1、2021-11-22021-11-21 1modern control theory第五章第五章 線性系統的能控性和能觀性線性系統的能控性和能觀性教材：教材： 王萬良，現代控制工程，高等教育出版社，王萬良，現代控制工程，高等教育出版社，20112021-11-22021-11-22 22021-11-22021-11-23 3學習核心學習核心能控性和能觀性能控性和能觀性（概念、判據、實現）（概念、判據、實現）2021-11-22021-11-24 42020世紀世紀6060年代初，年代初，由卡爾曼提出，與狀態空間描述相對應。由卡爾曼提出，與狀態空間描述相對應。狀態空間模型建立了輸入、輸出以及狀

2、態之間的關系：狀態空間模型建立了輸入、輸出以及狀態之間的關系：狀態方程：描述了輸入引起的狀態變化狀態方程：描述了輸入引起的狀態變化 輸入能夠控制狀態輸入能夠控制狀態（控制問題）（控制問題）輸出方程：描述了狀態變化引起的輸出改變輸出方程：描述了狀態變化引起的輸出改變 狀態能否由輸出反映狀態能否由輸出反映（觀測和估計問題）（觀測和估計問題）2021-11-22021-11-25 5控制系統控制系統結構圖結構圖控制系統的兩個重要問題：控制系統的兩個重要問題： 1 1、控制問題：輸入能否控制系統內部狀態使其、控制問題：輸入能否控制系統內部狀態使其滿足預期目標滿足預期目標能控性？能控性？ 2 2、觀測問

3、題：能否通過輸出觀測系統內部狀態、觀測問題：能否通過輸出觀測系統內部狀態的變化，以便對系統進行更好的控制的變化，以便對系統進行更好的控制能觀測性？能觀測性？2021-11-22021-11-26 6觀察如下系統觀察如下系統: : 1x2x2 3 yu顯然，顯然，u u只能控制只能控制 而不能影響而不能影響 ，我們稱狀態變，我們稱狀態變量量 是可控的，而是可控的，而 是不可控的。是不可控的。當系統所有狀態可控，則稱系統當系統所有狀態可控，則稱系統狀態完全可控狀態完全可控；如有；如有一個狀態變量是不可控的，則該系統是一個狀態變量是不可控的，則該系統是狀態不可控的狀態不可控的。1x2x1x2x：指外

4、輸入指外輸入u(t) 對系統狀態變量對系統狀態變量x(t)和輸出變量和輸出變量y(t)的的支支配能力配能力，回答了，回答了u(t)能否使能否使x(t)作任意轉移的問題作任意轉移的問題2021-11-22021-11-27 7指由系統的輸出指由系統的輸出y(t)識別狀態變量識別狀態變量x(t)的能力，的能力，它回答了狀態變量能否由輸出反映出來。它回答了狀態變量能否由輸出反映出來。能通過能通過y(t)y(t)反映的狀態為能觀狀態，不能通過反映的狀態為能觀狀態，不能通過y(t)y(t)反映的狀態為不能觀狀態反映的狀態為不能觀狀態觀察如下系統結構圖：觀察如下系統結構圖：uy 1x 1x2x 2x1 s

5、1 s32可以稱可以稱 是可觀測的，是可觀測的， 是不可觀測的。是不可觀測的。2x1x2021-11-22021-11-28 85.2 5.2 線性定常系統的能控性線性定常系統的能控性1.1. 狀態能控性嚴格定義狀態能控性嚴格定義( (5.2.1)5.2.1)2.2. 狀態能控性判別準則（狀態能控性判別準則（5.2.25.2.35.2.25.2.3）3.3. 輸出能控性及其判別準則輸出能控性及其判別準則( (5.2.4)5.2.4)2021-11-22021-11-29 9如果存在一個分段連續的輸入如果存在一個分段連續的輸入u u(t)(t)，能在能在 的有限時間內使的有限時間內使得系統的某一

