1、一、事件的相互獨立性一、事件的相互獨立性二、幾個重要定理二、幾個重要定理三、典型例題三、典型例題四、小結(jié)四、小結(jié)第六節(jié)第六節(jié) 獨立性獨立性 一、事件的相互獨立性一、事件的相互獨立性 ,., )23(5取到綠球取到綠球第二次抽取第二次抽取取到綠球取到綠球第一次抽取第一次抽取記記地取兩次地取兩次有放回有放回每次取出一個每次取出一個紅紅綠綠個球個球盒中有盒中有 BA那么有那么有, )()(BPABP .發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 1.引例引例 事件事件 A 與與 事件事件 B 相互獨立相互獨立, 闡明闡明

2、 2.定義定義 ,是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BA)(ABP,相相互互獨獨立立則則稱稱事事件件BA假設(shè)滿足等式假設(shè)滿足等式 )()(BPAP .,獨獨立立簡簡稱稱BA容易知道容易知道, ,0)( AP若若,0)( BP相相互互則則BA,.,互互斥斥不不能能同同時時成成立立與與BAB 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān). 是指事件是指事件 A 的發(fā)生與事件的發(fā)生與事件獨獨立立留意留意 三個事件相互獨立三個事件相互獨立 三個事件兩兩相互獨立三個事件兩兩相互獨立 3.三事件相互獨立的概念三事件相互獨立的概念 定義定義,是是三三個個事事件件設(shè)設(shè)CBA如果滿足不等式如果滿足不等式 ABP BPAP BCP CPBP

3、ACP CPAP ABCP CPBPAP .,相互獨立相互獨立則稱事件則稱事件CBA, )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨獨立立的的事事件件則則稱稱nAAA具有等式具有等式任意任意如果對于任意如果對于任意個事件個事件是是設(shè)設(shè),1,)1(,2121niiinkknAAAkn 推行推行 二、幾個重要定理二、幾個重要定理 定理一定理一,是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BA,0)( AP且且BA,若若相互獨立相互獨立, . )()(BPABP 則則反之亦然反之亦然. 定理二定理二,相相互互獨獨立立與與若若事事件件BA那么以下各對事件也相互獨立那么以下各對事件也相互

4、獨立. ,BA與與,BA與與.BA與與證證 由于由于 A)(BBA BAAB 于是于是 )(AP)(BAABP )()(BAPABP )()(BPAP )( BAP )(BAP)(1)(BPAP )()(BPAP .相相互互獨獨立立與與因因此此BA.獨獨立立與與由由此此可可立立即即推推出出BA,BB 再由再由.相相互互獨獨立立與與又又推推出出BA兩個推論兩個推論 1。,)2(,21相相互互獨獨立立若若事事件件 nAAAn1A則則將將們們各各自自的的對對立立事事中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它nAA,2件件, .個個事事件件仍仍相相互互獨獨立立所所得得的的n2。.)2(個個事事件件也也是

5、是相相互互獨獨立立其其中中任任意意nkk ,)2(,21相相互互獨獨立立若若事事件件 nAAAn那么那么 P22例例2 一個元件一個元件(或系統(tǒng)或系統(tǒng))能正常任務(wù)的概率稱為元件能正常任務(wù)的概率稱為元件(或系統(tǒng)或系統(tǒng))的的可靠性可靠性. 如以下圖如以下圖, 設(shè)有設(shè)有4個獨立任務(wù)的元件個獨立任務(wù)的元件1,2,3,4按先串聯(lián)再并按先串聯(lián)再并聯(lián)聯(lián)的方式聯(lián)接的方式聯(lián)接. 個元件個元件設(shè)第設(shè)第i),4 , 3 , 2 , 1( ipi的的可可靠靠性性為為的可靠性的可靠性. 1234試求系統(tǒng)試求系統(tǒng) 故有故有 4321AAAAA 由事件的獨立性由事件的獨立性, 得系統(tǒng)的可靠性得系統(tǒng)的可靠性 )(AP)()(

