即為質點到原點O的距離，而位置的方向性可以通過s的代數符號來表示。在圖2

2、.1中所示的情況下，對應的位置s為正值。因此，位置是一種既有方向又有大小的矢量。圖2.1 質點位置圖（2）位移 (displacement)位移定義為質點位置的改變量。如圖2-2所示，當質點從一點移動到另一點時，它的位移可以表述為： (2.1)圖2.2 質點位移圖這圖2.2所示的情況下，由于質點的終點位置沿s方向在起始位置的右側， 為正值，同樣，如果終點位置在起始位置的左側，則得到的就為負值。位移是一個有大小和方向的矢量。位移與質點移動的距離不同，質點移動的距離是對質點在直線上所移動的長度的一種度量。（3）速度 (velocity) 如果質點在時間間隔內移動的距離為，那么質點在這段時間間隔內的

3、平均速度為： (2.2)當趨近于無窮小時，平均速度就近似為一個瞬時點，由此可得出瞬時速度的表達式： (2.3)或者 (2.4)因為和始終為正值，所以速度的正負是由或者決定。而速度的大小則由速率來表示。（4）加速度 (acceleration)如果質點在任意兩點處的瞬時速度已知，那么在間隔內質點的平均加速度定義為： (2.5)式中在間隔內速度的變化量，也即：。與瞬時速度公式相仿，任一時刻的瞬時加速度也可由令趨于無窮小， 得到： (2.6)或者 (2.7)又由式(2.4)瞬時速度的表達式，式(2.7)可以進一步寫成如下形式： (2.8)通過消去以上公式中的時間變量，可以得到位移與速度之間的關系，如

4、下式： (2.9)2.1.2 質點在空間曲線運動時的一般描述當一個質點沿著曲線路徑運動時，所產生的軌跡稱為質點的曲線運動(Curvilinear Motion)。以下采用三維直角坐標系描述質點曲線運動的位置、速度和加速度。（1）質點的位置建立如圖2-3所示的空間直角坐標系，質點的位置為 (2.10)圖2.3 質點的位置質點與坐標原點的距離為 (2.11)（2）質點的速度對質點的位置求導得到質點的速度，質點的速度矢量示意圖如圖2.4所示。 (2.12)圖2.4 質點的速度將式(2.12)中第一項單獨求導得到 (2.13)由于空間坐標系OXYZ固定，則式(2.13)中為0,同樣處理式(2.12)第

5、二、第三項可以簡化為 (2.14)其中 (2.15)質點速度的大小為 (2.16)（3）質點的加速度對式(2.14)進行求導得到質點的加速度，加速度如圖2.5所示 (2.17)質點加速度的大小為 (2.18)圖2.5 質點的加速度2.2 質點動力學質點動力學（kinetics of particles）用于建立作用于質點上的外力與質點運動參數量之間的關系。2.2.1力和加速度的關系根據牛頓第二定律，可以建立質點動力學基本方程。如下式 (2.19)其中作用力之和(N)；質點的質量(kg)；質點所產的加速度(m/s)。質點的受力圖和加速度圖如圖2.6所示。在這里，采用平行四邊形法則求合力，。圖2.

6、6 質點的受力和加速度2.2.2慣性坐標系慣性坐標系（Inertial coordinate system）是指滿足牛頓定律的坐標系，物體只有在不受外力或合外力為0的情況下才永遠保持勻速直線運動或者靜止狀態，也就是說物體產生加速度必須有力的作用。質點在慣性參考坐標系中的運動如圖2.7所示。圖2.7 慣性坐標系2.3 功、動能、勢能與能量守恒原理除了直接采用牛頓第二定律分析質點動力學問題之外，還可以采用動能量守恒原理進行分析。2.3.1 力做的功只有質點在所受的外力的方向上產生位移時，質點所受的力才可能做功（The Work of a Force）。如圖2.8所示，質點在起始位置受到一個豎直向上

