1、小學數學思想方法梳理數學思想和數學方法既有區別又有密切聯系。數學思想的理論 和抽象程度要高一些，而數學方法的實踐性更強一些。人們實現數學 思想往往要靠一定的數學方法；而人們選擇數學方法，又要以一定的 數學思想為依據。因此，二者是有密切聯系的。我們把二者合稱為數 學思想方法。數學思想方法是數學的靈魂，那么，要想學好數學、用 好數學，就要深入到數學的“靈魂深處”。數學課程標準在總體目標中明確提出：“學生能獲得適應未 來的社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學 思想方法和必要的應用技能?！边@一總體目標貫穿于小學和初中， 這 充分說明了數學思想方法的重要性。在小學階段有意識地向學生滲透

2、 一些基本的數學思想方法可以加深學生對數學概念、公式、法則、定 律的理解，提高學生解決問題的能力和思維能力，也是小學數學進行 素質教育的真正內涵之所在。同時，也能為初中數學思想方法的學習 打下較好的基礎。在小學階段，數學思想方法主要有符號化思想、化 歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函 數思想、一一對應思想、模型思想、數性結合思想、演繹推理思想、 變換思想、統計與概率思想等等。為了使所有小學數學教師在教學中能很好地滲透這些數學思想 方法，現把這些常用的思想方法比較系統地梳理如下：一、符號化思想在小學數學中的應用如下表知識領域知識點具體應用應用拓展數與代數數的表示阿拉伯數

3、字：09中文數子：一、十百分號：%o負號：一用數軸表示數數的運算+、一、X、+、（）、a2（平方）、b3（立方）大括號：數的大小關系=、=、W、A、豐運算定律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：a+b+c=a+（b+c）乘法交換律：ab=ba乘法結合律：（ab）c=a（bc）乘法分配律：a（b+c尸ab+aca(b-c)=ab- ac方程ax+b=c數量關系時間、速度和路程：S=vt平行四邊形面積：S=ah梯形面積：S=1/2 (a+b)h圓周長：C=2兀r圓面積：Sf r2長方體體積：V=abc正方體積：V=a3圓柱體積：V=sh圓錐體積：V=1/3sh統計與統計圖與統計表概率用統計圖表述

4、和分析各種信息可能性用分數表示可能性的大小二、化歸思想小學數學中應用如下表知識領域知識點應用舉例數與代數數的意義整數的意義，用實物操作和直觀圖幫助理解小數的意義：用直觀圖幫助理解分數的意義：用直觀圖幫助理解負數的意義：用數軸等直觀圖幫助理解四則運算的意義乘法的意義：若干個相同的數相加的種簡便算法除法的意義：乘法的逆運算四則運算的法則整數加減法：用實物操作和直觀圖幫助理解算法小數加減法：小數點對齊，然后按照整數的方法進行計算小數乘法：先按照整數乘法的方法進行計算，再點小數點小數除法：把除數轉化為整數，基本按照整數的 方法進行計算，需要注意被除數小數點與商的小 數點對齊。分數加減法：異分母加減法轉

5、化為同分母加減法分數除法：轉化為分數乘法四則運算各部間的關系a+b=cc-a=bab=ca=c+b簡便計算利用運算定律進行簡便計算方程解方程：解方程的過程，實際就是不斷把方程轉化為未知數前邊的系數是1的過程（x=a）解決問題的策略化繁為簡：植樹問題、雞兔同籠問題等化抽象為直觀：用線段圖、圖表、圖像等直觀表 示數量之間的關系，幫助理解?；瘜嶋H問題為數學問題化一般問題為特殊問題化未知問題為已知問題空間與圖形三角形內角和通過操作把二個內角轉化為平角多邊形的內角和轉化成三角形求內角和面積公式正方形的面積：轉化為長方形求面積平行四邊形求面積：轉化成長方形求面積三角形的面積：轉化為平行四邊形求面積梯形的面

6、積：轉化為平行四邊形求面積圓的面積：轉化為長方形求面積組合圖形面積：轉化為求基本圖形的面積體積公式正方體的體積：轉化為長方體求體積圓柱的體積：轉化為長方體求體積圓錐的體積：轉化為圓柱求體積統計與概率統計圖和統計表運用不同的統計圖表述各種數據可能性運用不同的方式表示可能性的大小三、模型思想在小學數學中的應用如下表知識領域知識點應用舉例數的表示自然數列：0,1,2 ,.數與代數用數軸表示數數的運算a+b=cC-a=b,c-a=bax b=c(a #0,b #0)c + a=b,c +b=a方程a+b=c數量關系時間、速度和路程：s=vt數量、單價和總價；a=np正比例關系；y/x=k反比例關系：x

