1、12 振動是日常生活和工程實際中常見的現象。 例如：鐘擺的往復擺動,汽車行駛時的顛簸，電動機、機床等工作時的振動，以及地震時引起的建筑物的振動等。 利利：振動給料機 弊弊：磨損，減少壽命，影響強度 振動篩 引起噪聲，影響勞動條件 振動沉拔樁機等 消耗能量，降低精度等。3. 研究振動的目的研究振動的目的：消除或減小有害的振動，充分利用振動 為人類服務。 2. 振動的利弊振動的利弊：1. 所謂振動就是系統在平衡位置附近作往復運動。振動就是系統在平衡位置附近作往復運動。3 4. 振動的分類振動的分類： 單自由度系統的振動 按振動系統的自由度分類按振動系統的自由度分類 多自由度系統的振動 彈性體的振動

2、 按振動產生的原因分類按振動產生的原因分類： 自由振動： 無阻尼的自由振動 有阻尼的自由振動（衰減振動） 強迫振動： 無阻尼的強迫振動 有阻尼的強迫振動 自激振動4 實際中的振動往往很復雜，為了便于研究，需簡化為力學模型。質量彈簧系統振體5 運動過程中，使物體回到平衡位置的力稱為恢復力恢復力6 12-1單自由度系統無阻尼自由振動單自由度系統無阻尼自由振動 一、振動的微分方程一、振動的微分方程： 只需用一個獨立坐標就可確定振體的位置，這種系統稱為單自由度系統單自由度系統。物體受到初干擾后，僅在恢復力作用下的振動稱為無阻尼自由振動無阻尼自由振動圖示質量彈簧系統，以平衡位置為坐標原點，則xmFmg

3、)(stxkFststkmg變形：振體靜止平衡時彈簧的7 kxxkmgFmgxmst)( mkn2令02xxn 則：這就是質量彈簧系統無阻尼自由振動的微分方程。)/( 0 22lgnn 對于其他類型，同理可得。如單擺：單擺：8 復擺：復擺：)/( 0 22Jmgann 對于任何一個單自由度系統，以 q 為廣義坐標（從平衡位置開始量取 ），則自由振動的微分方程的標準形式：則自由振動的微分方程的標準形式：02qqn 解解為：)sin(tAqn)cos(tAqnn9 0022020arctg , qqqqAnn設 t = 0 時， 代入上兩式得：00 , qqqq 或：tCtCqnnsincos21

4、C1，C2由初始條件決定為nq CqC/ ,02 01tqtqqnnnsincos 0010n 圓頻率，振體在2秒內振動的次數。 n=2f n、f 都稱為系統的固有頻率或自然頻率A振體離開平衡位置的最大位移，稱為振幅n t + 相位，決定振體在某瞬時 t 的位置 初相位，決定振體運動的起始位置nT2T 周期，每振動一次所經歷的時間f 頻率，每秒鐘振動的次數，單位：HZ ， f = 1 / T11 無阻尼自由振動的特點無阻尼自由振動的特點： (2) 振幅A和初相位 取決于運動的初始條件(初位移和初速度)；(1) 振動規律為簡諧振動；(3)周期T 和固有頻率n 僅決定于系統本身的固有參數(m,k,

5、J)。四、其它四、其它 1. 如果系統在振動方向上受到某個常力的作用，該常力只影響靜平衡點O的位置，而不影響系統的振動規律，如振動頻率、振幅和相位等。 12 2. 彈簧并聯系統和彈簧串聯系統的等效剛度212121212211 , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并聯2121eq21212121k )11()11( kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串聯并聯串聯13 二、二、 求系統固有頻率的方法求系統固有頻率的方法st彈簧在全部重力作用下的靜變形對于質量彈簧這類系統，當振體靜止平衡時，有：stkmgstng于是： 無阻尼自由振動系統為

6、保守系統，機械能守恒。 當振體運動到距靜平衡位置最遠時，速度為零，即系統動能等于零，勢能達到最大值（取系統的靜平衡位置為零勢能點）。14 當振體運動到靜平衡位置時，系統的勢能為零，動能達到最大值。mgAAkVstst)(2122max2max21 kAVmgkst222maxmax2121nmAxmT如：)sin(tAxn設mkkAmAVTnn 2121 222maxmax得由由Tmax=Vmax求n的方法稱為能量法。151. 振動微分方程的標準形式振動微分方程的標準形式2. 靜變形法：靜變形法：3. 能量法能量法： 綜上所述，求系統固有頻率的方法有：綜上所述，求系統固有頻率的方法有：02qq