7、的力F，該力使質點的位置由r移動到，那么質點的位移可以寫成，進而可以得到力F所做的功為 (2.20)圖2.8 質點受力圖在外力F的作用下質點由移動到或者由移動到，如圖2.9所示，則力F所做的功表述為如下積分形式： (2.21) 圖2.9 變力做功 圖2.10 重力做功對于重力做功的情況，如圖2.10所示，物體受到重力W的作用，沿著其運動軌跡s由位置移動到，在某個中間點，位移可表示為。再由重力矢量，可以得到：上式重力做的功還可以表示為如下形式 (2.22)由此可以看出，重力所做的功和質點的運動路徑無關，它等于重力的大小和豎直方向位移的乘積。在圖2.10所示的情況中，因為重力方向向下，而質點的位移

8、方向向上，重力所做的功為負值。對于彈簧力做功的情況，如圖2.11，如果一個彈簧長度被拉長，那么作用在拉長點上的彈簧力所做的功為。由于施加的拉伸力的方向和的方向相反，所做的為負功。假若質點位置由移動到，那么力做的功為： (2.23)如圖2.12所示的直線下面的陰影區域即為。 圖2.11 功的幾何表示 圖2.12 彈簧力做功 2.3.2 動能能量可以定義為做功的能力，如果想讓一個質點從靜止運動到速度為，那么就必須有力對它做相應的功。當速度為時，質點所具有的動能和力做的功是相等的，也就是說，動能是質點做功能力的一種度量。質點動能（Kinetic Energy of a particle）定義為： (

9、2.24)式中T質點所具有的動能(J)；m質點的質量(kg)；v質點瞬時速度(m/s)。功和動能的相同之處在于它們都是標量，單位都為J。不同點在于，功有正功和負功之分，而動能始終都不為負值。功能原理（The principle of work and energy）的表述為：當質點從起始位置移動到末位置時，質點在起始位置的動能加上作用在質點上的合力做的功的和等于質點的末動能。如下式所示 (2.25)式中起始動能J；作用在質點上的力所做的功(J)；末動能(J)。功能原理相當于對公式兩邊取積分，再把公式代入即可。對于用牛頓第二第律所表述的問題，功能原理提供了另外一種方便的解決方法。因為式(2.25

10、)包含了對質點進行運動分析的各個變量，而當涉及多質點系統時，由于功和能都為標量，可以直接把功和能進行代數相加得到質點系統的動能公式 (2.26)2.3.3 勢能如果質點的能量來源于自身所處的位置，大小由選取的固定基準或者參考平面決定，那這種能量就稱為勢能（Potential Energy）。在機械系統中，由重力或者彈簧彈力產生的勢能是進行動力學分析時非常重要的對象。（1）重力勢能如圖2.13所示，當y為向上正值時，質點的重力勢能可表示為： (2.27)（2）彈性勢能當彈簧被拉伸或壓縮，彈簧產生勢能。和重力勢能不同，彈性勢能始終都為正值，因為不管是拉伸或者壓縮，當回到初始位置時，彈力方向和彈簧活

11、動端位移方向始終相同，如圖2.14所示。彈簧彈性勢能可表示為： (2.28)式中彈簧彈性勢能(J)；k彈簧彈性系數(N/m)。 圖2-13 重力勢能 圖2-14 彈性勢能（3）勢能函數如果一個質點同時受到重力和彈力的作用，那么質點所具有的勢能可以用兩者求和的一個勢能函數表達： (2.29)的大小取決于質點自身的位置與相應勢能基準之間的位置關系。當質點由一點移動到另一點時，系統中保守力做的功可由下面公式求出： (2.30)保守力（conservative force）是指，如果一個力所做的功不取決于施力對象的運動路徑，僅取決于力的起始位置和末位置，那么就稱這種力為保守力。勢能衡量的是當把一個質點

