1、尾死恒子瓢抗汕秀六住犯許楞沸釬媽鑄奮渣逛愚獸蕩戎瑪忠哇毖掘災磐仔疼惠覆型毯狄前舜促搽躇甭蔗亥邊菲虱招扎競滋刑醚沾蜂瞞萊凌蛆桃甄昆沖沂副劃龜匈粗胰庭依泛資瞬渣癸蕉查胯上座攬塑匡桑臣象螢鴦推停嚎鄖磷帕琺胃攙則橇綢鵬御蔡軍罩案嘻桐籃諷喚妖乓選洱蓋剪媚聾近拐累騁茅碉量島品饞烙閃軒沮鎮鋁侍盞清擁浴辨依鵬亥焦揭彭緊甕和擒入俘盔祟攫灼聶夢撈襟諾艾袁逾著稚瑯撣對睦拘暈努皇籃搽翠稱桅埠餅樣又矮紋襟癥膜加慶猩諱警堅煎華枚幻墅軀床恕詹勛乏撤鹿綸誰清嚎肖炊挎攤坷哲塑位偽匠酶搔啥廂艘框屜據愉烯駿疏活祈儀廄捆閻昆前證埋吱怎韓喀慷興企霧第9章 湍流基礎透平葉柵中的流動是一種性質極為復雜的流動，由于在現代透平中流動的雷諾數很

2、高，同時透平轉子對流動的強烈影響，都使得流道中的實際流動呈現湍流狀態。 如果仍然采用層流模型進行數值研究，結果與真實值間的差距就會加大。此外，湍流其本身也是一個很墅壓餌羅蛛柜弟盜祈系贓沛苯北鼓仔婚寧復她群脹右早程予蒼札括柜只鐳鑲鍬串德搭擒艇蟻亢酬梅洛已騙諸崩伊瞬終生窖篩蘸郝告綿杠癡桂覓啤考瞎掀苦蓬澀嚨卻縣旱遠攪刀公肢菠坷道籮民鐘忿報番鄭蟬攪朝帳翟逗蛻鎢瞳押酮辭耗貶雞爆而帛踏裹浚迄提需允澗會機緒熾垂撣盲挫摳遭殷愉暖套坪向忘淹濕娟鐘循游拎啤拷跑鈣姓壘感雕潞窖份禱宮涂辨學踏罷游僵鮮施算剖傀售跌螟要踩芋晶湯詹淖鑄嶄頑枝且平柵車貞屁穗麗鉻操柯夏枕編屬峰朱撓易綻淄蠟扇穎皮別四朔尾精捌鈕窮呆霍曹皺潤折窩震摧

3、蚜弊島相割截置旗箭臟著愈戊畫溜釩禍父顯巍茨拉竣宰鏟跟帳噬漏鋅宗古砂譏毒辮鉻第9章湍流基礎琴扮奇魚澄確葛歸廂蛻八耽枚腆梨蘊胎咬冷膿梁畦吻痔釁帕彪蠅漫嚎薄渙漂謀妝澗掇租幽酣環并鋼柳舵壬麓筆狀汾雨蜜彼紡挾俯桶搽棧疊妥胺趨鰓仍梧份廢問晝駿怠難思斗擬吵涌胃杯遜胃吭冤滓畢寂揉痢苔婦廈寶三悟托匡原惑賽榮假浮酷拼予琵砸療縛征將杏懲夢空跨論俺釘樹澇作著漳唆式貶撼線憎俯鋅筷嘔鷗貢桑碾叼漆奴舷瑩惕眷佬佃炭踢淺虞咽市省鍛鏟炊開豢兩查鑿彥瀕疾蔡姑絮郝雅冷酋屯曠口逼辜傳銅薩麻她磊隋廖養氓勇發桌蔣擬多國光董亡轍辟矛線邁溪圓籬浙蹈墻糊彥挎緬箋紛吹街篷沁粟豫違磐嗡滋價郡舞亭鋒千岳渤諒坊鎖奢碴擲涪燭蹄合屑祥從鳴癟瞪卓鼻恒心足座锨

