1、判別平行四邊形的基本方法如何判別一個四邊形是平行四邊形呢 ?下面舉例予以說明一、運用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 .分析: 由于已知條件與對角線有關， 故考慮 運用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四 邊形”進行判別 .為此,需連接 BD.解：連接 BD交 AC于點 O.因為四邊形 ABCD是平行四邊形 , 所以 AO=CO,BO=DO又. AE=CF, 所以 AO-AE=CO-CF即, EO=FO. 所以四邊形 DEBF是平行四邊形 .二、運用“兩組對邊分別相等的四邊形是 平行四邊形”判別E例 2 如圖 2，是由九根完全一樣的小木棒 搭成的圖形， 請你指出圖中所有的平行四邊形，并

2、說明理由 .分析:設每根木棒的長為 1 個單位長度，則 圖中各四邊形的邊長便可求得，故應考慮運用 “兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形” 進行判別 .解：設每根木棒的長為 1 個單位長度，則 AF=BC=1,AB=FC=1,所以四邊形 ABCF是平行四邊形 .同樣可知四邊形 FCDE、四邊形 ACDF都是平 行四四邊形 .因為 AE=DB=2,AB=DE=1所, 以四邊形 ABDE 也是平行四邊形 .三、運用“一組對邊平行且相等的四邊形 是平行四邊形”判別例 3 如圖 3，E、F 是四邊形 ABCD的對角 線 AC上的兩點， AE=CF,DF=BE,DF BE，試說明 四邊形 ABCD是平行

3、四邊形 .分析 : 題目給出的條件都不能直接判別四 邊形 ABCD是平行四邊形，但仔細觀察可知，由 已知條件可得 ADF CBE，由此就可得到判別平行四邊形所需的“一組對邊平行且相等” 的條件.解：因為 DFBE，所以 AFD= CEB.因為 AE=CF所, 以 AE+EF=CF+E，F即 AF=CE. 又 DF=BE,所 以 ADF CBE， 所 以 AD=BC， DAF=BCE，所以 ADBC.所以四邊形 ABCD是平行四邊 形.四、運用“兩組對邊分別平行的四邊形是 平行四邊形”判別例 4 如圖 4 ，在平行四邊形 ABCD中， DAB、 BCD的平分線分別交 BC、AD邊于點 E、 F，

4、則四邊形 AECF是平行四邊形嗎？為什么？分析：由平行四邊形的性質易得 AFEC， 又題目中給出的是有關角的條件，借助角的條 件可得到平行線，故本題應考慮運用“兩組對 邊分別平行的四邊形是平行四邊形”進行判 別.解：四邊形 AECF是平行四邊形 .理由：因為四邊形 ABCD是平行四邊形，所 以 ADBC， DAB=BCD，所 以 AFEC. 又 因 為 1= 1 DAB，22=1 BCD，2所以 1=2.因為 ADBC，所以2=3，所以 1=3，所以 AECF.所以四邊形 AECF是平行四邊形 . 判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有： （1）證兩組對 邊分別平行；（2）證兩組對邊分

5、別相等； （ 3） 證一組對邊平行且相等； （4）證對角線互相平 分；（5）證兩組對角分別相等。下面以近幾年 的中考題為例說明如何證明四邊形是平行四邊F圖1一、兩組對邊分別平行如圖 1，已知 ABC 是等邊三角形， D、E 分別在邊 BC、AC上，且 CD=C，E 連結 DE 并延長至點 F，使 EF=AE，連結 AF、 BE和CF（1） 請在圖中找出一對全等三角形，并加以證 明；（2） 判斷四邊形 ABDF是怎樣的四邊形，并說明 理由。解：（1）選證 BDE FEC 證明： ABC是等邊三角形， BC=A，C ACD=60°CD=C，E BD=AE， EDC是等邊三角 形DE=E，

6、C CDE=DEC=60° BDE= FEC=120°又 EF=AE，BD=FE，BDE FEC （ 2）四邊形 ABDF是平行四邊形 理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF 都是等邊三角形 CDE= ABC=EFA=60° ABDF，BDAF四邊形 ABDF是平行四邊形。 點評：當四邊形兩組對邊分別被第三邊 所截，易證截得的同位角相等，內錯角 相等或同旁內角相等時， 可證四邊形的兩組對邊分別平行， 從而四邊形是平行 四邊形二、一組對邊平行且相等例2 已知：如圖 2，在正方形 ABCD中， G 是 CD上一點，延長 BC 到 E，使 CE=CG， 連結 BG并延