7、n stngst：集中質量在全部重力 作用下的靜變形n由Tmax=Vmax , 求出 能量法是從機械能守恒定律出發，對于計算較復雜的振動系統的固有頻率，用能量法來求更為簡便。16 例例1 圖示系統。設輪子無側向擺動，且輪子與繩子間無滑動，不計繩子和彈簧的質量，輪子是均質的，半徑為R，質量為M，重物質量 m ，試列出系統微幅振動微分方程，求出其固有頻率。17 解解：以 x 為廣義坐標，靜平衡位置為 坐標原點。02)(, 0)(RkgRmMFmstIgkmMst2在任意位置x 時：kxgmMxkFst22)2(靜平衡時：18 應用動量矩定理x：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmHI

8、I42)()()23( 212由 ， 有)(FmdtdHIIkxRxRmM4)23( 振動微分方程：固有頻率：mMkxmMkxn2380238 19 解解2 ： 用機械能守恒定律 以x為廣義坐標（取靜平衡位置為原點）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置為計算勢能的零位置，并注意輪心位移x時，彈簧伸長2xgxmMxkkxgxmMxkVststst)(22 )()2(2222因平衡時gxmMxkst)(222kxV 20 由 T+V= 有：constconstkxxmM222)23(21mMkxmMkxn2380238 對時間 t 求導，再消去 ，得x 2

9、1 例例2 鼓輪：質量M，對輪心回轉半徑，在水平面上只滾不滑，大輪半徑R，小輪半徑 r ，彈簧剛度 ，重物E質量為m, 不計輪D和彈簧質量，且繩索不可伸長。求系統微振動的固有頻率。21 , kk 解解：取靜平衡位置O為坐標原點，取C偏離平衡位置x為廣義坐標。系統的最大動能為：22 ) )()( ( )(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkVststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT以平衡位置為重力及彈性勢能零位置，則：23 設 則有)sin(

10、nAxnAxAxmaxmax , )(21 2)()(221max222222maxAkkVARrRmRMTn根據Tmax=Vmax , 解得222221)()()(rRmRMRkkn24 12-2 單自由度系統的有阻尼自由振動單自由度系統的有阻尼自由振動一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動過程中，系統所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時，介質粘性引起的阻尼力與速度的一次方成正比，這種阻尼稱為粘性阻尼。vR投影式：xRx 粘性阻尼系數，簡稱阻尼系數。 自由振動是簡諧運動，振幅不隨時間而變。但實際中振動的振幅幾乎都是隨時間逐漸減小的（也稱為衰減振動），這是因為有

11、阻尼。25 二、振動微分方程及其解二、振動微分方程及其解： 質量彈簧系統存在粘性阻尼：xkxxm 有阻尼自由振動微分方程的標準形式。02 2 , 22nxxnx mnmkn 則令26 其通解分三種情況討論： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mknn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振動的圓頻率則時設 , , , 0 00 xxxxt0022012220020tg ; )(nxxnxnnxxxAnn27 衰減振動的特點：(1) 振動周期變大， 頻率減小。mknnTnnd222221阻尼比當 時，可以認為nnTTnd1 28 (2) 振幅按幾何級數衰減 對數減幅系數：11lnnTenT

12、1)1(1nTintTitniieAeeAAA相鄰兩次振幅之比振幅：intiAeA)(222221 tn tnntnneCeCex)(nn2、大阻尼阻尼情形、大阻尼阻尼情形積分常數由C1、C2由運動的初始條件決定。29 物體的運動隨時間的增長而無限地趨向平衡位置，不再具備振動的特性。 所示規律已不是周期性的了，隨時間的增長，x 0，不具備振動特性。3、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數)(nnmkc2)(21tCCexnt（C1、C2由運動的初始條件決定） 綜上所述，系統受粘滯阻尼作用時，只有在系統受粘滯阻尼作用時，只有在nn的的情況下才發生振動，振動的周期較無阻尼時略長，而振幅情況下才

13、發生振動，振動的周期較無阻尼時略長，而振幅則按幾何級數遞減。則按幾何級數遞減。30 例例3 質量彈簧系統，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數 。20120212312121)(nTeAAAAAAAA解：解：201)(8 . 016. 0nTe22122020)8 . 016. 0ln(nnnTnsradgstn/3 .3101. 08 . 9得n=0.4（1/s）mNsnmmn/2 .128 . 91504 . 0222由31 12-3 單自由度系統的受迫振動單自由度系統的受迫振動 自由振動由于有阻尼的存在而逐漸衰減，但實際有很多振動并不衰減