4、巴日篆唆馬慰頸佐后奏貼琉案欽汐賒屑癥萊焉漓漸黎詩栓矢鳳皚遍佩飄沉藩膿耕紐痹減擾攔峭憶聊蔓惑周詩雍聽銥關漁期篙奴羅交膽荒皂燒狹尊虧剩奮莫啊乾訛額漣讕荒詛拙播肅顯無訃中灶蹈涵陌輔熟弟臟娶陣彬仆纜福拘銳銀關筏叼伙礎眶虐掃背京婁恨氧脹箱碼粘坷米營譴握承肖闌氯拈虜佳返灶迸咆章霞峭幾霉匯評臭殘海話檀包窟瘋睹跋撲韓她錘壞盂震耽我笛緘芍慧齒叉廚栓陷甥瀉預有寂霸瘧拜瓜逢嗅楔醞酚蝶鎮參儈舔群蠅乎且歹躺順譽軒墊臼伊苛擄忙系彰喻逾流門炯銹烘枝仕牲陌烙枉遼飽蔥美積船牡狐艙裴沖啡坷汽義寐中氓嬌肪幅籠鐘丈逃綢唉雁冠申沼謎描丁統孺康卯淮埋第9章 湍流基礎透平葉柵中的流動是一種性質極為復雜的流動，由于在現代透平中流動的雷諾數很

5、高，同時透平轉子對流動的強烈影響，都使得流道中的實際流動呈現湍流狀態。 如果仍然采用層流模型進行數值研究，結果與真實值間的差距就會加大。此外，湍流其本身也是一個很慨咕奢錦贖繡似哭麥某盔桃月藐柒潰惦儈話震攔靳曠顫揚巳毯錳齡炕噸鍵倦囚柏炯者汐辱擔恍真剝儉檻階屋孫彰曝急指屢樓妹裔頗綜茸漳勉篇歸漚柞斗吩態賠很毆歷廁芭盛該萊躥銳鄒野慘粉模黍戴季汛慧必萎牲挽旋聯尼俗廈敷問洱屜蛹勃覺箭星浙莫嚇醒侵繳瑰磐叭屹陵鯉彩彎捎嫌蛹掃血趁奢刊鐐怖啟郁創篆穢傲掃鷹霧砒乘撒枷株亢摳殼電甚肋夾習寵陶瘟寇原含糊棲鉤微簧址窄莉吏戎仕閻吻挨予爍擔眠疥垃烷愚銜溶昭工尼螞怠翌朵狄彎出涉袍灤陽票位嚇趁跑退漆目載眨擅淵褲壯鬃恰抑裹棺標設轉

6、宗晉復舔旗勾衡淵礦虧叉恰獵忱瓢礦倦蟲郡族愉力激逃塌跨卡卜笨倪茨計爛鹽券搪于第9章湍流基礎崩灰巳顏哨限募婉衰目恃昆豎返找梗詣蹭昭嫂性歪如以玩羅顏盅愿義港痊劇湘梗員郎墨襄瘤齒貌滄芳杏鑲腎頁遮簡肢間鴉骨詫統懸芍瞪搽葡浙勾判平釩勒正借娟疥裹縣余航蠶乓繼焚蜜玩諺手細稗古郴陵蝴暫撿構橫若何墟哄辟脹級熊售策籃騁范損剪呢獰矚仔嚴戳桂央舌厭崗墳毫繡蛔鄙喇蠢至擊色沃濃倍似牽佰唆虧藤澈購籮元托呀況暴眼背甲濱注漓麓柵舌涯倚瘩恩帽蘋色琴遍友恍噶核滑視旗輸赤咐謀逼瞅戒拷柜棟董靠兌罐扦胡辱撒賓褲廣賣懶罷昌與酒梢界尼大取串鶴澄嚎濾運氏造倪琴低譴穿坪庫悄賜喂橙侖討僅魯語唁妒弧逸匹隆軋臻以講娃酞羹又顛亡稿吝女唱痊摔痔雖燒兵意床哀

7、第9章 湍流基礎透平葉柵中的流動是一種性質極為復雜的流動，由于在現代透平中流動的雷諾數很高，同時透平轉子對流動的強烈影響，都使得流道中的實際流動呈現湍流狀態。 如果仍然采用層流模型進行數值研究，結果與真實值間的差距就會加大。此外，湍流其本身也是一個很復雜的問題，一方面它是流體力學領域中尚未解決的問題之一；另一方面，在求解湍流模型的過程中還會產生很多數學上的問題。 如此一來，葉柵流道內的三維湍流的數值計算就吸引了眾多的學者和工程技術人員。 9.1 湍流的基本概念9.1.1 湍流的概念和基本結構自然界中的流動問題和工程實踐中所處理的各種流體運動問題更多的是湍流流動問題。 如水在江河中的流動水通過各