6、初始狀態得系統的某一初始狀態 轉移到任一終端狀態轉移到任一終端狀態 ，則稱此，則稱此狀狀態是能控的態是能控的。如果系統的所有狀態都是能控的，即能控狀態充。如果系統的所有狀態都是能控的，即能控狀態充滿整個狀態空間，則稱系統是滿整個狀態空間，則稱系統是狀態完全能控的狀態完全能控的。,0ftt)(0tx)(ftx2021-11-22021-11-21010定義定義 在有限時間區間在有限時間區間 內，若存在無約束的階梯控制序內，若存在無約束的階梯控制序列列 ，能使系統從任意初態，能使系統從任意初態 轉移到任意終轉移到任意終態態 ，則稱該系統是，則稱該系統是ntt, 0) 1(,),0(nuu) 0(

7、x)(nx以把終端狀態規定為狀以把終端狀態規定為狀態空間中的原點態空間中的原點 ，若系統在有限時間內從任一初始狀態轉移至，若系統在有限時間內從任一初始狀態轉移至零狀態，零狀態，則稱系統是狀態能控的則稱系統是狀態能控的； 反之，也可以把初始狀態規定為狀態空間中的原點，若系反之，也可以把初始狀態規定為狀態空間中的原點，若系統從初始零狀態在有限時間內轉移至任意其他終端狀態，統從初始零狀態在有限時間內轉移至任意其他終端狀態，則稱則稱系統是狀態能達的。系統是狀態能達的。 對于線性定常系統，能控性和能達性是等價的。對于線性定常系統，能控性和能達性是等價的。 2021-11-22021-11-21111滿秩

8、滿秩：根據能控性的定義可知，：根據能控性的定義可知，對系統的任意的初始狀態對系統的任意的初始狀態 ，如果能找到輸入如果能找到輸入u(t)u(t)，使之在使之在 的有限時間內轉移到零狀的有限時間內轉移到零狀態態 ，則系統狀態能控。，則系統狀態能控。,0ftt)(0tx0)( ftx：對于線性連續定常系統：對于線性連續定常系統： 狀態完全狀態完全能控的充分必要條件是其能控的充分必要條件是其能控性判別矩陣能控性判別矩陣：buaxx 12babaabbqnc nbabaabbrankrankqnc 122021-11-22021-11-21212 凱萊凱萊哈密頓定理可知哈密頓定理可知時間的函數時間的函

9、數由系統能控性定義由系統能控性定義：先假設這樣的先假設這樣的u u存在，存在，2021-11-22021-11-21313由此可知，要想系統完全能控，則上述方程組必須由此可知，要想系統完全能控，則上述方程組必須有解，即系統的能控性判別矩陣有解，即系統的能控性判別矩陣滿秩滿秩，定理，定理5.1得證。得證。能控性判別矩陣能控性判別矩陣2021-11-22021-11-21414uxxxxxx 102101110221321321 判別如下系統的能控性判別如下系統的能控性2240010115cqbaba b結論：能控性判別矩陣滿秩，故系統狀態完全可控結論：能控性判別矩陣滿秩，故系統狀態完全可控351

10、1010042 rankrankqc秩的計秩的計算算2021-11-22021-11-21515 21321321111112310020231uuxxxxxx 判別如下多輸入線性連續定常系統的能控性判別如下多輸入線性連續定常系統的能控性故系統狀態不完全能控。故系統狀態不完全能控。32000424249494959424249424249494959442211442211452312442211442211452312)(11 rankrankrankbaabbbaabbrankqrankqrankqttnntccc2021-11-22021-11-216161111111112222223

11、301100100rrlllxxrrrxxulllxxc 系統的為：狀態方程分析如下系統：例：判別如下系統的能控性例：判別如下系統的能控性2021-11-22021-11-21717)(101)()()(011220001)1()1()1(321321kukxkxkxkxkxkx 系統的狀態方程如下，試判定系統的狀系統的狀態方程如下，試判定系統的狀態能控性態能控性： (1)首先構造能控性判別陣首先構造能控性判別陣2cqbaba b離散線性定常系離散線性定常系統的能控性統的能控性2021-11-22021-11-2181821100110,02202111011100110222211013ba

