1、2015年江蘇省南通市高考數(shù)學(xué)一模試卷一、填空題1（5分）已知集合A=2，1，B=1，2，3，則AB=1【考點(diǎn)】： 交集及其運(yùn)算【專(zhuān)題】： 集合【分析】： 利用交集的定義求解【解析】： 解：集合A=2，1，B=1，2，3，AB=1故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題2（5分）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（3+4i）z=1（i為虛數(shù)單位），則z的模為【考點(diǎn)】： 復(fù)數(shù)求模【專(zhuān)題】： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】： 復(fù)數(shù)方程兩邊求模推出結(jié)果即可【解析】： 解：復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（3+4i）z=1（i為虛數(shù)單位），可得：|（3+4i）z|=1，即|3+4i|z|=1，可得5|z|=1z的模為：

2、故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，基本知識(shí)的考查3（5分）某中學(xué)共有學(xué)生2800人，其中高一年級(jí)970人，高二年級(jí)930人，高三年級(jí)900人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，抽取280人進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)檢測(cè)，則抽取高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為93【考點(diǎn)】： 分層抽樣方法【專(zhuān)題】： 概率與統(tǒng)計(jì)【分析】： 根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系進(jìn)行求解即可【解析】： 解：抽取280人進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)檢測(cè)，則抽取高二年級(jí)學(xué)生人數(shù)為人，故答案為：93【點(diǎn)評(píng)】： 本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵4（5分）函數(shù)f（x）=lg（x2+2x+3）的定義域?yàn)椋?，3）【考點(diǎn)】： 函數(shù)的定義域及

3、其求法【專(zhuān)題】： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】： 要使函數(shù)有意義，則需x2+2x+30，解出即可得到定義域【解析】： 解：要使函數(shù)有意義，則需x2+2x+30，解得，1x3則定義域?yàn)椋?，3）故答案為：（1，3）【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查函數(shù)的定義域的求法，注意對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題5（5分）如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的x的值是59【考點(diǎn)】： 程序框圖【專(zhuān)題】： 算法和程序框圖【分析】： 根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行的過(guò)程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果【解析】： 解：模擬程序框圖的運(yùn)行的過(guò)程，如下；x=1，y=1，y50，Y；x=2×1+1=3，y=2×3+

4、1=7，y50，Y；x=2×3+7=13，y=2×13+7=33，y50，Y；x=2×13+33=59，y=2×59+33=151，y50，N；輸出x=59故答案為：59【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行的過(guò)程，是基礎(chǔ)題目6（5分）同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具），觀(guān)察向上的點(diǎn)數(shù)，則兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之積不小于4的概率為【考點(diǎn)】： 幾何概型【專(zhuān)題】： 計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】： 列出表格即可得到基本事件的總數(shù)和要求的事件包括的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得到

5、【解析】： 解：列表得：一共有36種情況，向上的點(diǎn)數(shù)之積不小于4共有31個(gè)因此出現(xiàn)向上面的點(diǎn)數(shù)之積不小于4的概率P=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 正確列出滿(mǎn)足題意的表格和古典概型的概率計(jì)算公式理解是解題的關(guān)鍵7（5分）底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正四棱錐的側(cè)面積為4【考點(diǎn)】： 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積【專(zhuān)題】： 空間位置關(guān)系與距離【分析】： 由已知中正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為1，求出棱錐側(cè)面的高，代入棱錐側(cè)面積公式，可得答案【解析】： 解：正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則側(cè)面的高h(yuǎn)=，故此正四棱錐的側(cè)面積S=4×2×=4故答案為：4【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的側(cè)面積，棱錐

6、的結(jié)構(gòu)特征，其中根據(jù)已知求出棱錐的側(cè)面的高是解答的關(guān)鍵8（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直線(xiàn)y=±2x為漸近線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的方程是【考點(diǎn)】： 雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)【專(zhuān)題】： 圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程【分析】： 設(shè)以直線(xiàn)y=±2x為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為（0），再由雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)F（1，0），能求出雙曲線(xiàn)方程【解析】： 解：設(shè)以直線(xiàn)y=±2x為漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為（0），雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x焦點(diǎn)F（1，0），1=，雙曲線(xiàn)方程為：故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審