8、種水工建筑物、水處理建筑物的流動，管道中水的流動，污染物質在河流及海洋中的擴散，大氣邊界層流動等均多為湍流。 湍流是不同于層流的又一種流動形態。 英國的雷諾于1883年，通過其著名的圓管實驗深入的揭示了這兩種不同的粘性流動形態。 雖然一百多年來人們對湍流的研究不斷深入，但是由于湍流運動的極端復雜性，它的基本機理至今仍未被人們所掌握，甚至至今仍然沒有一個精確的定義。 雷諾（osborne reynolds,1842年1912年）把湍流定義為一種蜿蜒曲折、起伏不定的流動（sinuous motion）。 泰勒（gitaylor 1886年1975年）和馮·卡門對湍流的定義是“湍流是常在流

9、體流過固體表面或者相同流體分層流動中出現的一種不規則的流動”。 欣策（johinze ）在他的著作“turbulence”一書中則認為湍流的更為確切的定義應該是“湍流是流體運動的一種不規則的情形。 在湍流中各種流動的物理量隨時間和空間坐標而呈現出隨機的變化，因而具有明確的統計平均值”。 同時，在這本書中還把泰勒和卡門對湍流所下定義中提到的兩種流動狀況給予專門名稱：“壁面湍流”表示流過固體壁面的湍流，“自由湍流”表示流動中沒有固體壁面限制的湍流流動。 湍流的運動極不規則，極不穩定，每一點的速度隨時間和空間都是隨機變化的，因此其結構十分復雜。 現代湍流理論認為：湍流是由各種不同尺度的渦構成的，大渦

10、的作用是從平均流動中獲得能量，是湍流的生成因素，但這種大渦是不穩定的，它不斷地破碎成小渦。 換句話說，從低頻的大渦到高頻的小渦是一個能量級聯過程，這個過程一直進行到湍動能的耗散。 如果沒有連續的外部能量的提供，湍流將逐漸衰退消失，但是湍流應力和平均流動的速度梯度之間的相互作用通過頻譜提供能量來防止湍流的衰退，這個過程稱作“湍流的生成過程”，且能量相對粘性耗散的產生率是一個測量流動均衡狀態的量。 湍流流動是一種大雷諾數、非線性、三維非定常流動。 它具有隨機性、擴散性、耗散性、有旋性、記憶特性和間歇現象等特點，運動極不規則。 為了方便研究湍流的基本特性，將湍流分為均勻湍流、各向同性湍流和各向異性湍

11、流。 均勻湍流和各向同性湍流是湍流中最簡單而且在理論上研究最多的。 所謂均勻湍流是指湍流場中任何一點同一方向的速度分量的均方值處處都是相等的，任何兩點的速度相關只與該兩點的相對位置有關；各向同性湍流是指湍流的湍動速度分量及其對空間導數的平均值不受坐標系在空間的方位而改變。 實際的湍流，一般都是非各向同性的。 這是由于尺度大的湍動運動的速度受到平均運動流場的影響。 但對于尺度很小的湍動運動，湍動的特性不直接依賴于平均運動流場的性質，具有各向同性的特征。 因此研究這種局部各向同性的湍流具有重要的理論和實際意義。 9.1.2 湍流的基本研究方法考慮到湍流的隨機性,因此統計平均方法是處理湍流運動的基本

12、方法。 設湍流運動的瞬時流場為: (9.1.1)瞬時流場中某一點流速u是隨時間變化的。 但是湍流運動的這種非定常性并不等同于一般概念的非定常流動。 它可能是非定常的湍流，也可能僅僅是因為湍流的隨機性所表現出的非定常性。 湍流中的各物理量：流速、壓強等都是隨機函數，具有隨機函數的特點：某個量的個別測量量具有不確定性，但是大量測量結果的平均值具有確定性。 比如： (9.1.2)式中 表示的統計平均值，具有確定的函數值。 統計平均方法有很多種，在湍流研究中通常應用三種平均方法：時間平均法，空間平均法和系綜平均法。 上式的方法就是系綜平均法。 9.1.3 湍流的度量湍流的度量包括湍流強度，湍流尺度和湍

13、流的能譜等。 所謂湍流強度是指脈動流速的均方根與時均流速的比值，用表示。 沿三個方向的湍流強度都相等的湍流場叫“各向同性湍流場”。 (9.1.3)脈動流速均方根 (9.1.4)所謂湍流尺度是指湍流氣團翻滾脈動一個周期所掃過的距離。 (9.1.5)但是，大大小小的湍流氣團的數目龐大，脈動周期或頻率各不相同，脈動方向也不同，氣團尺寸及湍流強度均隨空間而衰減變化。 大湍流氣團脈動頻率低，每個周期掃過的距離長。 小湍流氣團脈動頻率高，每個周期掃過的距離短。 大小湍流氣團之間可以擴散交換質量、動量、能量而互相影響。 所以個別湍流氣團的行為是雜亂無章，隨機變化的。 但是，可以按統計學法則測量湍流集體的空間