12、從指定位置移動到基準位置時保守力所做的功。2.3.4 能量守恒定律當一個質點在一個既有保守力又有非保守力做功的系統中運動，保守力做的功可以寫成它們勢能的差值，由式(2.30)可得： (2.31)由此，功能原理公式又可寫成： (2.32)在這里，表示非保守力對質點做的功。如果僅有保守力做功，上式簡化成： (2.33)上式即為機械能守恒定律或者能量守恒定律。它表述了當僅有保守力做功時，質點的動能和彈性勢能總和不變，為了保持總能量不變，消失的動能必須轉化為勢能，反之亦然。2.4 剛體運動的描述方法2.4.1 剛體的平動當剛體（rigid body）運動時，如果剛體內任意一條給定的直線，在運動中保持它

13、的方向不變，這種運動稱為平動（Translation）。如圖2.15所示，A,B是剛體上任意兩點，剛體相對固定坐標系xoy做平動。圖2.15 剛體的平動剛體的位置為 (2.34)式中#B點相對于A點的位置矢量。剛體的速度定義為對式(2.34)進行求導得到 (2.35)由于的大小和方向都不變，所以，因此 (2.36)剛體的加速度定義為對式(2.36)求導 (2.37)2.4.2 剛體繞定軸的轉動當剛體繞固定坐標軸回轉時，剛體上任意點P做圓周運動，如圖2.16所示。為了分析這種運動，首先定義剛體關于定軸的角運動。 圖2.16 剛體繞固定坐標系的轉動角位置：如圖2.16中所示角的位置定義為從固定參考

14、線到r的角度。角位移：角位移是角位置的變化，用d表示，這個矢量的幅值為d，單位可以是度、弧度或轉速，方向用右手螺旋法則確定。角速度：角位置對時間的變化率是角速度，角速度的單位通常為rad/s。 (2.38)角加速度：角速度對時間的變化率是角加速度，方向取決于是增大還是減小，大小為 (2.39)如圖2.17所示，由于剛體繞定軸轉動，所以P點做以O為圓心r為半徑的圓周運動。圖 2.17 剛體上定點繞定軸的轉動位置與位移：P點的位置為矢量r，r從圓心O指向點P。如果剛體轉過d角，P點的位移為ds=rd速度：P點速度的大小可用ds=rd除以dt求得，方向沿P點的切線方向。 (2.40)P點速度的大小和

15、方向可由叉乘rP得到。rP為軸上任意一點指向點P的向量，如圖2.18所示，其方程為 (2.41)通過右手螺旋法則來確定v的方向，大小為rPsin,因為r=rPsin，所以v=r,與方程(2.41)一致。下面將rP換為r, r位于運動平面內由圓心O指向P，從而P點的速度為 (2.42) 加速度：P點的加速度可分為切向加速度和法向加速度，如圖2.18所示，由和得 (2.43) (2.44) 圖2.18 剛體上定點的加速度切向加速度表示P點速度對時間的變化率，如果P點速度增加，則at與v同向；如果P點速度減小，則at與v反向；如果P點速度為常量，則at為0。法向加速度表示速度方向對時間的變化率，an

16、的方向始終指向圓心O。和速度一樣，加速度也可由叉乘得到，將式(2.42)對時間求導，可得到 (2.45)再將和代入上式得 (2.46)上式右端第一項為切向加速度，第二項為法向加速度。2.5 剛體動力學2.5.1 平動坐標系下的運動描述如圖2.19，在固定坐標系XYZ下，剛體做平動和繞基點A的轉動，已知A點的速度vA和加速度aA, 以A點為坐標原點建立局部平動坐標系xyz來描述剛體上任意一點B的運動。圖2-19 剛體平動和繞基點的轉動位置的矢量關系式為 (2.47)式中：B點的位移；A點的位移;B相對于A的位移;則速度可以推導為 (2.48)式中：B點的速度；A點的速度;剛體繞A點轉動的角速度；