7、長交 DE于 F（1） 求證： BCG DCE；（2） 將 DCE繞點 D 順時針旋轉 90°得 到 DAE，判斷四邊形 EBGD是什么 特殊四邊形？并說明理由。分析：（2）由于 ABCD是正方形，所以 有 AB DC，又通過旋轉 CE=AE已知 CE=CG， 所 以 EA=CG， 這 樣 就 有 BE=GD，可證 E BGD是平行四邊形。 解：（1） ABCD是正方形， BCD=DCE=90° 又 CG=CE， BCG DCE（2） DCE繞 D順時針旋轉 90°得到 DAE，CE=AE ， CE=CG， CG=AE ，四邊形 ABCD是正方形 BE DG，AB

8、=CD AB-AE =CD-CG，即 BE=DG四邊形 DEBG是平行四邊形 點評：當四邊形一組對邊平行時，再證 這組對邊相等， 即可得這個四邊形是平 行四邊形三、兩組對邊分別相等例3 如圖 3 所示，在 ABC中，分別以 AB、 AC、BC為邊在 BC的同側作等邊 ABD， 等邊 ACE，等邊 BCF。求證：四邊形 DAEF是平行四邊形； 分析：利用證三角形全等可得四邊形 DAEF的兩組對邊分別相等， 從而四邊形 DAEF是平行四邊形。解： ABD和 FBC都是等邊三角形 DBF+ FBA=ABC+ FBA=60° DBF= ABC又 BD=BA，BF=BC ABC DBFAC=D

9、F=AE 同 理 ABC EFC四邊形 ADFE是平行四邊形 點評：題設中存在較多線段相等關系 時，可證四邊形的兩組對邊分別相等， 從而可證四邊形是平行四邊形。四、對角線互相平分例 4 已知：如圖 4 ，平行四邊形 ABCD的對 角線 AC和 BD相交于 O，AE BD于 E，BFAC 于 F，CG BD于 G，DH AC于 H，求證：四 邊形 EFGH是平行四邊形。圖4分析：因為題設條件是從四個頂點向對角 線引垂線， 這些條件與四邊形 EFGH的對角 線有關，若能證出 OE=O，G OF=O，H 則問題 可獲得解決。證明： AEBD， CGBD， AEO=CGO，AOE=COG，OA=OC

10、AOE COG同理 BOF DOHOF=OH四邊形 EFGH是平行四邊形點評：當已知條件與四邊形兩對角線有關 時，可證兩對角線互相平分，從而證四邊 形是平行四邊形。五、兩組對角相等例 5 將兩塊全等的含 30°角的三角尺如圖 1 擺放在一起四 邊 形 ABCD是平 行 四邊 形 嗎？ 理 由。(1) 如圖 2，將 Rt BCD沿射線 BD方向 平移到 Rt B1C1D1的位置，四邊形 ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結論和理由：分析：因為題設與四邊形內角有關，故 考慮四邊形的兩組內角相等解決問題。 解：（1）四邊形 ABCD是平行四邊形， 理由如下： ABC=ABD+DBC=30

11、°+90°=120°ADC=ADB+CDB=90°+30°=120° 又 A=60°， C=60°， ABC=ADC，A=C（ 2）四邊形 ABC1D1是平行四邊形，理 由如下：將 Rt BCD 沿 射 線 方 向 平 移 到 Rt B1C1D1 的 位 置 時 ， 有 RtC1BB1RtADD1 C1BB1=AD1D， BC1B1=DAD1 有 C1BA=ABD+ C1BB1=C1D1B1+ A D1B=AD1C，1 BC1D1= BC1B1+B1C1D1= D1AD+DAB= D 1AB所以四邊形 ABC1D1

12、是平行四邊形點評：（ 2）也可這樣證明：由（ 1）知ABCD是平行四邊形， AB CD，將Rt BCD 沿 射 線 BD 方 向 平 移 到Rt B1C1D1 的 位 置 時 ， 始 終 有ABC1D1，故 ABC1D1是平行四邊形。 判斷平行四邊形的策略 在學習了“平行四邊形”這部分內容后， 對于平行四邊形的判定問題，可從以下幾個方 面去考慮：一、考慮“對邊”關系思路 1：證明兩組對邊分別相等例 1 如圖 1 所示，在 ABC 中， ACB 90°，BC的垂直平分線 DE交 BC于 D，交 AB 于 E，F 在 DE上，并且 AFCE.求證：四邊 形 ACEF是平行四邊形 .證明：

13、 DE是 BC的垂直平分線，ABDC圖 1）DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90DFAC .CE = AE = 1AB.2 1 = 2 .又 EF AC， AF = CE = AE ， 2 =1 =3 =F. ACE EFA.AC = EF .四邊形 ACEF是平行四邊形 . 思路 2：證明兩組對邊分別平行例 2 已知：如圖 2，在 ABC中，ABAC，E是AB的中點， D在 BC上，延長 ED到 F，使ED = DF = EB. 連結 FC.AC求證：四邊形 AEFC是平行 四邊形.證明： ABAC， B=ACB.ED = EB， B = EDB. ACB =EDB. EF