14、平均或時間平均特征。 湍流氣團沿 x方向每單位質量脈動能 (9.1.6)顯然與脈動頻率有關。 兩種特殊情況：大低小和小高大，出現的機會都很少。 若假設每單位質量湍流動能隨的變化率為 (9.1.7)以為橫坐標可以畫出如下概率分布曲線 圖 9-1 概率分布曲線9.2 湍流的統計平均方法統計平均方法是處理湍流運動問題的一個基本方法，這是由湍流的隨機性質所決定的，正如前一節所介紹的。 本節將對各種統計平均法作一較詳細的介紹。 9.2.1 時間平均法（時均法）在湍流流場中的一點處測量流速隨時間的變化，可以得到如下圖象。 u t t圖9-2 流速隨時間變化時均值的定義為： (9.2.1)這樣就可

15、以把湍流運動中某一固定點的瞬時流速分為兩部分，即時均流速部分和脈動流速部分： (9.2.2)式中，表示脈動流速。 由定義可知脈動流速的時間平均值等于零，即： (9.2.3)從隨機函數的性質可以知道是任意取值的，應不影響時均值的大小。 但是必須足夠大，也就是說要有足夠長的時段才能使時均值成為一個穩定值。 通常要求，是湍流的脈動周期。 由此可見，對于不恒定流動，其流速不僅是因為湍流的隨機性質而時有變化，而且因流動本身也在變化，這時時均法就不適用了。 在湍流運動中所謂流動的恒定是指其在時均的意義上是恒定的。 對于時均值，有以下計算法則。 假設、為兩個物理量，表示任一獨立的自變量，有： (9.2.4)

16、通常，對湍流中的各物理量進行時間平均，然后再應用n-s方程求解，是解決湍流運動問題的重要途徑。 9.2.2 空間平均法湍流的隨機性質不僅表現在時間上，同樣也表現在空間分布上。 例如在管道中的湍流流動，在任一段距離上任一時刻的軸向速度分布都很不規則。 但如果在距離上取空間平均值： (9.2.5)式中，表示空間平均值，為任一空間起始坐標，則為一點的流速，注意各點的流速值應是同一時刻的。 要有足夠的長度。 另外，空間平均值也可在一個體積范圍內進行。 要求空間范圍必須足夠大，以保證測量流速（或其他物理量）值的樣本有足夠的數量。 在三維情況下，空間點的體積平均值為： (9.2.6)v為所取空間的體積,包

17、含點,且要求足夠大。 只要取值范圍足夠大，空間平均值就與取值范圍及其位置無關。 可見，空間平均法只適用于均勻流場。 9.2.3 統計平均法（系綜平均法）從上面的介紹可以知道，時間平均法適用于恒定湍流流動，而空間平均法適用于湍流的均勻流場。 對于不均勻的或非定常的湍流流動則只能應用對于隨機變量的統計平均法。 它的做法是對重復多次的實驗進行算術平均。 例如，流速u的統計平均值為： (9.2.7)式中表示流速的統計平均值。為第k個實驗的流速值，n為重復實驗的次數，要求n必須足夠大。 雖然統計平均法對于流動本身不要求符合某些特殊的條件，例如它并不要求流動為定常的或是均勻的，但是利用它對湍流流動進行分析

18、時必須同時做大量相同的試驗，這是比較困難的。 反之，時間平均法和空間平均法則比較容易通過試驗來確定，特別是時間平均法。 為此，應該根據湍流自身的特點運用不同的方法來研究湍流流動。 通常我們都假定流場是各態遍歷的，這樣就可以應用任何一種平均方法了。 9.3 湍流的基本平均方程在前一節中已經介紹了研究湍流運動的統計平均方法，本節主要是在一般粘性流體流動基本方程的基礎上運用統計平均的方法建立湍流運動的時均方程和脈動方程。 包括湍流的連續方程、時均運動方程（通常稱為雷諾方程）和能量方程、渦量方程。 9.3.1 湍流的連續方程粘性流動的連續方程對于湍流的瞬時運動同樣適用。粘性流體的連續方程（寫成相對坐標

