1、二次根式全章復習二次根式全章復習.的式子叫做二次根式形如 a)0( a二次根式的定義二次根式的定義: :二次根式的性質二次根式的性質: :（雙重非負性）.0,0aa)0(2aaaa (aa (a 0) 0)-a (a-a (a0)0)= a a 2a還學習了二次根式的乘法和一種化簡方法abba) 0, 0( baabba a0,b01.將被開方數盡可能分解成幾個平方數將被開方數盡可能分解成幾個平方數。2.應用應用baab化簡二次根式的步驟： 根式運算的結果中，被開方數應不含能根式運算的結果中，被開方數應不含能開得盡方的因數或因式。開得盡方的因數或因式。 運算的結果應該是運算的結果應該是最簡二次

2、根式或整式最簡二次根式或整式。 3.將平方項應用將平方項應用 化簡化簡.aa 2216x例如例如：aabb0, 0bababa0, 0ba二次根式的除法公式：二次根式的除法公式： 二次根式計算、化簡的二次根式計算、化簡的結果符合什么要求？結果符合什么要求？（1）被開方數被開方數不含分母不含分母； 分母不含根號分母不含根號； 根號內不含小數根號內不含小數。（2）被開方數中不含能開得盡被開方數中不含能開得盡 方的因數或因式方的因數或因式. 若兩個含有二次根式若兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有的代數式相乘，積不含有二次根式，則這兩個代數二次根式，則這兩個代數式互為式互為有理化因式有理化因式。

3、在進行根式計算時，利用在進行根式計算時，利用有理化因式，有時可以化去分有理化因式，有時可以化去分母中的根號，從而實現分母有母中的根號，從而實現分母有理化。理化。二二 次次 根根 式式三個概念三個性質兩個公式四種運算最簡二次根式最簡二次根式同類二次根式同類二次根式有理化因式有理化因式0, 0babaabbaba)0, 0(ba1、2、加加 、減、乘、除、減、乘、除知識結構知識結構-不要求，只需了不要求，只需了解解1、02aaa 3、0aa2a)0(0aa2、第一部分第一部分二次根式的概念二次根式的概念 正數有正數有兩個兩個平方根且平方根且互為相反數互為相反數； 0 0有一個平方根就是它有一個平方

4、根就是它0 0； 負數負數沒有沒有平方根。平方根。1、平方根的性質：、平方根的性質：1、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算術平方根是什么？的算術平方根是什么？2、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算術平方根是什么？的算術平方根是什么？3、7有沒有平方根？有沒有算術平方根？有沒有平方根？有沒有算術平方根？正數和正數和0都有算術平方根；負數沒有算術平方根。都有算術平方根；負數沒有算術平方根。試一試試一試 ：說出下列各式的意義；116,81,0,0.04;49觀察：觀察：上面幾個式子中，被開方數的特點？被開方數是非負數 2 2、 表示什么？表示什么？a表示非負數a的算術平方根0:a即a

5、(a0)表示非負數表示非負數 a 的算術平方根，的算術平方根， 形如形如 a (a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。 它必須具備如下它必須具備如下特點特點： 1、根根指指數數為為 2； 2、被開方數必須是非負數。、被開方數必須是非負數。 想想一一想想： 1010 、 - -5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、 ( (- -2 2) )2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、 - -a a (a(a0 0是不是二次根式？是不是二次根式？ 注意：注意：為了方便起見，我們把為了方便起見，我們把一個數的算術平方根一個數的算術平方根也叫做二次根式也叫做二次根式。如。

6、如13,2 是不是是不是二次根式二次根式?1a 思考思考：不是不是,它是它是二次根式二次根式的代數式的代數式.定義：定義： 像像 , , 這樣表示的算術這樣表示的算術平方根，且根號內含有字母的代數式叫做平方根，且根號內含有字母的代數式叫做二二次根式。次根式。25002a3b s(0).a a 形如的式子叫做二次根式2. a可以是數可以是數,也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根號形式上含有二次根號4. a0, 0 a5.既可表示開方運算既可表示開方運算,也可表示運算的結果也可表示運算的結果.1.表示表示a的算術平方根的算術平方根( ( 雙重非負性雙重非負性) )a都是非負數都是非負數.