12、 ba bnrankqc 32111022113cqbaba b所以能控性判別陣為：所以能控性判別陣為：(2)求能控性判別陣的秩：求能控性判別陣的秩：滿秩，故系統是狀態完全能控。滿秩，故系統是狀態完全能控。cq(3)結論結論2021-11-22021-11-21919)(011000)(041020122) 1(kukxkx001224010204100411 0cq3crankq 例例5.5 判別下列系統的能控性。判別下列系統的能控性。 解: cq由于由于的前三列組成的矩陣的行列式不為的前三列組成的矩陣的行列式不為0，因此，因此所以系統完全能控。所以系統完全能控。2021-11-22021-

13、11-22020定理定理5.2 線性定常系統完全能控的充要條件是：線性定常系統完全能控的充要條件是： （1）當）當a為為對角標準型對角標準型，且對角元素均不相同時，且對角元素均不相同時，對應的對應的b陣元素中沒有全為零的行。陣元素中沒有全為零的行。注意：使用時一定要注意前提條件，如何標準化？注意：使用時一定要注意前提條件，如何標準化？ （2）當矩陣）當矩陣a為為約當陣約當陣，且每一約當陣對應的特征根，且每一約當陣對應的特征根均不相同時，每個約當塊最后一行所對應的均不相同時，每個約當塊最后一行所對應的b陣中的陣中的相應行中沒有元素全為零的行。相應行中沒有元素全為零的行。 任意的狀態空間模型總可以

14、通過線性變換的方法轉換為任意的狀態空間模型總可以通過線性變換的方法轉換為標準型：標準型： 對角標準型、約當標準型、能控標準型、能觀標準型對角標準型、約當標準型、能控標準型、能觀標準型2021-11-22021-11-22121( )( )( )( )( )( )x tax tbu ty tcx tdu t設 兩 系 統 的 動 態 方 程 為 ：設 兩 系 統 的 動 態 方 程 為 ： 若上述兩個系統存在如下關系：若上述兩個系統存在如下關系： ( )( )( )( )( )( )tatbttctdt xxuyxu1xpxxp x11apapbpbccpdd則稱兩個系統是則稱兩個系統是代數等價

15、代數等價的，的，且線性非奇異變換且線性非奇異變換 稱為稱為等價變換等價變換xp x線性變換不線性變換不會改變系會改變系統的固有統的固有性質性質2021-11-22021-11-22222定理：在任何非奇異線性變換下，線性定常（連續、定理：在任何非奇異線性變換下，線性定常（連續、離散）狀態方程的能控性保持不變。離散）狀態方程的能控性保持不變。 證明：設線性定常連續系統的狀態方程為證明：設線性定常連續系統的狀態方程為buaxxs：xpx ubxaxs：babaabbrankranksnc12經非奇異線性變換經非奇異線性變換變換為變換為 s的能控陣為 babababprankbapbapbapbpr

16、ankbppapbppapbppapbprankranksnnnc121211121因為p是可逆即滿秩的，所以cncsrankbabababrankranks12類似地，可以證明線性離散系統的情況。2021-11-22021-11-22323ubxxn0021buaxx定理定理5.35.3 設線性定常系統設線性定常系統具有互異的特征值具有互異的特征值，則其狀態完全能控的充分必，則其狀態完全能控的充分必要條件，是經非奇異線性變換后的對角線標準型：要條件，是經非奇異線性變換后的對角線標準型： b陣不包含元素全為零的行。陣不包含元素全為零的行。系統完全能控的判據二系統完全能控的判據二基于標準型的判據

17、基于標準型的判據2021-11-22021-11-22424ubxjjjxk0021 定理定理5.45.4 若線性定常系統若線性定常系統具有重特征值具有重特征值，且每一個重特，且每一個重特征值對應一個獨立的特征向量，則系統狀態完全能控的充分必征值對應一個獨立的特征向量，則系統狀態完全能控的充分必要條件是，其經過非奇異變換后的約當標準型要條件是，其經過非奇異變換后的約當標準型), 2 , 1(kijib中，每個約當小塊中，每個約當小塊的最后一行對應的的最后一行對應的陣的各行元素不全為零。陣的各行元素不全為零。系統完全能控的判據二系統完全能控的判據二基于標準型的判據基于標準型的判據2021-11-