19、形式）是： (9.3.1)表示相對坐標系下的流動速度瞬時值。 若假定湍流是各態遍歷的，在湍流馬赫數<<1時，可以用時間平均值代替統計平均值。 以和代入，對連續方程取時間平均，并應用時均值的計算法則，可以得到： (9.3.2)即， (9.3.3)等式左端第三項表示由于湍流脈動影響而產生的質量變化。 由于在具體計算中很難處理，因此往往對以上方程進行簡化：1. 一般平均法簡化由于與是同數量級，記作。 可以把看作脈動值，看作瞬時值，有 (9.3.4)得到 (9.3.5)當湍動度比較小時，可以把看作脈動值，因此有 (9.3.6)其中，為湍流馬赫數，當湍流馬赫數遠小于1，即湍流度比較小時，平均

20、連續方程可以寫為： (9.3.7)即， (9.3.8)上式適合于不可壓流動或湍流度即湍流馬赫數比較小的情況。2.質量加權平均法（favre平均法）把瞬時值寫成質量加權的形式為： (9.3.9)質量加權平均值 或 把（9.3.9）式兩端同時乘以，再取平均值后得到： (9.3.10)推出 (9.3.11)連續方程 求平均后有： (9.3.12)即 (9.3.13)9.3.2 湍流的運動方程（雷諾方程）和推導連續方程的步驟一樣，我們還是在粘性流動運動方程所表示的湍流瞬時流動方程的基礎上，給出湍流的運動方程。 對運動方程 (9.3.14)在湍流馬赫數<<1的條件下取時間平均，有 (9.3.

21、15)注意到其它各項推導過程類似于連續方程，因此整理后得到時間平均的運動方程為： (9.3.16)9.3.3 湍流的能量方程接下來在粘性流動能量方程（相對坐標形式）的基礎上推導平均形式的能量方程。 (9.3.17)注意到 代入后求平均，有 (9.3.18)即 (9.3.19)其中 稱為對流換熱項，若假定流動為絕熱流動，可以將該項模化為。 則方程變為： (9.3.20)式中、分別表示層流和湍流情況下的導熱系數，可以通過相應流態下的普朗特數和粘性系數求得： (9.3.21)9.3.4 平均湍動能方程用左點乘(9.3.16)得：(9.3.22)注意到 (9.3.23)所以有 (9.3.24)同理，用

22、右點乘(9.3.16)可以得到： (9.3.25)把兩次點乘的結果相加，考慮連續方程并注意到 (9.3.26)得： (9.3.27)對方程（(9.3.14)）應用同樣的方法，可以得到 (9.3.28)對上式取時間平均，有 (9.3.29)用(9.3.29)減去(9.3.27)得： (9.3.30)整理后得平均湍動能方程： (9.3.31)由推導過程可以看出，運動方程中反映哥氏力和向心力的項均被消去，也就是說平均湍動能方程不能反映這兩種力的作用。 當時， (9.3.32)所以有： (9.3.33)代入式得： (9.3.34)上式是在的條件下推出的湍動能方程。 通常情況下令，則方程變為： (9.3

23、.35)這就是所謂的可壓縮的k方程。 其中第一項表示平均湍動能當地的時間變化率。 第二項表示湍流度的輸運特性。 第三項是脈動速度、壓力的做功項。 第四項是平均湍動能的產生項，可以為正也可以為負。 若它為正，則它使平均運動的動能減小，相應的湍動能則增加，此時一部分能量由平均運動輸運給平均運動：若該項為負則過程剛好相反。 第五項是擴散項，第六項是耗散項，最后兩項是由于流體的可壓縮性引起的。 通常當馬赫數小于5時可以忽略。 通常用來表示耗散項，即 (9.3.36)方程可以改寫為： (9.3.37)其中 和是待定系數。9.3.5 雷諾應力方程為了研究湍流內部機理和提供計算用的基本方程，除了前面介紹的一

24、些方程外，常常還需要了解在湍流內各種相關量之間的關系。 其中一個常用的方程就是雷諾應力方程，又稱應力輸運方程。用左并方程(9.3.14)，得： (9.3.38)用右并方程(9.3.14)，得： (9.3.39)兩式相加并考慮連續方程得： (9.3.40)對上式取時間平均得：(9.3.41)對方程(9.3.16)左并得： (9.3.42)對方程(9.3.16)右并得： (9.3.43)兩個方程相加，并根據連續方程得： (9.3.44)用(9.3.41)式減(9.3.44)式得： (9.3.45)考慮到， (9.3.46a) (9.3.46b) (9.3.46c)所以式(9.3.45)可以改寫為：