7、式子式子 ， ， 與算術平方根的共同點與算術平方根的共同點: :s94s225 s一般地，形如一般地，形如 （a0）的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式a都是形如都是形如 的式子的式子，a其中其中a為整式或分式，為整式或分式，a叫做叫做被開方式被開方式1.判斷下列各式是否是二次根式判斷下列各式是否是二次根式.2. 下列各式一定是二次根式的是（下列各式一定是二次根式的是（ ）.1xa.21x b.2xc.1xd.c5(0)a a (0)a a38( )( )( )( )例例1 : 判斷判斷，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04. 0,5.83,04. 0,

8、2a,a定義：式子定義：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . )0( aa不要忽略不要忽略其中a叫做被開方式被開方式。題型題型1:確定二次根式中被開方數所含字母的取值范圍確定二次根式中被開方數所含字母的取值范圍.1 1. . 當當 _時，時， 有意義。有意義。xx3 3. 3.求下列二次根式中字母的取值范圍求下列二次根式中字母的取值范圍x x3 31 15 5x x解得解得 - 5x- 5x3 3解：解： 0 0 x x- -3 30 05 5x x說明：二次根式被開方數不小于說明：二次根式被開方數不小于0，所以求二次根式中字母的取值范，所以求二次根式中字母的取值范圍常轉化為不等式（組）圍常轉

9、化為不等式（組） 334aa44a有意義的條件是有意義的條件是 . .2.+由由2x-10，得得即當即當x取大于或等于取大于或等于 的實數時，式子的實數時，式子 有意義有意義2112 x例例2： x取什么實數時，二次根式取什么實數時，二次根式 有意義有意義？12 x解解：二次根式二次根式 有意義的條件是有意義的條件是2x-1012 x21x并且它的平方等于并且它的平方等于 , a即即).0(0 aa總是一個非負數總是一個非負數所以所以,)0(aa的算術平方根的算術平方根表示表示因為因為)0(，aaa即即)0()(2 aaa解：由解：由 x x- -2 20 0，且，且 x x- -3 30,

10、0, 得得 x x2 2 且且 x x3 3。 想一想：想一想：一個正數的算術平方根是一個正數的算術平方根是 。 零的算術平方根是零的算術平方根是 。 負數有沒有算術平方根？負數有沒有算術平方根？ 正數正數0沒有沒有想一想：想一想： 假如把題目改為： 要使假如把題目改為： 要使x x- -2 2x x- -1 1 有意義，有意義，字母字母 x x 的取值必須滿足什么條件？的取值必須滿足什么條件？ x2x2 1、求下列二次根式中字母的取值范圍：、求下列二次根式中字母的取值范圍： 11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范圍的基本依據：求二次根式中字母的取值范圍的基本依據：被開方數不小于

11、零；被開方數不小于零；分母中有字母時，要保證分母不為零。分母中有字母時，要保證分母不為零。2、 x取何值時取何值時,下列二次根式有意義下列二次根式有意義?xx3)2(1) 1 (1x0 x為全體實數x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x3 3、若數軸上表示數、若數軸上表示數x x的點在原點的左邊，則化簡的點在原點的左邊，則化簡|3x+x2| |3x+x2| 的結果是（的結果是（ ）12a 0 )( a =0 )( a 0 )a例求下列二次根式的值例求下列二次根式的值22(1) (3)(2)21(3)xxxp-+= -2(3)|3|pp-=-解解：(1)30p-2(3)

12、3pp-=-(2)2221(1)|1|xxxx-+=-=-當當x 時，時，x3-221113xxx-+= -=+當當x時，時，22113xx-+=+3-2 (0)()aaa aa 2)0( aa)0( aa你的理由是什么？一樣嗎？）與（22aa2(0)( aa a 2aa )0( aa)0( aa22(）與注意區別aa補充：補充：分別說出下列各式成立分別說出下列各式成立的的a a的取值范圍：的取值范圍：2(1) ()aa2(2) ()aa 2(3) (2)2aax0 , 4x0,例例5 5: :已知已知:x0,化簡化簡:216x2216x(4 )4:xx解解原式原式 = -4x3、二次根式具有

13、哪些性質？、二次根式具有哪些性質？ 1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 形如形如 a (a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪兩個形式上的特點？、二次根式有哪兩個形式上的特點？ （1）根指數為根指數為 2； （2）被開方數必須是非負數。被開方數必須是非負數。 課堂小結課堂小結性性質質 1： a 0 (a0) （雙雙重重非非負負性性） 性質性質 2：( a )2 = a (a0) 性質性質 3：當當 a0 時，時， a2 = a ； 當當 a0 時，時， a2 = -a 。 也就是說：也就是說： a2 = |a| 。 第三部分第三部分二次根式的乘除法二次根式的乘