7、y=k用去格表水數量間的關系用圖像表示數量間的關系空間與圖像用字母表示公式三角形面積；s=1/2ab平行四邊形面積：S=ah梯形面積：s=1/2(a+b)h圓周長：C=2兀r圓面積：Sf r2長方體面積：v=abc正方體體積：V=a2圓柱體積：v=Sh圓錐體積：v=1/3sh空間形式用圖表表小空間和平面結構統計與概率統計圖和統計表用統計圖表描述和分析各種信息可能性用分數表示可能性的大小四、推理思想在小學數學中的應用如下表。思想方法知識點應用舉例,完全歸納法找規律我數列和圖形的規律整數計算四則計算法則的總結運算定律加法交換律a+b=b+a加法結合律乘法交換律乘法結合律乘法分配律除法商不變的規律分

8、數分數的基本性質面積長方形面積公式推導體積長方體體積公式推導圓柱體積公式推導圓錐體積公式推導完全歸納法三角形三角形內角和的推導類比推理整書讀寫法億以內及億以上數的讀寫整數的運算四則計算的法則：多位數加減法與兩位數加 減法相類比，多位數乘多位數與多位數乘一 位數相類比，除數是多位數的除法與除數是 一位數的除法相類比。小數的運算整數的運算法則、順序和定律推廣小數分數的運算整數的運算順序和運算定律推廣到分數除法、分數和比除法商不義的規律、分數的基本性質和比的基本性質進行類比面積與平行四邊形的面積公式推導方法相類比， 三角形、梯形面積公式的推導，也用轉化的 方法，把它們轉化成平行四邊形推導面積公 式。

9、k度、面積、體積線、面、體之間的類比：線段有長短，用長 度單位來,；平面圖形有大小，用面積單 位來代；立體圖形占的空間有大小，用體 積單位來代。問題解決數量關系相近的實際問題的類比，如分數實 際問題與百分數實際問題的類比。雞兔同籠不同素材的雞兔同籠問題的類比抽屜原埋不同素材的抽屜原理問題的類比三段論多邊形多邊形內角和的推導面積正方形面積公式的推導平行四邊形面積公式的推導三角形面積公式的推導梯形面積公式的推導圓面積公式的推導體積正方體體積公式的推導選言推理一年級上冊數學廣角中的“猜”假言推理根據概念、性質等進行判斷的一些問題關系推理大小比較、恒等變形、等量代換等等五.方程和函數思想在小學數學中的

10、應用如下表思想方法知識點應用舉例方程思想方程用一元一次方程解決整數和小數等各種問題分數、百分數和比例用一元一次方程解決分數，百分數和比例等各種問題等量代換一（二）兀一次方程思想的滲透雞兔同籠用方程解決雞兔同籠問題函數思想加法一個加數不受，和隨著另一個加數的笠化而笠化，可表示為Y=KX.滲透正比例函數思想積的變化規律一個因數不變,積隨著另一個因數的變化而變 化，表示為Y=KX.滲透正比例函數關系商的變化規律除數不受,商隨著被除數的變化而變化，口表不為Y=XK,滲透正比例函數思想，被除數不變，商隨著除數的變化而變化，口表不為Y=XK,滲透反比例函數思想正比例關系正比例關系改寫成Y=KX就是正比例函

11、數反比例關系反比例函數改寫成Y=XK,就是反比例函數數列等差數列，等比數列，一般數列的每一項與序號 之間的對應關系，都可以看作是特殊的函數關 系.空間與圖形長方形，正方形，平行四邊形，三角形，梯形的面 積公式，長方體.,正方體，圓柱，圓錐的體積公 式，圓的周長和面積公式都滲透了函數思想統計圖表函數的列表法與統計表都有相似之處六、幾何變換思想在小學數學中的應用如下表思想方法知識點應用舉例軸對稱畫簡單的軸對稱圖形認識軸對稱圖形，畫一個簡單的軸對稱圖形平移變換認識平移，把簡單圖形平移，判斷生活中物體的運動那些是平移現象； 畫出一個簡單圖形沿水平方向，豎直方向 平移后的圖形旋轉變換感知旋轉現象判斷生活

