1、12 掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（）掌握等差、等比數(shù)列的基本性質(zhì)：如（）“成對成對”和或積相等問和或積相等問題；（）等差數(shù)列求和題；（）等差數(shù)列求和S2n-1與中項與中項an；能靈活運用性質(zhì)解決有關(guān)問題；能靈活運用性質(zhì)解決有關(guān)問題.如分組求和技巧、整體運算如分組求和技巧、整體運算.31.在等差數(shù)列在等差數(shù)列an與等比數(shù)列與等比數(shù)列bn中，下列結(jié)論正確的是中，下列結(jié)論正確的是( )CA.a1+a9=a10,b1b9=b10B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6C.a1+a9=a4+a6,b1b9=b4b6D.a1+a9=2a5,b1b9=2b5 當(dāng)當(dāng)m+n=p+q時，等差數(shù)列中

2、有時，等差數(shù)列中有am+an=ap+aq,等比數(shù)列中有等比數(shù)列中有bmbn=bpbq.42.已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列an中，有中，有a3a11=4a7，數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列是等差數(shù)列,且且b7=a7,則則b5+b9等于（等于（ ）CA.2 B.4 C.8 D.16 因為因為a3a11=a72=4a7，因為，因為a70，所以，所以a7=4，所以，所以b7=4. 因為因為bn為等差數(shù)列，所以為等差數(shù)列，所以b5+b9=2b7=8，故選，故選C.53.命題命題:若數(shù)列若數(shù)列an的前的前n項和項和Sn=an+b(a1),則數(shù)列則數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列; 命題命題 :若數(shù)列若數(shù)列an的前的前n

3、項和項和Sn=an2+bn+c(a0),則數(shù)列則數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列; 命題命題 ：若數(shù)列：若數(shù)列an的前的前n項和項和Sn=na-n,則數(shù)列則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列列.上述三個命題中，真命題有上述三個命題中，真命題有( )AA.0個個 B.1個個 C.2個個 D.3個個6 由命題得，由命題得，a1=a+b,當(dāng)當(dāng)n時，時，an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1.若若an是等比是等比,數(shù)列則數(shù)列則 =a即即 =a,所以只有當(dāng)所以只有當(dāng)b=-1且且a0時，此數(shù)列才是等比數(shù)列時，此數(shù)列才是等比數(shù)列. 由命題得由命題得,a1=a+b+c,當(dāng)當(dāng)n時，時，an

4、=Sn-Sn-1=2na+b-a.若若an是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則a2-a1=2a,即即2a-c=2a,所以只有當(dāng)所以只有當(dāng)c=0時，數(shù)列時，數(shù)列an才是等差數(shù)列才是等差數(shù)列. 由命題得，由命題得，a1=a-1,當(dāng)當(dāng)n時，時，an=Sn-Sn-1=a-1,顯然顯然an是一個常數(shù)列，即公是一個常數(shù)列，即公差為差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)?shù)牡炔顢?shù)列，因此只有當(dāng)a-10，即，即a時，數(shù)列時，數(shù)列an才又是等比數(shù)列才又是等比數(shù)列.21aa(1)a aab74.(1)等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項的和為項的和為54，前，前2n項的和為項的和為60，則前，則前3n項的和為項的和為 ； (2)等比數(shù)列的前

5、等比數(shù)列的前n項和為項和為54，前，前2n項的和為項的和為60，則前，則前3n項的和為項的和為 .186023 (1)由等差數(shù)列性質(zhì)由等差數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列，則2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得解得S3n=18.(2)由等比數(shù)列性質(zhì)由等比數(shù)列性質(zhì),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比數(shù)列成等比數(shù)列,則則(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，解得，解得S3n=60 .2385.已知數(shù)列已知數(shù)列an、bn分別為等差、等比數(shù)列，且分別為等差、等比數(shù)列，且a1=b10，a3=b3，b1b3，則一，則一定有定有a2 b2，a5 b5