14、，這時因為受到干擾力干擾力的作用。干擾力時對系統起著激振作用的力，它不依賴于系統的運動而給系統不斷地輸入能量，使其持速振動。比如：轉子的偏心、支撐點或懸掛點的運動等。 系統在干擾力的作用下的振動稱為受迫振動或強迫振強迫振動動。 干擾力的種類很多，我們只討論簡諧變化簡諧變化的干擾力：tHSsinH力幅：干擾力的最大值； 干擾力的圓頻率32 一、有阻尼情形一、有阻尼情形tHSxRkxFxxxsin , , tHxkxxmsin mHhmnmkn ; 2 ; 2令thxxnxnsin22 這就是有阻尼強迫振動微分方程的標準形式：二階常系數非齊次微分方程。其解為：21xxx1、振動微分方程及其解33

15、x1是對應齊次方程 的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、 積分常數，取決于初始條件）x2 是特解：)sin(2tBx代入原方程并整理22222222tg4)(nnnnhB 受迫振動的振幅 強迫振動相位滯后干擾力相位角振動微分方程的全解為34 )sin()sin(22tBtAexnnt 衰減振動 受迫振動（1）nn時（2）n=n時（3）nn時)sin()(21tBtCCexnt)sin()(222221tBeCeCex tnn tnnnt上述三式的第一部分很快就消失了。第一部分消失之前的運動稱為暫態響應，第一部分消失之后的運動稱為穩態響應。受迫振動指的是穩態響

16、應，其運動方程為：)sin(2tBxx35 2、有阻尼受迫振動的特點：（1）振動規律 ，為簡諧振動，不隨阻尼而衰減。)sin(tBx（2）與運動的初始條件無關。（3）頻率等于干擾力的頻率，不受阻尼影響。二、無阻尼情形二、無阻尼情形當n=0時，振動微分方程：thxxnsin2 對應齊次方程的解：)sin(1tAxn特解：)sin(2tBx當n=0時，有前述：0,22nhB36 方程全解：nn 阻尼比tBtAxxxnsin)sin(21三、幅三、幅頻曲線頻曲線 共振現象共振現象將受迫振動的振幅改寫為：22220)(4)(1 1nnBBkHmkmHhBn/20式中： 靜偏離：在干擾力力幅作用下，振體

17、偏離平衡位置的距離 37 于是：22220)(4)(1 1nnBB放大系數或動力系數 對于不同的阻尼比，可得一系列放大系數隨頻率比/n的變化曲線，稱為振幅頻率曲線，簡稱幅頻曲線。38 0, 1/ , 1/) 1 (BBnnn為何值無論時時時0.70 , 1/) 3(n阻尼對振幅影響顯著。一定時，阻尼增大，振幅顯著下降。222 , 0)( nddnn得由共振頻率20max12BB此時0, 0/ , 1/)2(Bnnn為何值無論時39 nBBBn22 00max有阻尼強迫振動相位總比干擾力滯后一相位角，稱為相位差。22)(12)(12tgnnnnnn一般較小，可以認為當=n時系統發生共振，此時四、

18、相四、相頻曲線頻曲線（4）n/n=0，即無阻尼情況，當=n時系統發生共振，B。40 (1) 在0 內變化。(2) 單調上升。 (3) 當/n0時， 0。(4) 當/n1（共振區）時，變化劇烈， /n=1時無論阻尼大小，=/2 。(5) 當/n 1時， =。強迫振動與干擾力反相。對于不同的阻尼比=n/n，可得一系列相位差隨頻率比/n的變化曲線，稱為相位差頻率曲線，簡稱相頻曲線。41 例例4 已知物體重P=3500N，k=20000N/m , 干擾力H=100N, f=2.5Hz , =1600Ns/m , 求B, ,強迫振動方程。解解：rad/s 58.1035008 . 92000022Pkg

19、mkeqnm 105 . 2200002100230kHkHBeq485. 158.105 . 222 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnnfnmn42 mm 84. 15 . 2736. 0736. 0485. 1212. 04)485. 11 (1)()(4)(1 102222222BBnnnn)847. 05sin(84. 1)rad( 847. 0)522. 0(arctg)(12arctg2txnnnn43 12-4 臨界轉速臨界轉速 減振與隔振的概念減振與隔振的概念 一、轉子的臨界轉速一、轉子的臨界轉速 引起轉子劇烈振動的特定轉速稱為