1、 第一章 計數原理1.3.1 二項式定理(1)(1)今天是星期一，那么今天是星期一，那么7 7天后的這天后的這一天是星期幾呢一天是星期幾呢? ?1008(3)(3)如果是如果是 天后的這一天呢？天后的這一天呢？ (2)(2)如果是如果是15天后的這一天呢？天后的這一天呢？2)ba（3)(ba322333babbaa222baba？4)(ba)()(bababa)(22bbaababa？nba)(2 22 22 2b b2 2a ab ba ab b) )（a a3 32 22 23 33 3b b3 3a ab bb b3 3a aa ab b) )( (a ab ba ab b) )（a a

2、1 14 4b b) )（a a4 4a ab ba a3 32 22 2b ba a3 3a ab b4 4b bn nb b) )（a an na ab ba a1 1- -n n2 22 2- -n nb ba an nb b1 1- -n na ab bb)b)b)(ab)(ab)(ab)(a(a(ab)b)（a（a3 3b ba a2 23 3b b2 2a ab b3 3a a3 33 33 32 22 23 32 21 13 33 30 03 3b bC CababC Cb ba aC Ca aC C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C Cb)b)

3、a ab)b)b)(ab)(ab)(ab)(a(a(ab)b)（a（a（44 4a ab3 3a a2b2 2a a3 3a ab b4 4b b4 44 44 43 33 34 42 22 22 24 43 31 14 44 40 04 4b bC CababC Cb ba aC Cb ba aC Ca aC C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C C發現規律：發現規律：對于（對于（a+ba+b）n n= =個n)ba()ba)(ba(的展開式中的展開式中a an-rn-rb br r的系數是在的系數是在n n個括號中，恰有個括號中，恰有r

4、r個個括號中取括號中取b(b(其余括號中取其余括號中取a)a)的組合數的組合數 . .那么，那么，我們能不能寫出我們能不能寫出(a+b)(a+b)n n的展開式？的展開式？ rnC將將(a+b)n展開展開的結果的結果又又是是怎怎樣樣呢？呢？ 歸納提高歸納提高 引出定理，總結特征引出定理，總結特征nnnrrnrn1n1nn0nbCbaCbaCaC )(Nnn nb b) )（a a 這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式這個公式表示的定理叫做二項式定理，公式右邊的多項式叫做右邊的多項式叫做 (a+b) n的的 ， 其中其中 （r=0,1,2,n）叫做）叫做 ， 叫做二項展開式的叫做二項展開式的通

5、項通項，用，用 Tr+1 表示，該項是指展開式的第表示，該項是指展開式的第 項，展開式共有項，展開式共有_個項個項.rnC展開式展開式二項式系數二項式系數rrnrnbaCr+1n+1nnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 二項式定理二項式定理 )(Nnnnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 2.系數規律：系數規律：nnnnnCCCC、 2102.指數規律：指數規律：（1）各項的次數均為）各項的次數均為n；即為；即為n次齊次式次齊次式（2）a的次數由的次數由n逐次降到逐次降到0， b的次數由的次數由0逐次逐次升到升到n.1.項數規律：項數規律：展開式共

6、有展開式共有n+1個項個項二項式定理二項式定理 )(Nn特別地: 1、把、把b用用- -b代替代替 (a-b)n= Cnan-Cnan-1b+ +(-1)rCnan-rbr + +(-1)nCnbn01rn對定理的再認識對定理的再認識2、令a=1，b=xnnnrrnnnnxCxCxCxCx 2211)1 (2 22 25 51 11 15 50 00 05 55 5(2x)(2x)C C(2x)(2x)C C(2x)(2x)C C2x)2x)（1（15 55 55 54 44 45 53 33 35 5(2x)(2x)C C(2x)(2x)C C(2x)(2x)C C543232x80 x80

7、 x40 x10 x12展開5 5（1x)1x)2 22 25 51 11 15 50 00 05 55 52x)2x)( (C C(-2x)(-2x)C C2x)2x)( (C C2x)2x)（1（15 55 55 54 44 45 53 33 35 52x)2x)( (C C2x)2x)( (C C2x)2x)( (C C543232x80 x80 x-40 x10 x-15 54 43 32 25 532x32x80 x80 x80 x80 x40 x40 x10 x10 x1 12x)2x)（1（1若展開呢5 5（1 1 2 2x x) )？展展開開式式第第3 3項項是是2 2x x1

8、 1. .1 15 5）（）（是是. .第第3 3項項的的二二項項式式系系數數2 2）（2 22 22 25 51 12 24 40 0 x x2 2x x) )（C CT T1 10 04324)1()1(4)1(6)1(41)11 (xxxxx解解: :（1）.11260160240192643223xxxxxx6366) 12(1)12()12()2(xxxxxxnnnrrnrn1n1nn0nnbCbaCbaCaC)ba( 例例2. 用二項式定理展開下列各式用二項式定理展開下列各式：64)12() 2()11 () 1 (xxx.14641432xxxx例例3 3、求（、求（x+a)x+

9、a)1212的展開式中的倒數第的展開式中的倒數第4 4項項解解:12()13 ,x a的展開式有 項倒數第4項是它的第10項.912 99399 112220.TC xax a課堂練習課堂練習的展開式的第三項）求（632. 1yx的展開式的第三項）求（623xy 2422626123216032yxyxCTT2422626123486023xyxyCTT2.求求 的展開式的第的展開式的第4項的二項的二項式系數，并求第項式系數，并求第4項的系數項的系數. 732xx3735C 3372280C解：展開式的第解：展開式的第4 4項的二項式系數項的二項式系數第第4 4項的系數項的系數 1 10 00

10、 01 10 00 01 1）（7 78 8r r100100r r10010099991 11001001001000 01001007 7C C7 7C C7 7C C1 10 00 01 10 00 01 19 99 91 10 00 0C C7 7C C）（9 99 91 10 00 09 99 90 01 10 00 0C C7 7C C71 11008 今天是星期一，那么今天是星期一，那么 天后天后的這一天是星期幾？的這一天是星期幾？余數是余數是1，所以這一天是星期二，所以這一天是星期二 項數：共項數：共n+1項項,是關于是關于a與與b的齊次多項式的齊次多項式 指數指數:a的指數從的指數從n逐項遞減到逐項遞減到0,是降冪排列；是降冪排列； b的指數從的指數從0逐項遞增到逐項遞增到n，是升冪排列。，是升冪排列。的特點：的展開式通項rrnrnrnbab