14、AC.E是 AB的中點， BD = CD. EDB =FDC，ED = DF， EDB FDC. DEB =F.ABCF.四邊形 AEFC是平行四邊形 . 思路 3：證明一組對邊平行且相等例 3 如圖 3 ，已知平行四邊形 ABCD中，E、 F 分別是 AB、CD上的點， AE = CF，M、N分別 是 DE、BF的中點 .求證：四邊形 ENFM是平行四邊形 . 證明：四邊形 ABCD是平行四邊形，AD = BC，A =C .又AE = CF， ADE CDB F.1 =2，DE = BF .FCNBM1EM、N分別是 DE、 BF的中A 點，EM = FN .DCAB，3 =2. 1 =3.

15、EM FN .四邊形 ENFM是平行四邊形 .二、考慮“對角”關系思路：證明兩組對角分別相等4例 4 如圖 4 ，在正方形 ABCD中，點 E、F 分別是 AD、BC的中點 .求證：（1） ABE CDF；（2）四邊形 BFDE是平行四邊形 .證明：（1）在正方形 ABCD中， AB = CD， AD = BC，A =C = 90°， AE = 1 AD，CF =1BC，22AE = CF. ABE CDF.（2）由（1）ABECDF知，1 =2， 3 = 4.BED =DFB.在正方形 ABCD中， ABC =ADC，EBF =EDF.四邊形 BFDE是平行四邊形 .三、考慮“對角

16、線”的關系思路：證明兩條對角線相互平分例 5 如圖 5，在平行四邊形 ABCD中， P1 、P2 是對角線 BD的三等分點 .求證：四邊形 AP1CP2是平行四邊形 .證明：連結 AC交 BD于圖 5 ）CO.四邊形 ABCD是平行四邊形，OA = OC，OB = OD.BP1 = DP2 ，OP1 = OP2 .四邊形 AP1CP2是平行四邊形 . 平行四邊形的識別淺析 平行四邊形是初中數學中的基本圖形，正 確識別平行四邊形，是進一步學習矩形、菱形 和正方形的基礎。識別平行四邊形是利用邊、 角和對角線的特點，而且只需要兩個條件，為 了更加清楚哪些條件能或不能識別平行四邊 形，我們把這些條件總

17、結如下。1 利用定義或定理直接識別平行四邊形1.1 兩 組 對 邊 分 別 平 行 ， 如 圖 1,ABCD,ADBC。1.2 兩 組 對 邊 分 別 相 等 ， 如 圖 1,AB=CD,AC=B。C1.3 兩組對角分別相等， 如圖 1, ABC= ADC,BAD= BCD。1.4 一 組 對 邊 平 行 且 相 等 ， 如 圖1,ABCD,AB=C。D1.5 兩條對角線互相平分，如圖1,OA=OC,OB=O。D2利用定義和定理間接識別平行四邊形2.1 一組對邊平行且一組對角相等，如圖1,ABCD,ABC=ADC。證明：ABCD ABC+ BCD=180°又ABC=ADC ADC B

18、CD 180°ADBC 四邊形 ABCD是平行四邊形 （兩組 對邊分別平行 ）2.2 一組對邊平行且兩條對角線交點平分 一條對角線，如圖 1, AB CD，OA=O。C證明： ABCD BAC= DCA 在 AOB和COD中， BAC=DCA， OA=OC， AOB=COD AOB COD（ASA）AB=CD 四邊形 ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等）2.3 兩組鄰角互補，而且兩組鄰角要有一個 公共角，如圖圖2形。3.4 一組對邊相等，一組對角相等，不一圖4E1,DAB+ABC=180°,ABC+BCD=180°。證明： DAB+ABC=180°

19、 ADBC 又 ABC+BCD=180°ABCD 四邊形 ABCD是平行四邊形（兩組對邊平行）3不能識別為平行四邊形3.1 兩組不同的鄰角互補，如圖 2,A+B=180°, C+D=180°, 可以畫出梯形。3.2 識別平行四邊形的條件涉及的邊、角相等關系都是對邊對角，涉及鄰邊鄰角相等的都不能做為平行四邊形識別的條件。兩組鄰邊相 等，如圖 3, AB=AD,CB=CD不, 一定是平行四邊 形。兩對鄰角相等，如圖 4, A=D,B=C, 可以畫出等腰梯形。3.3 一組對邊平行且另一組對邊相等，如圖 4,ADBC,AB=CD也, 可以畫出等腰梯 定是平行四邊形。反例作