7、題，注意雙曲線(xiàn)簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用9（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記曲線(xiàn)y=2x（mR，m2）在x=1處的切線(xiàn)為直線(xiàn)l，若直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則m的值為3或4【考點(diǎn)】： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程【專(zhuān)題】： 計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；直線(xiàn)與圓【分析】： 由題意求導(dǎo)y=2+，從而求出切線(xiàn)方程，從而求出截距而得到2m+=12，從而解得【解析】： 解：y=2x，y=2+；故當(dāng)x=1時(shí)，y=2m，y=2+m；故直線(xiàn)l的方程為y=（2+m）（x1）+2m；令x=0得，y=（2+m）+2m=2m；令y=0得，x=+1=；故2m+=12，解得，m=3或m=4故答案為：3或4【點(diǎn)評(píng)】：

8、本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及直線(xiàn)的方程的應(yīng)用，屬于中檔題10（5分）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）若y=f（x）（0）是偶函數(shù)則=【考點(diǎn)】： 正弦函數(shù)的奇偶性【專(zhuān)題】： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】： 先求得f（x）=sin（2x2+），由y=f（x）是偶函數(shù)，可得2+=k，kZ，即可根據(jù)的范圍解得的值【解析】： 解：f（x）=sin（2x+）y=f（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）y=f（x）是偶函數(shù)2+=k，kZ從而解得：=，kZ0可解得：=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 本題主要考查了正弦函數(shù)的奇偶性，由y=f（x）是偶函數(shù)得到2+=k，kZ是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題11（5分）在

9、等差數(shù)列an中，已知首項(xiàng)a10，公差d0若a1+a260，a2+a3100，則5a1+a5的最大值為200【考點(diǎn)】： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式【專(zhuān)題】： 等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】： 易得2a1+d60，2a1+3d100，待定系數(shù)可得5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d），由不等式的性質(zhì)可得【解析】： 解：在等差數(shù)列an中，已知首項(xiàng)a10，公差d0，又a1+a260，a2+a3100，2a1+d60，2a1+3d100，5a1+a5=6a1+4d=x（2a1+d）+y（2a1+3d）=（2x+2y）a1+（x+3y）d，2x+2y=6，x+3y=4，解得x=，y=，5a1+a5=（2a1+

10、d）+（2a1+3d）=200故答案為：200【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及不等式的性質(zhì)和整體的思想，屬中檔題12（5分）已知函數(shù)y=ax+b（b0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），如圖所示，則+的最小值為【考點(diǎn)】： 基本不等式【專(zhuān)題】： 不等式的解法及應(yīng)用【分析】： 函數(shù)y=ax+b（b0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），可得3=a+b，a1，b0即（a1）+b=2再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出【解析】： 解：函數(shù)y=ax+b（b0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，3），3=a+b，a1，b0（a1）+b=2+=，當(dāng)且僅當(dāng)a1=2b=時(shí)取等號(hào)故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)

11、、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題13（5分）如圖，O內(nèi)接ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AC=3若=4，則AB=【考點(diǎn)】： 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【專(zhuān)題】： 平面向量及應(yīng)用【分析】： 首先，根據(jù)O是ABC的外心，得到O在AB、AC邊的射影分別是AB、AC的中點(diǎn)，得到=，同理，得到，因?yàn)椋瑥亩玫剑蠼饧纯伞窘馕觥浚?解：因?yàn)?O 是ABC的外心，O在AB、AC邊的射影分別是AB、AC的中點(diǎn)，=，同理，得到，=，|=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】： 本題重點(diǎn)考查了平面向量的基本運(yùn)算性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算等知識(shí)，屬于中檔題14（5分）已知f（x）是定義在1，+上的函數(shù)，且f（x）=，則函數(shù)y=2xf（x

12、）3在區(qū)間（1，2015）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為11【考點(diǎn)】： 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理【專(zhuān)題】： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】： 令函數(shù)y=2xf（x）3=0，得到方程f（x）=，從而化函數(shù)的零點(diǎn)為方程的根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，從而解得【解析】： 解：令函數(shù)y=2xf（x）3=0，得到方程f（x）=，當(dāng)x1，2）時(shí)，函數(shù)f（x）先增后減，在x=時(shí)取得最大值1，而y=在x=時(shí)也有y=1；當(dāng)x2，22）時(shí)，f（x）=f（），在x=3處函數(shù)f（x）取得最大值，而y=在x=3時(shí)也有y=；當(dāng)x22，23）時(shí)，f（x）=f（），在x=6處函數(shù)f（x）取得最大值，而y=在x=6時(shí)也有y=；，當(dāng)x210，21