17、B相對于A的位移;加速度 (2.49)式中B點的加速度；A點的加速度;剛體繞A點轉動的角加速度。2.5.2 剛體運動的一般描述描述剛體運動最常用的方法是在固定坐標系下建立一個平動加轉動的局部坐標系，這種分析方法可以用來描述機構中不同單元上兩個點的運動，也可以描述當一個單元或兩個單元同時做曲線運動時二者的相對運動。如圖2.20，XYZ為固定坐標系，A點和B點的位置矢量為rA和rB，基點A為參考坐標系xyz的坐標原點，xyz相對于XYZ做平動和轉動。B相對于A的位置矢量為rB/A。圖2-20 描述剛體運動的坐標系所關注的位置用單位矢量表示為 (2.50)圖中三個位置矢量的關系方程為 (2.51)相

18、應地速度可以表示為下式，其中A點的速度為vA，加速度為aA，坐標系 xyz的角速度和角加速度為 (2.52)上式等號右邊第二項繼續推導為 (2.53)上式右端第一部分在坐標系xyz中記為(vB/A)xyz，第二部分中的di/dt、dj/dt由圖2.21可知 (2.54)圖2.21 式(2.53)第二項的坐標描述將這些表達式都代入方程(2.53)，可得 (2.55)因此，根據式(2.52)，得到剛體上一點的速度方程式為 (2.56)式中：B點的速度；在XYZ中觀察，局部系xyz的原點A的速度;在XYZ中觀察，局部系xyz的角速度；在局部系xyz下B相對于A的位移;B相對于A的位置。繼續推導，可以

19、得到剛體上一點的加速度表達式如下。首先，在XYZ中觀察B點的加速度，可以通過對式(2.56)求導得到 (2.57) 式中，是剛體在局部坐標系xyz的角加速度。由方程式(2.55)得到，因此 (2.58)又因為 (2.59)上式右端第一部分為在坐標系xyz中觀察的B點的加速度，記為(aB/A)xyz。第二部分由方程(2.54)可得，因此 (2.60)將以上結果都代入式(2.57)中，最后得到剛體一點的加速度表達式： (2.61)式中從XYZ中觀察B點的加速度；從XYZ中觀察A點的加速度；參考系xyz轉動的角速度和角加速度；從xyz中觀察B相對于A的速度和加速度；.B相對于A的位置。稱為Corio

20、lis加速度，是在轉動坐標系下觀察到的一項重要的加速度組成部分。2.5.3 剛體動力學（1） 平動方程用m表示物體的質量，用F和a分別表示作用于質點上的力和質點的加速度，則物體平動方程的矢量表達式為 (2.62)式中，對應的用三個標量式表達，則為 (2.63)（2）轉動方程 (2.64)此式表明質點（也包括剛體）對某一定點O的力矩之和等于關于O點的總角動量對時間的變化率。圖2.22 慣性參考系如圖2.22所示，XYZ為慣性參考系，參考系xyz的坐標原點為質心G，一般情況下G做加速運動，這樣xyz就不是慣性參考系，但是第i個微粒在這個坐標系下的角動量為 (2.65)其中，和為第i個微粒相對于質點

21、G的位移和速度，對上式求導得 (2.66)根據定義=，則等式右端第一項為0，又因為，所以上式可化為 (2.67)同理，可以得到其他微粒的表達式，對所有微粒求和得到 (2.68)這里表示物體關于G點總角動量隨時間的變化率。第i個微粒相對于G點的加速度，和表示在慣性系XYZ微粒于質心的加速度，從而 (2.69)由質心的定義，因此上式等號右端最后一項為0，由平動方程(2.62)知可用第i個微粒上的力替換，通過變形得 (2.70)2.5.4 角動量方程通過一些方程式來說明角動量，這些方程也為講述動量定理和沖量定理以及剛體的轉動方程提供依據。圖2.23 剛體的角動量描述如圖2.23所示，剛體的質量為m，

22、質心為G。XYZ為慣性坐標系。在這個坐標系中可定義關于任意點A的角動量，的方向為從坐標原點指向A，的方向為從點A指向第i個小微粒，如果微粒的質量為，則微粒i關于A點的角動量為 (2.71)代表在慣性坐標系中測得的微粒的速度，如果剛體的加速度為，那么點i的速度為 (2.72)因此 (2.73)將剛體的所有微粒加起來，我們得到積分 (2.74)關于固定點O的角動量：如果剛體上的A點為固定點，如圖2.24所示，則=0，式(2.74)可簡化為 (2.75)圖2.24 剛體關于固定點的角動量關于質心G的角動量：如果A為剛體的質心G，如圖2.25所示，則，式(2.74)可簡化為 (2.76)圖2.25 剛