12、中物體的運動那些是旋轉現象把簡單的圖形旋轉90畫出一個簡單圖形順時針或逆時針旋轉90后的圖形合同變換圖形的性質，面積的計算平行四邊形，三角形，梯形和圓的面積公式的推導等都滲透了幾何變換思想圖案的欣賞和設計判些圖案是由 些基本圖形經過什么變化得到的；利用平移，旋轉，軸對稱等變換，設計美麗的圖案相似變換把簡單圖形放大或縮小畫出長方形，正方形，三角形等簡單的圖形按照一定的比例放大或縮小的圖形分類討論思想數的認識數可以分為整數、0、負數后埋數可以分為整數和分數（小數是特殊的分數）整數的性質整數可以分成奇數和偶數正整數可以分為1、素數和合數圖形的認識平面圖形中的多邊形可以分為：三角形、四邊形、五邊形、六

13、邊形三角形按角可以分為：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三角形按邊可以分為：不等邊三角形、等腰三角形， 其中等腰三角形又可以分為等邊三角形和腰與底邊不相等的等腰三角形四邊形按對邊是否平行可以分為：平行四邊形、梯形和兩組對邊都不平行的四邊形統計數據的分類整理和描述排列組合分類討論是小學生了解排列組合思想的基礎概率排列組合是概率計算的基礎植樹問題先確定是幾排樹，再確定每排樹的情況：兩端都不栽、 端栽端不栽、兩端都栽抽屜原埋構建抽屜實際上是應用分類標準，把所有元素進行分類八、統計思想在小學數學中的具體應用在小學數學中，統計思想的應用大體上可分為兩種： 一是統計作 為四大領域知識中的一類知識，安排了

14、很多獨立的單元進行統計知識 的教學；二是在學習了一些統計知識后，在其他領域知識的學習中， 都不同程度地應用了統計知識，作為知識呈現的載體和解決問題的方 法進行教學。因而，統計思想在小學數學中的應用是比較廣泛的。小學數學中統計的知識點主要有：象形統計圖、單式統計表、復 式統計表、單式條形統計圖、復式條形統計圖、單式折線統計圖、復 式折線統計圖、扇形統計圖、平均數、中位數、眾數等。這些知識作 為學習統計的基礎是必須掌握的，但更重的是能夠根據數據的特點和 解決問題的需要選擇合適的統計圖表或者統計量來描述和分析數據、 做出合理的預測和決策。九、概率思想在小學數學中的具體應用概率思想主要應用于統計與概率

15、領域。一是小學數學第一、第二 學段都安排了可能性的內容，如會求簡單的等可能性隨機事件發生的 可能性，根據等可能性事件設計公平的游戲規則。 二是統計推斷中很 多情況是根據對隨機事件的相關數據進行分析后，再對隨機發生的可 能性大小進行預測和決策。如2010年南非世界杯決賽西班牙對荷蘭， 有人預測西班牙奪冠，理由是西班牙是近年歐洲冠軍、實力雄厚；還 有人預測荷蘭衛冕，理由是荷蘭是無冕之王、兩次獲得世界杯亞軍。 西班牙和荷蘭兩隊歷史上一共交手 9次，其中荷蘭4盛1平4負，實 力不分上下。所以兩隊奪冠的可能性各占一半。十、分析法和綜合法在小學數學中的具體應用分析法和綜合法作為數學的思想方法，在小學數學的

16、各個方面都 有重要的應用。首先，在四大領域的內容中，無論是低年級的數和計 算、圖形的認識，還是中高年級的方程和比例、統計與概率，分析法 和綜合法都有較多應用。如數的計算法則的學習，就是一個先分析再 綜合概括的過程，先一步一步地學習法則的不同方面， 再綜合概括成 一個完整的法則。其次，在貫穿整個數學學習過程中的問題解決、判 斷和推理證明等方面，分析法和綜合法也是無所不在。如在進行一個 概念或者性質的判斷時，必須先進行分析，然后才能做出判斷。十一、反證法在小學數學中的具體應用反證法作為一種思想方法，不僅在數學中有很多應用，在日常生 活和其他學科中也有應用。數學史上有比較經典的利用反證法證明的 問題

