1、第一章勾股定理【知識點歸納】1、已知直角三角形的兩邊，求第三邊勾股定理 2、求直角三角形周長、面積等問題3、驗證勾股定理成立1、勾股數的應用勾股定理 勾股定理的逆定理 2、判斷三角形的形狀3、求最大、最小角的問題 1、面積問題2、求長度問題勾股定理的應用&最短距離問題4、航海問題5、網格問題6、圖形問題考點一：勾股定理(1)對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為 a、b,斜邊為c,那么一定有a2 b2 c2勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。(2)結論：有一個角是30°的直角三角形，300角所對的直角邊等于斜邊的一半。有一個角是45°的直角三

2、角形是等腰直角三角形。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。(3)勾股定理的驗證ba例題：例1:已知直角三角形的兩邊，利用勾股定理求第三邊(1)在 RtzXABC中，/ C=90若 a=5, b=12,貝U c=;若 a=15, c=25,b=;若 c=61, b=60,a=;若 a ： b=3 ： 4, c=10 貝U RtzXABC的面積是=(2)如果直角三角形的兩直角邊長分別為n2 1, 2n (n>1),那么它的斜邊長是(A 、2nB n+1G n21(3)在RtzXABC中，a,b,c為三邊長，則下列關系中正確的是()222222A. a b c B. a c bC. c2 b2

3、 a2 D.以上都有可能(4)已知一個直角三角形的兩邊長分別為 3和4,則第三邊長的平方是()A 25B 14G 7D 7 或 25例2:已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關系利用勾股定理求周長、面積等問題。(1)直角三角形兩直角邊長分別為 5和12,則它斜邊上的高為 。(2)已知 RtzXABC中，/ C=90° ,若 a+b=14cm c=10cm)則 RtzXABC勺面積是()2222A 、24cmB、36 cm G 48cm D 60cm(3)已知x、y為正數，且I x2-4 | + (y2-3) 2=0,如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形, 那么以這個直角三角形的斜邊

4、為邊長的正方形的面積為()A 5R 25C 7D> 15例3:探索勾股定理的證明有四個斜邊為c、兩直角邊長為a,b的全等三角形，拼成如圖所示的五邊形，利用這個圖形證 明勾股定理。考點二：勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有關系，a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形。(2)常見的勾股數：(3n,4n,5n ),(5n,12n,13n) , (8n,15n,17n) , (7n,24n,25n) , (9n,40n,41n).(n為正整數)(3)直角三角形的判定方法：如果三角形的三邊長a,b,c有關系，a2 b2 c2,那么這個三角形是直角三角形。有

5、一個角是直角的三角形是直角三角形。兩內角互余的三角形是直角三角形。如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。例題：例1：勾股數的應用(1)下列各組數據中的三個數，可作為三邊長構成直角三角形的是()A. 4 , 5, 6 B. 2, 3, 4 C. 11, 12, 13 D. 8, 15, 17(2)若線段a, b, c組成直角三角形，則它們的比為()A、2：3：4 B、3：4：6 C、5： 12： 13 D 、4：6：7例2:利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀(1)下面的三角形中：ABC, / C=/ A /B;ABC, / A: /B: /C=1: 2: 3;A

6、BC, a： b: c=3: 4: 5;ABC,三邊長分別為8, 15, 17.其中是直角三角形的個數有().A. 1個 B .2個 C .3個 D .4個(2)若三角形的三邊之比為 叵二:1 ,則這個三角形一定是()22A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D. 不等邊三角形(3)已知a, b, c為AABCE邊，且滿足(a2 bj(a 2+b2 c2)=0,則它的形狀為()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形(4)將直角三角形的三條邊長同時擴大同一倍數，得到的三角形是()A 鈍角三角形 B. 銳角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形(5)若 A

7、BC勺三邊長a,b,c滿足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c,試判斷 ABC的形狀(6) AABC的兩邊分別為5,12,另一邊為奇數，且a+b+c是3的倍數，則c應為三角形為例3:求最大、最小角的問題(1)若三角形三條邊的長分別是7,24,25 ,則這個三角形的最大內角是度。(2)已知三角形三邊的比為1： 5.2,則其最小角為考點三：勾股定理的應用例題:例1:面積問題(1)下圖是株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形AB G D的邊長分別是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是(A. 13B. 26C. 47 D. 94(圖1)(圖2)(

