1、三、1. 定積分的應用定積分的應用幾何方面幾何方面 : 面積、面積、體積、體積、 弧長弧長.物理方面物理方面 : 作功、作功、 側壓力側壓力.2. 基本方法基本方法 : 微元分析法微元分析法微元形狀微元形狀 : 條、條、段、段、 帶、帶、 片、片、扇、扇、環、環、殼殼 等等.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定積分的應用 第六六章 例例1. 求拋物線求拋物線21xy在在(0,1) 內的一條切線內的一條切線, 使它與使它與兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小兩坐標軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設拋物線上切點為設拋物線上切點為)1 ,(2xxM則該點處的切線方程為則該點處的切線方程為)(2

2、)1 (2xXxxY它與它與 x , y 軸的交點分別為軸的交點分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積所指面積)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且為最小點且為最小點 . 故所求切線為故所求切線為34332XY,0)( xS令得得 0 , 1 上的唯一駐點上的唯一駐點33x11MBAyx, 1 , 0)(33上的唯一極小點在是因此xSx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2. 設非負函數設非負函數上滿足在

3、 1,0)(xf)()(xfxfx曲線曲線)(xfy 與直線與直線1x及坐標軸所圍圖形及坐標軸所圍圖形(1) 求函數求函數; )(xf(2) a 為何值時為何值時, 所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉體軸一周所得旋轉體解解: (1)時，當0 x由方程得由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面積為面積為 2 ,體積最小體積最小 ? 即即xCxaxf223)(故得故得機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋轉體體積旋轉體體積Vxxfd)(1021610132aa,01513aV

4、令5a得又又V 5a,0155 a為唯一極小點為唯一極小點,因此因此5a時時 V 取最小值取最小值 .xoy1xoy1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 半徑為半徑為 R , 密度為密度為的球沉入深為的球沉入深為H ( H 2 R ) 的水池底的水池底, 水的密度水的密度多少功多少功 ? 解解: 建立坐標系如圖建立坐標系如圖 .則對應則對應d,xxx上球的薄片提到水面上的微功為上球的薄片提到水面上的微功為1dWxy d2提出水面后的微功為提出水面后的微功為2dW)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo現將其從水池中取出現將其從水

5、池中取出, 需做需做微元體積微元體積所受重力所受重力上升高度上升高度g)(0)(xRH機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因此微功元素為因此微功元素為21dddWWWxxRd)( g22球從水中提出所做的功為球從水中提出所做的功為WxxRxRHRRd)()()( 2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220g)(34003RHR)( g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 設有半徑為設有半徑為 R 的半球形容器如圖的半球形容器如圖.(1) 以每秒以每秒 a 升的速度向空容器中注水升的速度向空容器中注水, 求水深為求水深為為為h (0 h

6、R ) 時水面上升的速度時水面上升的速度 .(2) 設容器中已注滿水設容器中已注滿水 , 求將其全部抽出所做的功最求將其全部抽出所做的功最少應為多少少應為多少 ? 解解: 過球心的縱截面建立坐標系如圖過球心的縱截面建立坐標系如圖.oxy則半圓方程為則半圓方程為2x22yyR hR設經過設經過 t 秒容器內水深為秒容器內水深為h ,. )(thh 則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 oxyhR(1) 求求thdd由題設由題設, 經過經過 t 秒后容器內的水量為秒后容器內的水量為而高為而高為 h 的球缺的體積為的球缺的體積為半球可看作半圓半球可看作半圓繞繞 y 軸旋轉而成軸旋轉而成體積元素體積元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有故有t ayyRyhd)2(20兩邊對兩邊對 t 求導求導, 得得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaat (升升) ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) 將滿池水全部抽出所做的最少將滿池水全部抽出所做的最少為將全部水提為將全部水提對應于對應于d,yyyyx d2微元體積:微元的重力 :yx dg2薄層所需的功元素薄層