17、，如證明 是無理數，證明素數有無限多個等。在小學數學中， 反證法的應用不多，在抽屜原理等問題中有一些應用。十二、集合思想在小學數學中的具體應用集合思想在小學數學的很多內容中進行了滲透。在數的概念方 面，如自然數可以從對等集合基數（元素的個數）的角度來理解，再 如在一年級通過兩組數量相等的實物建立一一對應，讓學生理解“同樣多”的概念，實際上就是兩個對等集合的元素之間建立一一對應； 數的運算也可以從集合的角度來理解，如加法可以理解為兩個交集為 空集的集合的并集，再如求兩數相差多少，通過把代表兩數的實物圖或直觀圖一對一地比較，來幫助學生理解用減法計算的道理； 實際上就是把代表兩數的實物分別看作集合

18、A B,通過把A的所有元素與B的部分元素建立一一對應，然后轉化為求 B與其子集（與A等基）的 差集的基數。止匕外，在小學數學中還經常用集合圖表示概念之間的關 系，如把所有三角形作為一個整體，看作一個集合，記為A;把銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各自看作一個集合，分別記為BC D,這三個集合就是集合 A的三個互不相交的子集，B、C D的并 集就是A。再如在學習公因數和公倍數時，都是通過把兩個數各自的 因數和倍數分別用集合圖表示，再求兩個集合的交集，直觀地表示了 公因數和公倍數的概念。十三、數形結合思想在小學數學中的具體應用數形結合思想在數學中應用大致分為兩種情形：一是借助于數的 精確性、程序

19、性和可操作性來闡明形的某些屬性， 可稱之為“以數解 形”；二是借助形的幾何直觀性來闡明某些概念及數之間的關系，可稱之為“以形助數”。數形結合思想在中學數學的應用主要體現在以 下幾個方面：（1）實數與數軸上的點的對應關系；（2）函數與圖象 的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）與幾何有關的知識， 如三角函數、向量等；（5）概率統計的圖形表示；（6）在數軸上表 示不等式的解集；（7）數量關系式具有一定的幾何意義，如s=100t。數形結合思想在小學數學的四大領域知識的學習都有非常普遍 和廣泛的應用，主要體現在以下幾個方面：一是利用“形”作為各種 直觀工具幫助學生理解和掌握知識、解決問題，如從

20、低年級借助直線 認識數的順序，到高年級的畫線段圖幫助學生理解實際問題的數量關 系。二是數軸及平面直角坐標系在小學的滲透，如數軸、位置、正反 比例關系圖象等，使學生體會代數與幾何之間的聯系。 這方面的應用 雖然比較淺顯，但這正是數形結合思想的重點所在， 是中學數學的重 要基礎。三是統計圖本身和幾何概念模型都是數形結合思想的體現， 統計圖表把抽象的、枯燥的數據直觀地表示出來，便于分析和決策。 四是用代數(算術)方法解決幾何問題。如角度、周長、面積和體積 等的計算，通過計算三角形內角的度數，可以知道它是什么樣的三角 形等等。十四、極限思想在小學數學中的應用和滲透， 主要體現在以下幾 點(1)在數的認

21、識中體會有限與無限的思想。小學生從一年級開 始就認識自然數0、1、2、3、同時知道每個自然數加1就等于它 的后繼數。到了認識億以內的數時，進一步知道了最小自然數是0,沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。也就是說，任意給定一 個足夠大的自然數N,只需要把它加1就會得到一個更大的自然數 N+1, N+1> N,所以總是找不到一個最大的自然數，從而體會到自然 數數列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數、偶數、一個數 的倍數、兩個數的公倍數等都沒有最大的，都有無限多個。在學習分 數的基本性質時，學生知道分母不同、分數值相等的分數有無限多個。 在學習小數時，首先認識的是有限小數，然后認識無限循環小數，還 知道圓周率是無限不循環小數。(2)在數的計算中體會極限思想。小學數學學習的數的計算一般都是經過有限的幾步計算就可以解決的問題，另外，作為知識的拓展，可適當介紹一些無限多個數相加的問題， 如在數形結合思想中曾 經介紹了無窮多個分數相加的問題， 本文不再贅述。我國古代思想家 莊子曾說過“一尺之植，日取其半，萬世不竭”這句話可用下面的數 學語言來描述“長度為單位1的線段，第一天取走全長的一半，以后 每天取走剩下的一半，永遠有剩余”，用無窮等比遞