20、圖方法 , 如圖 5：作 ABC,在邊 BA 上確定點 A,在邊 BC上確定點 C,過點 A、B、C作 O1,以點 C為圓心，以 線段 AB長為半徑作 C, 以 AC為弦作 O1的 等圓 O2,交 C于 D、E 兩點，則四邊形 ABCD 為平行四邊形， 而四邊形 ABCE即為符合條件的 非平行四邊形，即 AB=CE, ABC= AEC。3.5 一組對邊相等，對角線交點3.5 一組對邊相等，對角線交點 平分一條對角線，不一定是平行四邊 A 形。反例作圖方法 ,如圖 6：作線段O H I DB圖 6AB,過線段 AB 的中點 O 作直線CD,過點 B作 BECD,垂足為 E, 以點 E為圓 心，小

21、于線段 OE的長為半徑作 E, 交 CD于 F、 G兩點，以點 A為圓心， BF長為半徑作 A, 交直線 CD于 H、I 兩點，則四邊形 AGBH和四邊 形 AFBI 為平行四邊形，而四邊形 AGBI 和四邊 形 AHBF即為符合條件的非平行四邊形， 如在四 邊形 AGBI中， AI=BG,OA=O。B 說明一個四邊形是平行四邊形的思路山東 于秀坤平行四邊形是最基本、最重要的一類特殊四邊形如何說明一個四邊形是平行四邊形呢？要說明一個四邊形是平行四邊形，一般可 以根據題目中所給的條件，分別通過下列的思 路進行說明一、當已知條件出現在四邊形的一組對邊 上時，考慮采用“兩組對邊分別平行或相等的 四邊

22、形是平行四邊形”或“一組對邊平行且相 等的四邊形是平行四邊形”例 1 如圖 1，在 ABC中， AD是角的平分 線， DE/AC交 AB于點 E，EF/BC 交 AC于點 F， 試說明 AE=CF圖1分析：由 AD是角的平分線，可知 1=2， 由 DE/AC，可知 2= 3，所以 1=3，即可 得 AE=ED，要說明 AE=CF，可轉化為說明 ED=EC， 因此，只需說明四邊形 EDCF是平行四邊形就可 以了解：因為 1=2，2=3，所以1=3， 所以 AE=ED，又因為 DE/AC，EF/BC，所以四邊形 EDCF是平 行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行 四邊形）所以 ED=C，F 所

23、以 AE=CF二、當已知條件出現在四邊形是對角上時， 考慮“采用兩組對角分別相等的四邊形是平行 四邊形”例2 如圖 2，AE、CF分別是 ABCD 的內 角 DAB、BCD的平分線，試說明四邊形 AECF 是平行四邊形圖2解：在 ABCD 中，因為 DAB=BCD， 又因為 1= 1 DAB， 2= 1 BCD，22所以， 1=2，因為 AB/CD，所以 3=1， 4=2， 所以 3=4，所以 5=6， 所以四邊形 AECF是平行四邊形三、當已知條件出現在四邊形的對角線上 時，考慮采用“兩條對角線互相平分的四邊形 是平行四邊形”例 3 如圖 3，在 ABCD中，AC、BD相交于 O，EF過 O

24、分別交 AD、BC于 E、F，GH過 O分別 AB、 CD交于 G、H試說明四邊形 EGFH是平行 四邊形解：在 ABCD中，因為 AB/CD，所以1=2， 因為 OA=O，C 3=4，所以AOG COH，所以 OG=O，H同理 OE=O，F所以四邊形 EGFH是平行四邊形 構造平行四邊形解題 山東 鄒殿敏 平行四邊形是一種特殊的四邊形，它的對 邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分 許 多幾何問題可以通過添加輔助線，構造平行四 邊形加以解決一、求線段的長例如圖 1，在正 ABC中，P為邊 AB上一 點，Q為邊 AC上一點，且 AP=CQ 今量得 A點 與線段 PQ的中點 M 之間的距離是 1

25、9cm，則 P 點到 C點的距離等于cm 分析：作 QD/AB，交 BC于點 D，連接 PD， MD由 ABC為正三角形，易知 BP=BD，AP=DQ， A 所以四邊形 APDQ為平行四邊形 所以 AMD是平Q行 四 邊 形 APDQ 的M對 角 線 所 以AD=2A=M2×19=38（ cm）由ABD CBP可得. B DC圖1PC=AD所以 PC=38cm二、證明線段相等問題例 2 如圖 2，在梯形 ABCD中，圖2 AB=CD，延長 CB到 E，使 EB=AD，連接 AE求證：AE=AC分析：連接 BD由 AD與 BE平行且相等， 易知四邊形 AEBD是平行四邊形，所以 BD=AE因 為 AC=B，D 所以 AE=AC三、證明線段和差問題例 3 如圖 3，ABC中，D，F是 AB邊上兩 點，且 AD=BF，作 DE/BC，FG/BC，分別交 AC 于點 E，G求證： DE+