6、（填（填“”“0，b30，又，又b1b3，a2= = =|b2|，故，故a2b2；同理，同理，a5=2a3-a1 =2b3-b1 ，b5= ，所以所以b5-a5= -(2b3-b1)= = 0,即即b5a5.132aa132bb1 3bb231bb231bb22331112bb bbb2311()bbb9(方法二方法二)通項與函數(shù)關(guān)系通項與函數(shù)關(guān)系.因為因為an=dn+(a1-d)為關(guān)于為關(guān)于n的一次函數(shù)，的一次函數(shù)，bn=a1qn-1= qn為關(guān)于為關(guān)于n的類指數(shù)的類指數(shù)函數(shù)函數(shù).當(dāng)當(dāng)d0，如圖，如圖1；當(dāng)；當(dāng)db2，a50d0，則，則lgan是等差數(shù)列是等差數(shù)列.(5)在等差數(shù)列在等差數(shù)列

7、an中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時時;S偶偶-S奇奇= ;項數(shù)為奇數(shù)項數(shù)為奇數(shù)2n-1時時;S奇奇-S偶偶= ，S2n-1=(2n-1)an(這里的這里的an即為中間項即為中間項);S奇奇 S偶偶=n (n-1).am+an=ap+aqndannaa12(6)若等差數(shù)列若等差數(shù)列an、bn的前的前n項和分別為項和分別為An、Bn,且且 =f(n),則則 = = =f(2n-1).(7)“首正首正”的遞減等差數(shù)列中的遞減等差數(shù)列中,前前n項和的最大值是所有項和的最大值是所有 之和之和;“首負(fù)首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中的遞增等差數(shù)列中,前前n項和的最小值是所有項和的最小值是所有 之和之和.(8

8、)如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).nnABnnab(21)(21)nnnanb2121nnAB非負(fù)項非負(fù)項非正項非正項132.等比數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的性質(zhì)(1)當(dāng)當(dāng)m+n=p+q時，則有時，則有 ,特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)m+n=2p時，則有時，則有aman=ap2.(2)若若an是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列，則kan成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列；若an、bn成等比數(shù)列，則成等比數(shù)列，則anbn

9、、 成等比數(shù)列成等比數(shù)列;若若an是等比數(shù)列是等比數(shù)列,且公比且公比q-1,則數(shù)列則數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,也是也是 數(shù)列數(shù)列.當(dāng)當(dāng)q=-1,且且n為偶數(shù)時為偶數(shù)時,數(shù)列數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,是常數(shù)數(shù)列是常數(shù)數(shù)列0,它不它不是等比數(shù)列是等比數(shù)列.aman=apaqnnab等比等比14(3)若若a10,q1,則則an為為 數(shù)列；若數(shù)列；若a11,則則an為為 數(shù)列數(shù)列;若若a10,0q1,則則an為遞減數(shù)列；若為遞減數(shù)列；若a10,0q1，則，則an為遞增數(shù)列；若為遞增數(shù)列；若q0,n=1,2,，且，且a5a2n-5=22n(n3),則當(dāng)則當(dāng)n1時時,log2a

10、1+log2a3+log2a2n-1=( )A. n(2n-1) B. (n+1)2C. n2 D. (n-1)2 (1)因為因為1+8+15=2，且，且n成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，則則1+15=28，故，故8= .于是于是tan(2+14)=tan28=tan = .23433C18(2)因為因為a5a2n-5=22n(n3),且且an成等比數(shù)列成等比數(shù)列,則則a1a2n-1=a3a2n-3=a5a2n-5=22n=an2.令令S=log2a1+log2a3+log2a2n-1，（可直接計算），（可直接計算）則則S=log2a2n-1+log2a3+log2a1,所以所以2S=log2(a1a

11、2n-1)(a3a2n-3)(a2n-3a3)(a2n-1a1) =log2(22n)n,所以所以2S=2nn，所以，所以 S=n2.19 本題是等差、等比的求值題，難點是找條件和目標(biāo)之間的對應(yīng)本題是等差、等比的求值題，難點是找條件和目標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系關(guān)系.解題時，根據(jù)等差、等比數(shù)列的解題時，根據(jù)等差、等比數(shù)列的“成對下標(biāo)和成對下標(biāo)和”性質(zhì)，列出方性質(zhì)，列出方程或多個恒等式是解題的關(guān)鍵程或多個恒等式是解題的關(guān)鍵.一般的，對于涉及等差、等比數(shù)列的一般的，對于涉及等差、等比數(shù)列的通項公式的條件求值題，合理利用通項或相關(guān)性質(zhì)進行化歸是基本通項公式的條件求值題，合理利用通項或相關(guān)性質(zhì)進行化歸是基本方法