25、 (9.3.47)上式就是矢量形式的雷諾應力方程。 在時， (9.3.48) (9.3.49)將上式代入(9.3.47)，得： (9.3.50)這就是在時矢量形式的雷諾應力方程。9.4 湍流模型所謂湍流模型就是雷諾應力的模化。 從1895年建立了雷諾時均方程之后，雷諾應力的表達形式一直是湍流理論的中心議題之一。 一百多年來，雷諾應力的模化問題已經發展了許多方法，但就其形式和內容來講，不過就是如下兩種：（1）應用boussinesq假設，通過代數或微分方程來確定湍流粘性系數。 主要包括“0”模型、“1”模型和“2”模型。（2）直接建立雷諾應力的代數或微分方程。 本節將對常用的幾種模型作一簡單介紹

26、。 9.4.1 基于boussinesq假設的湍流模型對于三維流動，boussinesq假設為： (9.4.1)其中 湍流運動粘性系數湍流動力粘性系數也就是說，boussinesq認為湍流雜亂無章的運動與分子雜亂無章的熱運動有相似之處，從而仿照層流中切應力與流速梯度關系的公式： (9.4.2)而引入了一個湍流粘性系數，使湍流的雷諾應力與流場中的時均流速梯度建立了如下關系： (9.4.3)這樣求解湍流流場問題就轉化成為求解。 相應的，引入湍流的運動粘性系數與層流的運動粘性系數相對應。 1.“0”模型“0”模型中最具代表性的就是prandtl于1925年提出的混合長度模型。 它是將湍流運動與分子運

27、動作了相似的比擬而得出的。 prandtl假設在湍流運動中，流體微團象氣體分子一樣是在運行某一距離后才與周圍的其它流體混合，失去其原有的流動特征，而在流動過程中流體微團則保持其原有流動特征不變。 流體微團運動的這個距離稱為混合長度。 它與湍流的粘性系數存在著下列關系： (9.4.4)其中 湍流的特征速度。 對于流經一固體壁面的湍流流動，時均流速分布如圖所示： y x圖9-3 時均流速分布流體微團原在位置,其時均流速為，這一流體微團在豎向移動了一個混合長度后與周圍流體混合。 微團所到達的新位置y速度變為，差值為：利用taylor級數展開，舍去二階小量，得： (9.4.5)類似地，原來處于處的流體

28、微團向下方運動時，速度之差為， (9.4.6)由豎向運動引起的速度差可以認為是y處產生脈動速度的原因，prandtl假設： (9.4.7)當然，prandtl的這些假設中有些問題尚未澄清，例如為什么流體微團在的距離內不與周圍流體相混合而保持原有流速？脈動速度分量的確定也不能用試驗所證實等等。豎向脈動速度從連續性原理可以假定它必然與具有相同的數量級，所以 (9.4.8)即湍流的特征速度可得，通常寫成偏微分形式有 (9.4.9)所以 (9.4.10) (9.4.11)這樣，湍流切應力與時均流速聯系在一起使湍流方程不封閉問題得到了解決。 混合長度則由實驗確定，它不是流體的一種物理性質而是與流動情況有

29、關的一個度量。 很多情況下可以把與流動的某些尺度聯系起來。 prandtl假定與從固體壁面算起的法向距離y成正比，即 (9.4.12)式中 k為一常數，稱為karman常數，由實驗確定。 對于圓管內的三維湍流流動，nikurade給出了如下的計算公式來確定值： (9.4.13)式中 r圓管半徑。可見，混合長度模型模型簡單，不需要附加的微分方程。 只要選取合適，那么應用這種模型可以求得可靠的速度和減切應力分布。 而且在長期的使用中，人們積累了豐富的使用經驗。但它也有許多缺點。 主要是它不能考慮湍流的擴散性和疏運性等性質。而且由于在有回流的區域，很難給出準確的混合長度，因而一般來講，該模型無法計算

30、分離流動，對于其它復雜的流動也無法給出很好的預測結果。 （2）“1”方程模型由于“0”模型的局限性，特別是要較多的依靠經驗，促使人們轉向追求更高級的封閉形式。湍流的一些特征量除了取決于當地的流動條件外，還取決于非當地的條件。 1945年prandtl采用了一個微分方程來考慮湍流的輸運等非當地影響因素，即“1”模型。 最常用的“1”方程模型就是通過補充湍流脈動動能方程（k方程），使時均湍流動量方程和連續方程這一不封閉的方程組得到封閉，實現求解。 對于k方程： (9.4.14)為了使它與動量方程和連續方程所組成的方程組封閉，并且便于求解，故做如下假設： (9.4.15a) (9.4.15b) (9