18、22021-11-22525狀態完全能控狀態完全能控uxxxxxx 7521000500073213211 1）考察如下系統的能控性：考察如下系統的能控性：系統完全能控的判據二系統完全能控的判據二基于標準型的判據基于標準型的判據狀態不完全能控狀態不完全能控uxxxxxx 9021000500073213212 2）2021-11-22021-11-22626狀態完全能控狀態完全能控uxxxxxx 5704101000500073213213 3）4 4）11221332445551000000500042003100100030200000210 xxxxuxxuxxxx0 04 20 10

19、01 0狀態完全能控狀態完全能控狀態不完全能控狀態不完全能控2021-11-22021-11-22727線性系統的輸出能控性線性系統的輸出能控性 定義：定義：如果存在無約束的控制向量如果存在無約束的控制向量u(t),在有限的在有限的時間間隔時間間隔t0,tf內，使任一給定的初始輸出內，使任一給定的初始輸出y(t0)轉轉移到任一最終輸出移到任一最終輸出y(tf)，則稱線性定常系統為輸，則稱線性定常系統為輸出能控的。出能控的。 定理定理3.9：線性系統輸出可控的充分必要條件為輸線性系統輸出可控的充分必要條件為輸出能控性矩陣滿秩：出能控性矩陣滿秩：分析分析p90 例例5.62021-11-22021

20、-11-22828小節：線性定常系統的能控性小節：線性定常系統的能控性 （對角標準型和約當標準型）（對角標準型和約當標準型）3. 輸出能控性及其判別準則輸出能控性及其判別準則(5.2.4)課后練習課后練習5.1 5.1 （1 1）、（）、（3 3）、（）、（4 4）、（）、（6 6）2021-11-22021-11-22929核心內容：核心內容： 能控性和能觀性能控性和能觀性學習方法和思路：學習方法和思路： 綜合、分析、綜合、分析、 類比、構造類比、構造2021-11-22021-11-230305.2 5.2 線性定常系統的能控性線性定常系統的能控性1.1. 線性定常系統狀態能控性的嚴格定義

21、線性定常系統狀態能控性的嚴格定義2. 線性定常系統線性定常系統狀態能控性判別準則（狀態能控性判別準則（2 2種）種）5.3 5.3 線性定常系統的能觀性線性定常系統的能觀性1.1. 線性定常系統狀態能觀性的嚴格定義線性定常系統狀態能觀性的嚴格定義2. 線性定常系統線性定常系統狀態能觀性判別準則狀態能觀性判別準則2021-11-22021-11-23131)(0tx,0ftt0ttf )(ty)(0txu線性定常連續系統狀態線性定常連續系統狀態能觀測性定義能觀測性定義u線性定常離散系統狀態線性定常離散系統狀態觀測性定義觀測性定義2021-11-22021-11-23232 ttdbuttxttt

22、x0)()()()()(00 1 1、能觀測性是研究輸出反映狀態的能力，即通過輸出、能觀測性是研究輸出反映狀態的能力，即通過輸出量在有限時間內的量測，能否把系統的狀態識別出來。量在有限時間內的量測，能否把系統的狀態識別出來。：2 2、輸入引起的輸出可計算，所以分析觀測性時，常令、輸入引起的輸出可計算，所以分析觀測性時，常令u u恒等于恒等于0 0，即，即分析齊次狀態方程和輸出方程即可分析齊次狀態方程和輸出方程即可。2021-11-22021-11-23333線性定常系統線性定常系統定理定理5.55.5：對于線性定常系統連續和離散，狀態完全能觀測：對于線性定常系統連續和離散，狀態完全能觀測的的充

23、分必要條件充分必要條件是其能觀測性判別矩陣：是其能觀測性判別矩陣：nrankqo 滿秩滿秩即：即：11()tttttntonccaqca cacca2021-11-22021-11-23434 xyuxx154,1006116100010 例例11 判別如下判別如下sisosiso系統的能觀測性系統的能觀測性2451671651ocqcaca1 1）構造能觀測性判別矩陣：）構造能觀測性判別矩陣：32156176154 rankrankqo 故系統不是狀態故系統不是狀態 完全能觀測的完全能觀測的2021-11-22021-11-23535xyuxx 0101,113112 判別如下判別如下mim