12、方法.20 (2010湖北省模擬湖北省模擬)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an、bn都是正項等比數(shù)列，都是正項等比數(shù)列，Sn、Tn分分別為數(shù)列別為數(shù)列l(wèi)gan與與lgbn的前的前n項和項和,且且 = ,則則logb5a5= .nnST21nn 由題知，由題知， = = = =logb5a5 logb5a5= .99ST129129lg()lg()a aab bb9595lglgab55lglgab91991921例例2 (1)等差數(shù)列等差數(shù)列an中中,a9+a10=a,a19+a20=b,求求a99+a100.(2)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中中,若若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求求a41

13、a42a43a44.22 (1)將相鄰兩項和將相鄰兩項和a1+a2,a3+a4,a5+a6,a99+a100分別記為分別記為b1,b2,b3,b50,可知可知bn成等差數(shù)列成等差數(shù)列.此數(shù)列的公差此數(shù)列的公差d= = .a99+a100=b50=b5+45d=a+ 45=9b-8a.105105bb5ab5ab5ab5ab23(2)(方法一方法一)a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3 =a14q6=1. a13a14a15a16=a1q12a1q13a1q14a1q15 =a14q54=8. 得，得， =q48=8 q16=2.又又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42

14、a1q43=a14q166=a14q6q160=(a14q6)(q16)10=1210=1024.4541461aqaq24( 方 法 二方 法 二 ) 由 性 質(zhì) 可 知 ， 依 次 項 的 積 為 等 比 數(shù) 列 ， 設(shè) 公 比 為由 性 質(zhì) 可 知 ， 依 次 項 的 積 為 等 比 數(shù) 列 ， 設(shè) 公 比 為q,T1=a1a2a3a4=1,T4=a13a14a15a16=8,所以所以T4=T1q3=1q3=8 q=2,所以所以T11a41a42a43a44=T1q10=1024. 巧用性質(zhì)，減少運算，在有關(guān)等差、等比數(shù)列的計算中非常重要巧用性質(zhì)，減少運算，在有關(guān)等差、等比數(shù)列的計算中非

15、常重要.如如（）（）（2）小題巧用性質(zhì)，構(gòu)造一個新的等差或等比數(shù)列求解）小題巧用性質(zhì)，構(gòu)造一個新的等差或等比數(shù)列求解.25例例3 已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列xn的各項為不等于的正數(shù)，數(shù)列的各項為不等于的正數(shù)，數(shù)列yn滿足滿足ynlogxna=2(a0,a1)，設(shè)設(shè)y3=18,y6=12. (1)求數(shù)列求數(shù)列yn的前多少項和最大的前多少項和最大,最大值為多少最大值為多少? (2)試判斷是否存在自然數(shù)試判斷是否存在自然數(shù)M，使當(dāng)，使當(dāng)nM時，時，xn1恒成立？若存在，求出相應(yīng)的恒成立？若存在，求出相應(yīng)的M值；值；若不存在，請說明理由；若不存在，請說明理由； (3)令令an=logxnxn+1（n13

16、,nN*），試判斷數(shù)列），試判斷數(shù)列an的增減性？的增減性？26 (1)由已知得，由已知得，yn=2logaxn.設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列xn的公比為的公比為q(q)，由由yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga =2logaq,得得yn為等差數(shù)列，設(shè)公差為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d.因為因為y3=18,y6=12,所以所以d=-2,所以所以yn=y3+(n-3)d=24-2n. yk+10 yk0所以前所以前11項與前項與前12項和為最大項和為最大,其和為其和為132.1nnxx設(shè)前設(shè)前k項和為最大項和為最大,則則11k12,y12=0,nnxx127(2)xn=a12-n,

17、nN*.若若xn1，則，則a12-n1.當(dāng)當(dāng)a1時，時，n12，顯然不成立；，顯然不成立；當(dāng)當(dāng)0a12,所以存在所以存在M=12,13,14,當(dāng)當(dāng)nM時，時，xn1.(3)an=logxnxn+1=loga12-na12-(n+1)= .因為因為an+1-an= - = ,又又n13,所以所以an+113時，數(shù)列時，數(shù)列an為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列.1112nn1011nn1112nn1(11)(12)nn 本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運用方程、本小題主要考查等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運用方程、分類討論等思想方法進行分析、探索及解決問題的能力分類討論等思想方法進行分析、探索及解

