1、1生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)例1 某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。(1)要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案?請你設(shè)計(jì)出來；(2)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品獲總利潤是y(元)，其中一種的生產(chǎn)件數(shù)是x，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明(1)中的哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大?最大利潤是多少? (98年河北)解 (1)設(shè)安排生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品是(50-x)件。由題意得

2、解不等式組得 30x32。因?yàn)閤是整數(shù)，所以x只取30、31、32，相應(yīng)的(50-x)的值是20、19、18。所以，生產(chǎn)的方案有三種，即第一種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，B種產(chǎn)品20件；第二種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，B種產(chǎn)品19件；第三種生產(chǎn)方案：生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品18件。(2)設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的件數(shù)是x，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品的件數(shù)是50-x。由題意得y=700x+1200(50-x)=-500x+6000。(其中x只能取30，31，32。)因?yàn)?-500<0, 所以 此一次函數(shù)y隨x的增大而減小，所以 當(dāng)x=30時，y的值最大。因此，按第一種生產(chǎn)方案安排生產(chǎn)，獲總利潤最大，最

3、大利潤是：-500·3+6000=4500(元)。本題是利用不等式組的知識，得到幾種生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)，再利用一次函數(shù)性質(zhì)得出最佳設(shè)計(jì)方案問題。2.調(diào)運(yùn)方案設(shè)計(jì)例2 北京某廠和上海某廠同時制成電子計(jì)算機(jī)若干臺，北京廠可支援外地10臺，上海廠可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給重慶8臺，漢口6臺。如果從北京運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是4百元/臺、8百元/臺，從上海運(yùn)往漢口、重慶的運(yùn)費(fèi)分別是3百元/臺、5百元/臺。求：(1)若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海運(yùn)往漢口應(yīng)是多少臺?(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過8200元，共有幾種調(diào)運(yùn)方案?(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低總運(yùn)費(fèi)是多少元?解 設(shè)上海廠運(yùn)往漢口x臺，那么

4、上海運(yùn)往重慶有(4-x)臺，北京廠運(yùn)往漢口(6-x)臺，北京廠運(yùn)往重慶(4+x)臺，則總運(yùn)費(fèi)W關(guān)于x的一次函數(shù)關(guān)系式：W=3x+4(6-x)+5(4-x)+8(4+x)=76+2x。(1) 當(dāng)W=84(百元)時，則有76+2x=84,解得x=4。若總運(yùn)費(fèi)為8400元，上海廠應(yīng)運(yùn)往漢口4臺。(2) 當(dāng)W82(元)，則 解得0x3，因?yàn)閤只能取整數(shù)，所以x只有四種可的能值：0、1、2、3。答：若要求總運(yùn)費(fèi)不超過8200元，共有4種調(diào)運(yùn)方案。(3) 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)W=76+2x隨著x的增大而增大，又因?yàn)?x3，所以當(dāng)x=0時，函數(shù)W=76+2x有最小值，最小值是W=76(百元)，即最低總運(yùn)費(fèi)是7600

5、元。此時的調(diào)運(yùn)方案是：上海廠的4臺全部運(yùn)往重慶；北京廠運(yùn)往漢口6臺，運(yùn)往重慶4臺。本題運(yùn)用了函數(shù)思想得出了總運(yùn)費(fèi)W與變量x的一般關(guān)系，再根據(jù)要求運(yùn)用方程思想、不等式等知識解決了調(diào)運(yùn)方案的設(shè)計(jì)問題。并求出了最低運(yùn)費(fèi)價。3     營方案的設(shè)計(jì)例3 某新建商場設(shè)有百貨部、服裝部和家電部三個經(jīng)營部，共有190名售貨員，計(jì)劃全商場日營業(yè)額(指每日賣出商品所收到的總金額)為60萬元。由于營業(yè)性質(zhì)不同，分配到三個部的售貨員的人數(shù)也就不等，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，各類商品每1萬元營業(yè)額所需售貨員人數(shù)如表1，每1萬元營業(yè)額所得利潤情況如表2。表1 表2商品每1萬元營業(yè)額所需人數(shù)商品每

6、1萬元營業(yè)額所得利潤百貨類5百貨類03萬元服裝類4服裝類05萬元家電類2家電類02萬元 商場將計(jì)劃日營業(yè)額分配給三個經(jīng)營部，設(shè)分配給百貨部、服裝部和家電部的營業(yè)額分別為x(萬元)、y(萬元)、z(萬元)(x,y,z都是整數(shù))。(1) 請用含x的代數(shù)式分別表示y和z；(2) 若商場預(yù)計(jì)每日的總利潤為C(萬元)，且C滿足19C19.7，問這個商場應(yīng)怎樣分配日營業(yè)額給三個經(jīng)營部?各部應(yīng)分別安排多少名售貨員?解 (1)由題意得 ，解得 (2) C=0.3x+0.5y+0.2z=-0.35x+22.5。因?yàn)?19C19.7， 所以 9-0.35x+22.519.7，解得 8x10。因?yàn)?x,y