13、1）時(shí)，f（x）=f（），在x=1536處函數(shù)f（x）取得最大值，而y=在x=1536時(shí)也有y=；綜合以上分析，將區(qū)間（1，2015）分成11段，每段恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有11個(gè)交點(diǎn)，即有11個(gè)零點(diǎn)故答案為：11【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系及函數(shù)的交點(diǎn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、解答題15（16分）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c已知bcosC+ccosB=2acosA（1）求角A的大小；（2）若=，求ABC的面積【考點(diǎn)】： 正弦定理【專(zhuān)題】： 解三角形【分析】： （1）根據(jù)正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式，即可求角A的大小；（2）若=，根據(jù)向量的數(shù)量積，求出ABAC

14、的大小即可，求ABC的面積【解析】： 解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，即sin（B+C）=2sinAcosA，則sinA=2sinAcosA，在三角形中，sinA0，cosA=，即A=；（2）若=，則ABACcosA=ABAC=，即ABAC=2，則ABC的面積S=ABACsinA=【點(diǎn)評(píng)】： 本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，以及三角形面積的計(jì)算，利用向量數(shù)量積的公式是解決本題的關(guān)鍵16（13分）如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，CC1=4，M是棱CC1上的一點(diǎn)（1）求證：BCAM；（2）若N是AB的中點(diǎn)，且CN平面AB1M，求CM的長(zhǎng)【考

15、點(diǎn)】： 直線(xiàn)與平面平行的判定；直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)【專(zhuān)題】： 空間位置關(guān)系與距離【分析】： （1）由線(xiàn)面垂直得BCC1C，又BCAC，從而B(niǎo)C平面ACC1A1，由此能證明BCAM（2）取AB1的中點(diǎn)P，連接MP，NP，由三角形中位線(xiàn)定理得NPBB1，從而得到PNCM是平行四邊形，由此能求出CM的長(zhǎng)【解析】： （1）證明：ABCA1B1C1為直三棱柱，C1C平面ABC，BCC1C，又BCAC，BC平面ACC1A1，AM在平面ACC1A1上，BCAM（2）解：取AB1的中點(diǎn)P，連接MP，NP，P為AB1中點(diǎn)，N為AB中點(diǎn)，NP為ABB1的中位線(xiàn)，NPBB1，又C1C，B1B都是直三棱柱的棱，C1C

16、B1B，MCB1B，NPCM，NPCM共面，又CN平面AB1M，CNMP，PNCM是平行四邊形，CM=NP=BB1=CC1=【點(diǎn)評(píng)】： 本小題線(xiàn)線(xiàn)平行、直線(xiàn)與平面的平行、線(xiàn)面所成角、探索性問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題17（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），且BF1F2是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線(xiàn)l與橢圓交于A，C兩點(diǎn)，記ABF2，BCF2的面積分別為S1，S2若S1=2S2，求直線(xiàn)l的

17、斜率【考點(diǎn)】： 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【專(zhuān)題】： 圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程【分析】： （1）根據(jù)BF1F2是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，求出a，b，即可求橢圓的方程；（2）根據(jù)面積關(guān)系，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)斜率【解析】： 解：（1）BF1F2是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，a=2c=2，則c=1，b=3，則橢圓的方程為（2）設(shè)B到直線(xiàn)AC的距離為h，由S1=2S2，則，即AF2=2F2C，設(shè)A（x1，y1），C（x2，y2），F(xiàn)2（1，0），（1x1，y1）=2（x21，y2），即，由，解得，直線(xiàn)l的斜率為k=【點(diǎn)評(píng)】： 本題主要考查橢圓的方程以及直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的