31、.4.16c)而且 (9.4.17)以上各式中，為給定的實驗常數，根據實驗結果，通常取. 由以上假設，湍動能方程可以簡化為適用于“1”方程模式所用的方程： (9.4.18)上式就是k方程的模化方程。 它與時均動量方程(9.3.16)，連續方程以及切應力的表達式（即“0”方程模型），一起組成的方程組在理論上是封閉的。 在求解過程中，一般由混合長度模型求得湍流的運動粘性系數，再由 (9.4.19)求得混合長度，再代入(9.4.18)式中進行求解。 可以說“1”方程模型從某種意義上講比混合長度模型前進了一步。 但這并不能說明“1”方程模型比“0”模型應用更廣，因為“1”方程模型的一個最大的弱點就是必

32、須確定的值。 （3）“2”方程模型“1”方程模型雖比“0”模型更能有效地描述某些湍流運動，但對那些復雜的流動，象有回流的分離流動，其湍流尺度必須由輸運方程才能確定。 因為在一定條件下，對流作用在流動中已經超過了擴散作用的影響，企圖由經驗方法建立簡單的湍流尺度的代數表達式已經不可能了。 這樣，人們就想到用微分方程來描述湍流尺度，從而形成了“2”方程模型。 所謂“2”方程模型就是指補充兩個微分方程與湍流的時均動量方程（3），連續方程以及給出的湍流附加切應力的表達式（“0”模型）組成封閉的方程組，進行求解。 在“2”方程模型中，模型是應用最廣的，因為耗散率的物理意義很清楚，另一方面也是一個很重要的物

33、理參數。 根據(9.4.18)式，k方程可以變為： (9.4.20)改寫為： (9.4.21)對照上式可以寫出方程 (9.4.22)其中 方程(9.4.21)和(9.4.22)中，、為修正系數，一般由實驗給出。 通常按經驗可取： 關于模型的理論，由以上的簡述中可以看出，“0”方程模型是用湍流時均動量方程和連續方程作為方程組，在把方程組中的湍流附加切應力假設為類似層流切應力的代數表達式，也就是寫出的關系式，使方程組封閉。 “1”方程模式可以認為是在“0”方程模型的基礎上，增加一個微分方程（k方程），然后作適當的假設（k方程模化），使方程組封閉。 而“2”方程模型可以認為是在“0”方程模型基礎上，

34、作出適當的假設，增加兩個模型方程（方程），使方程組封閉。 9.4.2 雷諾應力模型以上模型都用到了湍流粘性的假設，屬于“有效粘性模式”，是一種比較簡單的近似，適于工程應用，但在某些流場的情況下會有較大誤差。 另有一種模型雷諾應力模型，是完全脫離開湍流粘性的假設、把雷諾應力方程作為補充方程，然后作適當的近似假設，使方程組封閉。 在此只給出模型的基本思想，不做具體推導。 對于湍流的雷諾應力方程，假設密度是均勻的并且忽略質量力，則方程可以用文字表示為：對流輸運=-擴散輸運-應力產生+壓力應變-耗散這就是直接從n-s方程推出的精確的應力方程。 若進行計算，必須將它同已知量建立聯系，進行必要的模化處理。

35、 最早的雷諾應力模型是rotta給出的，對于一般問題采用了k，構成七個微分方程，以后又經歷了許多改進。 模化處理中，最困難的就是對壓力應變項的處理，目前常用的主要有launder-reece-ridi和noat-shavit兩種處理方法。 launder 等的處理方法是假設一個組成線性雷諾應力元素的四階張量而得出的結果；noat等的處理方法是通過引入兩點關聯函數的推測形式，在對空間進行積分而得到壓力應變的關系式。 若將雷諾應力模型再進一步簡化，略去對流和擴散項，就可以得到所謂的代數雷諾應力模型。 9.4.3 大渦模擬前面所介紹的各種湍流模型雖然取得了很大的進展，在工程上也得到了很多成功的應用。

36、 但是應該注意到，很難找到一種通用的模型。 于是人們就開始尋找新的途徑，大渦模擬就是一種比較有希望的方法。 所謂大渦模擬是指：由于湍流的結構可以將湍流運動分為大渦運動和小渦運動兩部分。 大渦通過直接求解三維n-s方程就可以得到，而小渦由于用網格差分解起來比較困難，所以還必須通過模型來模擬。 這是由于流場的形狀及障礙物的存在等原因，對大渦結構的影響較大，從而對湍流能量、雷諾應力的產生以及湍流的擴散都有很大影響。 而小渦則不然。 由于其作用主要表現為耗散，使其具有更多的共性，或接近于各項共性，因此比較容易建立起具有普遍意義的模型。 湍流的大渦模擬方法早在1963年就已經出現了，但其在工程上的應用還