14、除法2()a（a0）a-a 當當a0時，時，= ； 當當a0時，時，= .|a|2aaab ba baba（a 0 ， b0）（a 0 ， b0）回顧回顧:你會計算嗎你會計算嗎? (1) (2) 104 . 0303. 0有簡便的方法嗎有簡便的方法嗎?根據什么根據什么?積和商的二次根式的性質積和商的二次根式的性質:反過來反過來:) 0, 0(),0,(babababoaabba二次根式乘除運算法則二次根式乘除運算法則)0, 0(ba)0, 0(babababaab,二次根式二次根式相乘相乘：被開方數被開方數相乘相乘， 根指數根指數不變不變；化簡化簡。二次根式的運算（乘除運算）二次根式的運算（乘

15、除運算）: : ba ab（a 0 ， b0）baab（a 0 ， b0）abmnbnam) 0(6223 ) 4(105) 3 (aaa例例1 1 計算：計算：2525550105解：原式解：原式aaaaaa31232632261266a2232原式原式274125271245)(933420233220)(3601820計算：計算： 3224計算：計算： 316)4838(23232243224153：方法3162328246232242：方法結果必須化為最簡二次根式結果必須化為最簡二次根式. 找因數的找因數的最最大公因數大公因數,不不行行再分解因再分解因數數xyx313) 3 (1025

16、3 ) 2 (714) 1 (:計算27727714714) 1 (52561052310253)2(230256yxxyxxyx2313313) 3(yxyxyx2要先相乘，后化簡。要先相乘，后化簡。0, 0ba例例2：計算：計算 1812323241解：解： 832432412224 18231812318123293baba兩個二次根式相除，等于把被開方數相除，兩個二次根式相除，等于把被開方數相除，作為商的被開方數作為商的被開方數331 10 05 50 0( (2 2) ) 2 23 32 2) 1 (計算：計算： 10751436152112)4(解：解：原式) 3(原式)4(107

17、514710521621115262365265如果根號前有系如果根號前有系數，就把系數相數，就把系數相除，仍舊作為二除，仍舊作為二次根號前的系數次根號前的系數。4162322321 5105010502題型題型4 4：最簡二次根式、被開方數不含分數；、被開方數不含分數；、被開方數不含開的盡方的因數或因式；、被開方數不含開的盡方的因數或因式；注意：分母中不含二次根式分母中不含二次根式。322751yx323練習1：把下列各式化為最簡二次根把下列各式化為最簡二次根式式5524772xyyx63二次根式二次根式乘除乘除運算的運算的一般步驟一般步驟： 1.運用法則，運用法則，化歸化歸為根號內的實數運

18、算為根號內的實數運算; 2.完成根號內完成根號內相乘相乘，相除相除(約分約分)等運算等運算;3.化簡化簡二次根式二次根式.分子和分母乘除后分子和分母乘除后,分別分別分解素因數分解素因數,找找平方的項平方的項開出開出,不必馬上乘出來不必馬上乘出來(分母必須是平方的項分母必須是平方的項)多項式先因式分解多項式先因式分解,再乘除再乘除第四部分第四部分二次根式的加減運算二次根式的加減運算185081)(4827122)(12545203)(222523323334525553題型題型5：同類二次根式同類二次根式：化為最簡二次根式后被開方數相同的二次根式。27832189m332322m32418832

19、、是同類二次根式下列哪些是同類二次根式同類二次根式50501.)(與與18122與與)(bba232與與)(aa153與與)(abab32324與與)(458029161)()(xxxx9161)(xx34x)(34x745802)(5354534)( 532411821821)(68132221242)(32411821821)(22232421234)(22968132221242)(6241632221622412161322)()(243635（3）合并同類二次根式。）合并同類二次根式。 一化二找三合并二次根式加減法的步驟：二次根式加減法的步驟：（1）將每個二次根式化為最簡二次根式；）將每個二次根式化為最簡二次根式；（2）找出其中的同類二次根式；）找出其中的同類二次根式；交流，歸納第五部分第五部分二次根式的綜合能力二次根式的綜合能力練習：練習：.已知，求已知，求x、y的值的值.223yxx=-+-+x=2，y=3a4.已知已知 ，求，求a的值的值. 4|3|aaa 4343aaaa，即 a- -4=9，則，則 a=133 3. .實數實數a a、b b在數軸上對應點的位置如下圖所示在數軸上對應點的位置如下圖所示： .,12的值求自然數為一個整數nnn12n = 3，8，11，1212n是正整數，則實數是正整數，則實數n的