18、運(yùn)算能力綜合性較強(qiáng)18（12分）在長(zhǎng)為20m，寬為16m的長(zhǎng)方形展廳正中央有一圓盤(pán)形展臺(tái)（圓心為點(diǎn)C），展廳入口位于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)邊的中間，在展廳一角B點(diǎn)處安裝監(jiān)控?cái)z像頭，使點(diǎn)B與圓C在同一水平面上，且展臺(tái)與入口都在攝像頭水平監(jiān)控范圍內(nèi)（如圖陰影所示）（1）若圓盤(pán)半徑為2m，求監(jiān)控?cái)z像頭最小水平視角的正切值；（2）過(guò)監(jiān)控?cái)z像頭最大水平視角為60°，求圓盤(pán)半徑的最大值（注：水平攝像視角指鏡頭中心點(diǎn)水平觀(guān)察物體邊緣的實(shí)現(xiàn)的夾角）【考點(diǎn)】： 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系【專(zhuān)題】： 計(jì)算題；直線(xiàn)與圓【分析】： （1）過(guò)B作圓C的切線(xiàn)BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連接CA，CE，CB，則CE

19、BE，CAAB，可得監(jiān)控?cái)z像頭水平視角為ABE時(shí)，水平視角最小；（2）當(dāng)ABE=60°時(shí)，若直線(xiàn)BE與圓C相切，則圓C的半徑最大【解析】： 解：（1）過(guò)B作圓C的切線(xiàn)BE，切點(diǎn)為E，設(shè)圓C所在平面上入口中點(diǎn)為A，連接CA，CE，CB，則CEBE，CAAB監(jiān)控?cái)z像頭水平視角為ABE時(shí)，水平視角最小在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tanABC=，在直角三角形BCE中，CE=2，BE=12，tanCBE=，tanABE=tan（ABC+CBE）=1+，監(jiān)控?cái)z像頭最小水平視角的正切值為1+；（2）當(dāng)ABE=60°時(shí)，若直線(xiàn)BE與圓C相切，則圓C的半徑最大在平面ABC內(nèi)，

20、以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則直線(xiàn)BE方程為y=x，CE=54，圓C的半徑最大為54（m）【點(diǎn)評(píng)】： 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題19（14分）若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱(chēng)x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)已知函數(shù)f（x）=ax3+3xlnx1（aR）（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；（2）若f（x）在區(qū)間（，e）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【考點(diǎn)】： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【專(zhuān)題】： 計(jì)算題；分類(lèi)討論；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】： （1）當(dāng)a=0時(shí)，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=3xlnx1并求

21、定義域，再求導(dǎo)數(shù)f（x）=3lnx+3=3（lnx+1），從而由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的極值；（2）函數(shù)f（x）=ax3+3xlnx1的定義域?yàn)椋?，+），再求導(dǎo)f（x）=3（ax2+lnx+1），再令g（x）=ax2+lnx+1，再求導(dǎo)g（x）=2ax+=，從而由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)性分類(lèi)討論以確定函數(shù)是否有極值點(diǎn)及極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【解析】： 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=3xlnx1的定義域?yàn)椋?，+），f（x）=3lnx+3=3（lnx+1），故f（x）=3xlnx1在（0，）上是減函數(shù)，在（，+）上是增函數(shù)；故f（x）在x=時(shí)取得極小值f（）=31；（2）函數(shù)f（x）=ax3+3xlnx1的定義域?yàn)椋?，+

22、），f（x）=3（ax2+lnx+1），令g（x）=ax2+lnx+1，則g（x）=2ax+=，當(dāng)a0時(shí)，g（x）0在（0，+）恒成立，故f（x）=3（ax2+lnx+1）在（0，+）上是增函數(shù)，而f（）=3a（）2+ln+1=3a（）20，故當(dāng)x（，e）時(shí)，f（x）0恒成立，故f（x）在區(qū)間（，e）上單調(diào)遞增，故f（x）在區(qū)間（，e）上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)a=0時(shí)，由（1）知，f（x）在區(qū)間（，e）上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，令=0解得，x=；故g（x）=ax2+lnx+1在（0，）上是增函數(shù)，在（，+）上是減函數(shù)，當(dāng)g（e）g（）0，即a0時(shí)，g（x）在（，e）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且在該零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，令g（）=0得=0，不可能；令g（e）=0得a=，所以（，e），而g（）=g（）=+ln0，又g（）0，所