18、決問題的能力.28 在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a1=1,a2=2,且且an+1=(1+q)an-qan-1(n2,q0). (1)設(shè)設(shè)bn=an+1-an(nN*),證明：證明：bn是等比數(shù)列；是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式； (3)若若a3是是a6與與a9的等差中項，求的等差中項，求q的值，并證明：對任意的的值，并證明：對任意的nN*,an是是an+3與與an+6的等差中項的等差中項.29 (1)證明證明:由題設(shè)由題設(shè)an+1=(1+q)an-qan-1(n2), 得得an+1-an=q(an-an-1),即即bn=qbn-1,n2.又又b1=a2-a1=1,q0，

19、所以所以bn是首項為是首項為1,公比為公比為q的等比數(shù)列的等比數(shù)列.30(2)由由(1)知，知，a2-a1=1,a3-a2=q,an-an-1=qn-2(n).將以上各式相加將以上各式相加,得得an-a1=1+q+qn-2(n2). 1+ (q1) n (q=1).上式對上式對n=1顯然成立顯然成立.所以當(dāng)所以當(dāng)n2時時, an=111nqq31(3)由由(2)知，當(dāng)知，當(dāng)q=1時，顯然時，顯然a3不是不是a6與與a9的等差中項，故的等差中項，故q1.由由a3-a6=a9-a3，可得，可得q5-q2=q2-q8,由由q0，得，得q3-1=1-q6, 整理得整理得(q3)2+q3-2=0,解得解

20、得q3=-2或或q3=1(舍去舍去).于是于是q=- .另一方面另一方面,an-an+3= = (q3-1),an+6-an= = (1-q6).由可得由可得an-an+3=an+6-an(nN*).所以對任意的所以對任意的nN*,an是是an+3與與an+6的等差中項的等差中項.23211nnqqq11nqq151nnqqq11nqq32(2009江蘇卷江蘇卷)設(shè)設(shè)an是公比為是公比為q的等比數(shù)列，的等比數(shù)列，|q|1，令，令bn=an+1(n=1,2,).若數(shù)列若數(shù)列bn有連續(xù)四項在集合有連續(xù)四項在集合-53,-23,19,37,82中，中，則則6q= .-933 因為數(shù)列因為數(shù)列bn有連

21、續(xù)四項在集合有連續(xù)四項在集合-53,-23,19,37,82中，中，又又an=bn+1，所以數(shù)列，所以數(shù)列an有連續(xù)四項在集合有連續(xù)四項在集合-54,-24,18,36,81中中,且必有正項、且必有正項、負(fù)項；負(fù)項；又又|q|1，所以，所以q-1,因此因此ak,ak+1,ak+2,ak+3(kN*)正負(fù)相間，正負(fù)相間，且且|ak|，|ak+1|，|ak+2|,|ak+3|單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，故等比數(shù)列四項只能為故等比數(shù)列四項只能為-24,36,-54,81.此時，公比為此時，公比為q=- ，6q=-9.3234學(xué)例1 (2009安徽卷安徽卷)已知已知an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，a1+a3+a5

22、=105,a2+a4+a6=99.以以Sn表示表示an的前的前n項和，則使得項和，則使得Sn達(dá)到最大值的達(dá)到最大值的n是是( )BA. 21 B. 20C. 19 D. 1835 由由a1+a3+a5=105,得得3a3=105,即即a3=35. 由由a2+a4+a6=99，得，得3a4=99，即，即a4=33. 則由則由-得得d=-2，所以所以an=a4+(n-4)(-2)=41-2n. an0 an+1 20.5,又又nN*,故故n=20.令令36 (2009江西卷江西卷)各項均為正數(shù)的數(shù)列各項均為正數(shù)的數(shù)列an,a1=a,a2=b,且對滿足且對滿足m+n=p+q的正整數(shù)的正整數(shù)m,n,p,q都有都有 = . (1)當(dāng)當(dāng)a= ,b= 時，求通項