7、,z是正整，且x為偶數(shù)，所以 x=8或10。當(dāng)x=8時，y=23,z=29，售貨員分別為40人，92人，58人；當(dāng)x=10時，y=20,z=30，售貨員分別為50人，80人，60人。本題是運(yùn)用方程組的知識，求出了用x的代數(shù)式表示y、z，再運(yùn)用不等式和一次函數(shù)等知識解決經(jīng)營調(diào)配方案設(shè)計(jì)問題。4優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)例4 某校校長暑假將帶領(lǐng)該校市級“三好生”去北京旅游。甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學(xué)生可享受半價優(yōu)待。”乙旅行社說：“包括校長在內(nèi)，全部按全票價的6折(即按全票價的60%收費(fèi))優(yōu)惠。”若全票價為240元。(1)設(shè)學(xué)生數(shù)為x，甲旅行社收費(fèi)為y甲，乙旅行社收費(fèi)為y乙，分別計(jì)算兩家旅行社

8、的收費(fèi)(建立表達(dá)式)；(2)當(dāng)學(xué)生數(shù)是多少時，兩家旅行社的收費(fèi)一樣；(3)就學(xué)生數(shù)x討論哪家旅行社更優(yōu)惠。解 (1)y甲=120x+240, y乙=240·60%(x+1)=144x+144。(2)根據(jù)題意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4。答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)為4人時，兩家旅行社的收費(fèi)一樣多。(3)當(dāng)y甲>y乙，120x+240>144x+144， 解得 x<4。當(dāng)y甲<y乙,120x+240<144x+144, 解得 x>4。答：當(dāng)學(xué)生人數(shù)少于4人時，乙旅行社更優(yōu)惠；當(dāng)學(xué)生人數(shù)多于4人時，甲旅行社更優(yōu)惠；本題運(yùn)用了一次函數(shù)、方程、

9、不等式等知識，解決了優(yōu)惠方案的設(shè)計(jì)問題。綜上所述，利用一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)及不等式的整數(shù)解與方程的有關(guān)知識解決了實(shí)際生活中許多的方案設(shè)計(jì)問題，如果學(xué)生能切實(shí)理解和掌握這方面的知識與應(yīng)用，對解決方案問題的數(shù)學(xué)題是很有效的。練習(xí)1某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙種布料26米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布料生產(chǎn)L、M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利潤30元。設(shè)生產(chǎn)L型號的童裝套數(shù)為x，用這批布料生產(chǎn)這兩種型號的童裝所獲利潤為y(元)。(1)寫出y(元)關(guān)于x(套)的函數(shù)解析式；并求出自變

10、量x的取值范圍；(2)該廠在生產(chǎn)這批童裝中，當(dāng)L型號的童裝為多少套時，能使該廠所獲的利潤最大?最大利潤為多少?2A城有化肥200噸，B城有化肥300噸，現(xiàn)要把化肥運(yùn)往C、D兩農(nóng)村，如果從A城運(yùn)往C、D兩地運(yùn)費(fèi)分別是20元/噸與25元/噸，從B城運(yùn)往C、D兩地運(yùn)費(fèi)分別是15元/噸與22元/噸，現(xiàn)已知C地需要220噸，D地需要280噸，如果個體戶承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，請幫他算一算，怎樣調(diào)運(yùn)花錢最小?3下表所示為裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜的重量及利潤。某汽車運(yùn)輸公司計(jì)劃裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜到外地銷售(每輛汽車按規(guī)定滿載，并且每輛汽車只裝一種蔬菜) 甲乙丙每輛汽車能裝的噸數(shù)2115每噸蔬菜可獲利

11、潤（百元）574 (1)若用8輛汽車裝運(yùn)乙、丙兩種蔬菜11噸到A地銷售，問裝運(yùn)乙、丙兩種蔬菜的汽車各多少輛?(2)公司計(jì)劃用20輛汽車裝運(yùn)甲、乙、丙三種蔬菜36噸到B地銷售(每種蔬菜不少于一車)，如何安排裝運(yùn)，可使公司獲得最大利潤?最大利潤是多少?4有批貨物，若年初出售可獲利2000元，然后將本利一起存入銀行。銀行利息為10%，若年末出售，可獲利2620元，但要支付120元倉庫保管費(fèi)，問這批貨物是年初還是年末出售為好?答案：1. (1) y=15x+1500；自變量x的取值范圍是18、19、20。(2) 當(dāng)x=20時，y的最大值是1800元。2. 設(shè)A城化肥運(yùn)往C地x噸，總運(yùn)費(fèi)為y元，則y=2x+10060 (0x200)，當(dāng)x=0時，y的最小值為10060元。3. (1) 應(yīng)安排2輛汽車裝運(yùn)乙種蔬菜，6輛汽車裝運(yùn)丙種蔬菜。(2) 設(shè)安排y輛汽車裝運(yùn)甲種蔬菜，z輛汽車裝運(yùn)乙種蔬菜，則用20-(y+z)輛汽車裝運(yùn)丙種蔬菜。得 2y+z+1.520-(y+z)=36，化簡，得 z=y-12，所以 y-12=32-2y。因?yàn)?y1， z1， 20-(y+z)1，所以 y1， y-121， 32-2y1，所以 13y15.5。設(shè)獲利潤S百元，則S=5y+108，當(dāng)y=15時，S的最大值是183，z=y-12=3， 20-