8、圖3)(3)如圖，ABE直角三角形,分別以AB, BG AC為直徑向外作半圓，用勾股定理說明三個半圓的面積關系，可得()A. Si+ S2> S3B. S 1+ S2= S3C. S2+S< SiD.以上都不是(2)如圖所示，分別以直角三角形的三邊向外作三個正三角形，其面積分別是Si、&、則它們之間的關系是()A. Si- S 2= S3B. Si+ S2= S3C. S2+SV SiD. S2- S 3=S例2:求長度問題(i)小明想知道學校旗桿的高，他發現旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發現下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。(2)在一棵樹10m

9、高的B處，有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹 20m處的池塘A處；？另外一只爬到樹頂D處后直接躍到A外，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等， 試問這棵樹有多 高？例3:最短路程問題(1)如圖1,已知圓柱體底面圓的半徑為高為2, AB, CD分別是兩底面的直徑，AR BC是母線，若一只小蟲從 A點出發，從側面爬行到 C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是 (結果保留根式)（圖1）(2)如圖2,有一個長、寬、高為3米的封閉的正方體紙盒，一只昆蟲從頂點 A要爬到頂點B,那么這只昆蟲爬行的最短距離為（圖2）例4:航海問題(1) 一輪船以16海里/時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以 12海里

10、/時的速度從A港向西北方向航行，經過1.5小時后，它們相距 海里.(2)如圖1,某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從 A處運往正東方向的M處，在點A處 測得某島C在北偏東60。的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此時又測得該島在北偏東300 的方向上，已知在C島周圍9海里的區域內有暗礁，若繼續向正東方向航行，該貨船有無暗礁危險？ 試說明理由。（圖1）(3)如圖2,某沿海開放城市A接到臺風警報,BC方向以15km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離AD=100km那么臺風中心經過多長時間從B點移到D點？如果在距臺風中心30km的圓形區域內都將有受到臺風的破壞的危險，正在 D 點休閑

11、的游人在接到臺風警報后的幾小時內撤離才可脫離危險？例5:網格問題(1)如圖，正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,則網格上的三角形 ABC中，邊長為無理數的邊數是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3(2)如圖，正方形網格中的 ABC若小方格邊長為1,則 ABC是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.以上答案都不對(3)如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則四邊形ABCD勺面積是()A. 25 B. 12.5C. 9D. 8.5（圖1）CA（圖3）（圖2）例6:圖形問題(1)如圖1,求該四邊形的面積(2) (2010四川宜賓)如圖2,已知,在 ABC中，/ A= 45,AC

12、 ；2AB=43+1,則邊BC的長為*（圖1）(3)某公司的大門如圖所示，其中四邊形A BCD是長方形，上部是以AD為直徑的半圓，其中AB =2.3 m , BC =2m ,現有一輛裝滿貨物的卡車， 高為2.5 m,寬為1.6 m,問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由(4)將一根長24 cm的筷子置于地面直徑為5 cm,圖為12 cm的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長為h cm,則h的取值范圍。 【培優提高】1 .如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊 AO6 cm、BO8 cm, 現將AAB時疊，使點B與點A重合，折痕為D則BE的長為 (A) 4 cm(B) 5 cm(C) 6 c

13、m (D) 10 cmC2 .如圖所示，在 RtAABC, / C= 90° , / A= 30° , BD 是/ABC 的平分線，C* 5 cm,求 AB 的 長.3 .3 .如圖，正方形網格中的每個小正方形邊長都是1,每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形：使三角形的三邊長分別為3、枇、亞(在圖甲中畫一個即可)；使三角形為鈍角三角形且面積為4 .下列四組線段中，可以構成直角三角形的是()A.1 , 2, 3B.2, 3, 4C.3, 4, 5D.4, 5, 65 .在ABC, AB=6 AC=8 BC=10 則該三角形為()A銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形.等腰直角三角形6 .已知 ABC是邊長為1的等腰直角三角形，以RtzXABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個等腰 RtA ACD再以RtzXACD勺斜邊AD為直角邊，畫第三個等腰 RtAADIE,依此類推，第n個等腰 直角三角形的斜邊長是.7 .如圖，每個小正方形的邊長為1, ABC的三邊a,b,c的大小關系式:（A） acb（B） abc（C） cab（D） c b a8 .（本題滿分10分）問題情境勾股定理是一條古老的數學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數學家趙爽根據弦圖，利用面積法進行證明，著名數學家華羅庚曾提出把“數形關系”（勾股定理）帶到其他