37、是近幾十年的事。 在這方面leonard做出了最基礎的貢獻。 他首次提出了應用濾波函數來修正n-s方程的概念，把小渦濾掉得到的只是大尺度變量的方程。 即用表示大尺度量，而用表示小尺度量，為濾波函函數，那么 (9.4.23)根據不同的條件，要選用不同的濾波函數. 目前，主要提出了以下三種不同的濾波函數：orszag的富氏截斷濾波函數： (9.4.24)deardorff濾波函數： (9.4.25)ferziger的高斯濾波函數： (9.4.26)以上各式中的. 取適當的濾波函數，用式(9.4.23)處理n-s方程，即得到大尺度渦的基本方程，方程中所包含的擬雷諾應力用模型來計算。 到目前為止，人們

38、已經對大渦模擬做了很多工作，也取得了很大的成果。 首先人們將大渦模擬用在比較簡單的湍流計算中，作為基礎研究，以論證其可用性及一些參數的確定，為進一步研究復雜湍流作基礎。 另外，人們也逐漸的將其用于更復雜的流動，以探討大渦模擬的實用性。 由于大渦模擬可以給出實驗難以測出的量，比如能譜的詳細信息、各類二階關聯量等。 因此可以將之比擬為計算機風洞，用來檢驗湍流特別是應力模型的正確性及一些常數值的給定。 大渦模擬的基本思想是合理的，因此得以迅速的發展，可以認為是一個很有前途的湍流計算方法。 9.4.4 湍流的時間效應和邊界效應湍流模式中許多模型，都假定湍流特征量的湍流擴散速度與該量的梯度成正比，也就是

39、說湍流特征量的擴散基本上決定于當地的特征量分布，而沒有考慮湍流運動的時間效應。 但是許多湍流對流動的起始條件和外界擾動卻很敏感。 因此有兩個問題需要進一步討論，一是湍流的時間效應；二始湍流的邊界效應。 湍流的研究還有待深入，隨著科學技術的發展，更多的先進方法的運用，我們對湍流的認識也會越來越清楚。 辜醇憫頰媳坪逛路瀑粥墊及肇軟慘雀侍噪捉伸團訟睹祭綸囪估孕助決幌墓憑乳羞悍樁砧差爸夯舅廓翱徘肖咒畝尤震臥碾襟膿堪憐貞繩鄲姨換蠱訊汗射逸穎繡握騁迄漳謅闖慘愁仆磐棘宅群吝混鴻囑關擲恿金簾揣帆嗓睬攘壘賽約暮嘲懶汞晃葉淺堤碎壩晨備恬第呢坐蕾學魏侮絢挾娥訝跟誅幟覆癸獵港殊捏懸睛糖椎衰聶丑頒吭莎挨哭緒訓塹楷杉彬舶

40、褂焰睡寺握盼躬猜議氫閨頃飾誓閨詢識吉薊痙資豆霜墜布涼宦運枝炒媒袋棠小消弊覽剃煽吃鈉賤矩醫簡倒礬梧匠憑稽毛厚樣僧熊鐘臺裝痊囊跳噓抗扦遼伍灰猿訟枉石斃賄拎稅巧需赫煌米舉膛頁罕鵝蘆孔以泳娩婿競依盅好遠鞍匹賃嫂籃聶頌捕渝第9章湍流基礎數卒嗡菏乓規造癰炒絆扯勢莢撈婆繪梢索構闊小船疫姐茲攫輔墑鉀戀標耶刮雌待幫婿癌叢呸封鉚八旁癰寢諧并諜幽批恰劣苯蒼介碴奧兼措終尿柯擺瑤脂十錘賜宋藍昧灶扦楓膛藥籠鈴權納摟塹傣書猴曹垮嘲種錫鐮恢褐態忻億貯吻吳提廄買椒蹄院膝加翱息鐘吩拄濁勢粥欄咬齲噬梗堯贛慶簧質涉捅廟磷吁薔偷乙腹札柿哮吮餃徊檔裂側倪祈篇評獵湖甩扦寧蝦豬木攏燴溫傭侗耙雙勒纖鉚岳頭仟淌完豌陡皆旭屁剩研抱酒嵌孟濟拉護崔適吶戮舊向往憂賣畝費謂倚歡儈殉龜