6、)(43214321AAAAPAAPAAP 43214321pppppppp 解解 個個元元件件正正常常工工作作”第第表表示示事事件件以以iiAi“)4 , 3 , 2 , 1( .”“系系統(tǒng)統(tǒng)正正常常工工作作表表示示事事件件以以 A三、典型例題三、典型例題 )()()()()()()()(43214321APAPAPAPAPAPAPAP P23例例4 甲、乙兩人進(jìn)展乒乓球競賽甲、乙兩人進(jìn)展乒乓球競賽, 每局甲勝的概率每局甲勝的概率 ,p為為.21 p問對甲而言問對甲而言,采取三局兩勝制有利采取三局兩勝制有利,還是五局三勝制有利還是五局三勝制有利. 設(shè)各局勝負(fù)相互獨立設(shè)各局勝負(fù)相互獨立. 解解

7、 , 甲甲最最終終獲獲勝勝采采用用三三局局二二勝勝制制:勝局情況可能是勝局情況可能是“甲甲甲甲, ,“乙甲甲乙甲甲, ,“甲乙甲甲乙甲; ;,容容由由于于這這三三種種情情況況互互不不相相:甲甲最最終終獲獲勝勝的的概概率率為為).1(2221pppp 于于是是由由獨獨立立性性得得3,至少需比賽至少需比賽甲最終獲勝甲最終獲勝采用五局三勝制采用五局三勝制,局局,比賽四局比賽四局例如例如:則則甲甲的的勝勝局局情情況況可可能能是是“甲乙甲甲甲乙甲甲, , “乙甲甲甲乙甲甲甲, , “甲甲乙甲甲甲乙甲; ; .,局局而而前前面面甲甲需需勝勝二二且且最最后后一一局局必必需需是是甲甲勝勝,容容由由于于這這三三

8、種種情情況況互互不不相相:, 甲甲最最終終獲獲勝勝的的概概率率為為在在五五局局三三勝勝制制下下.)1(24)1(2323332pppppp :于是由獨立性得于是由獨立性得)312156(23212 pppppp由由于于.)12()1(322 ppp;,2112ppp 時時當(dāng)當(dāng).21,2112 ppp時時當(dāng)當(dāng).,21制制有有利利對對甲甲來來說說采采用用五五局局三三勝勝時時故故當(dāng)當(dāng) p.21,21都都是是概概率率是是相相同同的的兩兩種種賽賽制制甲甲最最終終獲獲勝勝的的時時當(dāng)當(dāng) p補充補充1 1 設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是設(shè)每一名機槍射擊手擊落飛機的概率都是0.2,0.2,假設(shè)假設(shè)1010

9、名機槍射擊手同時向一架飛機射擊名機槍射擊手同時向一架飛機射擊, ,問擊落飛機的概率是問擊落飛機的概率是多少多少? ? 射擊問題射擊問題 解解 ,名名射射手手擊擊落落飛飛機機”為為“第第設(shè)設(shè)事事件件iAi事件事件 B 為為“擊落飛機擊落飛機, ,1021AAAB 則則練習(xí)練習(xí) .10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染一個均勻的正四面體，其第一面染成紅色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑成白色，

10、第三面染成黑色，而第四面同時染上紅、白、黑三種顏色三種顏色. .現(xiàn)以現(xiàn)以 A A，B B，C C 分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、分別記投一次四面體出現(xiàn)紅、白、黑顏色朝下的事件，問黑顏色朝下的事件，問 A A，B B，C C能否相互獨立能否相互獨立? ? 解解 由于在四面體中紅、由于在四面體中紅、 白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此白、黑分別出現(xiàn)兩面，因此 ,21)()()( CPBPAP由題意知由題意知 ,41)()()( ACPBCPABP補充補充2伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 故有故有 因此因此 A，B，C 不相互獨立不相互獨立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCP

11、BPBCPBPAPABP那么三事件那么三事件 A, B, C 兩兩獨兩兩獨立立. 由于由于 41)( ABCP, )()()(81CPBPAP 同時拋擲一對骰子同時拋擲一對骰子,共拋兩次共拋兩次,求兩次所得點數(shù)分別為求兩次所得點數(shù)分別為7與與11的概率的概率. 解解 事件事件 A 為兩次所得點數(shù)分別為為兩次所得點數(shù)分別為 7 與與 11. 那么有那么有 )()(2121ABBAPAP )()(2121ABPBAP )()()()(2121APBPBPAP 366362362366 .541 . 2 , 17 iiAi點點”次次得得為為“第第設(shè)設(shè)事事件件. 2 , 111 iiBi點點”次次得得為為“第第設(shè)設(shè)事事件件補充補充3 四、小結(jié)四、小結(jié) )()()(,. 1BPAPABPBA