23、體關于質心的角動量關于任意點A的角動量：通常情況下點A不是固定點O或質心G，如圖2.26所示，式(2.74)可表示為 (2.77)圖2.26 剛體關于任意點A的角動量角動量H的分解：為了能夠應用式(2.75)、(2.76)、(2.77)來計算，角動量應寫成標量形式，因此還需要建立坐標系xyz，相對于XYZ可以是任意方向，如圖2.242.26中所示。對于一般方程，如式(2.75)和式(2.76)中均含有如下形式 (2.78)在xyz坐標系中、可以表示為(2.79)從上式可以看到i、j、k各自分量中的積分式恰好為慣性矩和慣性積，因此我們得到 (2.80)2.5.5 慣性矩和慣性積的定義（1）慣性矩

24、剛體上一質量微元dm對于某一坐標軸的慣性矩定義為微元的質量與微元點到該坐標軸垂直距離平方的乘積。例如，圖2.27中剛體上一點dm關于x軸的慣性矩為 (2.81)對上式在整個剛體上進行積分就得到剛體的慣性矩Ixx，因此關于每個坐標軸的慣性矩為 (2.82)可以看出慣性矩是正值，因為它是對質量dm與距離平方的乘積求積。圖2.27 剛體上微元關于x軸的慣性矩為（2）慣性積微元質量dm關于兩個正交平面的慣性積定義為微元的質量與微元到兩平面垂直距離的乘積。例如，微元到yz平面的距離為x，到xz平面的距離為y，如圖2-27微元的慣性積dIxy為 (2.83)注意，這里dIxy=dIy。再對整個質量進行積分

25、，同樣可得到剛體關于其他平面組合的慣性積，如下式 (2.84)從上式可以看出慣性積與慣性矩不同，慣性積可能為正、負或0。其結果取決于所定義坐標的代數符號。（3）平行移軸定理平行移軸定理是計算物體轉動慣量的一條重要定理，即物體對任一軸的轉動慣量等于物體對通過質心的平行軸的轉動慣量再加上物體的質量與兩軸間距離平方的乘積。如圖2.28所示，G點在坐標系xyz中的坐標為xG、yG、zG則關于x、y、z軸的慣性矩為 (2.85)圖2.28 平行移軸定理用同樣的方法，可得到物體的慣性積的平行移軸公式 (2.86)（4）慣性張量物體的慣性特性可以用九個分量來完全描述，其中有六項是相互獨立的，用矩陣形式表示為

26、 (2.87)這個矩陣叫做慣性張量。對于點O我們通常定義一個特殊的坐標系，使物體的慣性積為0，這樣慣性張量變為一個對角矩陣 (2.88)在這里，Ix=Ixx、Iy=Iyy、Iz=Izz稱為物體的主慣性矩，對應的軸稱為慣性主軸，三個主慣性矩中包含了物體慣性矩的最大值和最小值。2.6 算例2.6.1 例題1如圖2.29所示，時，連桿的角速度為，角加速度為。此時，圓環C沿連桿向外滑下，當滑到時，相對連桿，圓環C的速度為，加速度為。求此刻圓環的科氏加速度以及速度和加速度。圖2.29 例題1（1）坐標軸如圖2.29所示，兩個坐標軸的原點都位于點O，因為圓環是相對于連桿運動的，所以圓環的xyz參照系在連桿上。（2）動力學方程 (2.89) (2.90)以向量矢量形式表達數據比以向量形式更為簡單。因此，已知條件可描述為如表2.1所示的形式。表2.1 例題1移動參考系的運動相對于移動參考系C的運動由定義得科氏加速度為：該矢量的方向如