24、omimo系統的能觀測性：系統的能觀測性：10212110132110102121ocacqca 構造能觀測性判別矩陣，并判斷其秩構造能觀測性判別矩陣，并判斷其秩：滿秩？2orankq 2021-11-22021-11-236362 2、判據、判據2 2基于標準型的能觀性判據基于標準型的能觀性判據2021-11-22021-11-23737112233700205 0500172 05xxxxuxxyx 1 1）考察如下系統的能觀測性考察如下系統的能觀測性：狀態不完全狀態不完全能觀測能觀測狀態完全能觀測狀態完全能觀測112233700205 0000191 4 22 0 0 xxxxuxxyx

25、 2 2）2021-11-22021-11-23838狀態不完全能觀測狀態不完全能觀測1122331001010000151 3 2xxxxuxxy 4 4）3 3）狀態不完全能觀測狀態不完全能觀測021crankqrankcaca112213324455510000005000420031001000302000002100110102010 xxxxuxxuxxxxy0 11 0 11 200 0y2021-11-22021-11-2393920 1 2 1 10 10 0 2 0 10 031 0 1 010crankqrank b ab abrank1 3 20 11 0 00 4 2

26、0 00 0 10 0 11 0 xxu yx例例解解: :(1)(1)計算能控性判別矩陣的秩計算能控性判別矩陣的秩因為能觀性判別矩陣滿秩，因為能觀性判別矩陣滿秩，由此可知系統完全能控由此可知系統完全能控例：判斷下列系統的能控性和能觀性例：判斷下列系統的能控性和能觀性2021-11-22021-11-240402100001132300111510001ocrankqrankcarankca因為能觀性判別矩陣滿秩，由此可知系統完全能觀測因為能觀性判別矩陣滿秩，由此可知系統完全能觀測2021-11-22021-11-24141第一能控第一能控第二能控第二能控第一能觀第一能觀第二能觀第二能觀202

27、1-11-22021-11-24242u選取不同的狀態變量，系統狀態空間模型便具有不同的形式，選取不同的狀態變量，系統狀態空間模型便具有不同的形式，某些特定的形式稱為標準型。某些特定的形式稱為標準型。u狀態空間模型的標準型，對于系統分析、設計往往很方便狀態空間模型的標準型，對于系統分析、設計往往很方便:對角線標準型便于狀態轉移矩陣的計算、對角線標準型便于狀態轉移矩陣的計算、 能控性與能觀能控性與能觀 性的分析；性的分析；能控標準型便于系統的狀態反饋設計；能控標準型便于系統的狀態反饋設計；能觀標準型便于系統狀態觀測器的設計以及系統辨識。能觀標準型便于系統狀態觀測器的設計以及系統辨識。u經線性變換

28、可將一個狀態空間模型化成能控標準型和能觀標經線性變換可將一個狀態空間模型化成能控標準型和能觀標準型。在下面的討論中，將單輸入單輸出連續和離散線性定常準型。在下面的討論中，將單輸入單輸出連續和離散線性定常系統都記為系統都記為 ，線性變換后的系統記為，線性變換后的系統記為,cba,cba5.5 5.5 狀態空間模型的能控標準型與能觀標準型狀態空間模型的能控標準型與能觀標準型2021-11-22021-11-24343100,100100101210baaaaann定理：具有第一能控標準型的狀態方程是能控的。任一能控狀態模定理：具有第一能控標準型的狀態方程是能控的。任一能控狀態模型均可通過非奇異線性

29、變換型均可通過非奇異線性變換 ，變換為第一能控標準型，變換為第一能控標準型，其中其中xtx1111111,001,nccntt attqqbababt a11atatbtbcct2021-11-22021-11-24444例例5.17 5.17 將狀態方程變換為第一能控標準型。將狀態方程變換為第一能控標準型。uxx11210111,213ccqrankq系統能控系統能控 因為因為 111311122,01112222ccqtq第一能控標準型為第一能控標準型為 1010,231atatbtb 所以變換陣所以變換陣p為為11112201ttt a111121220101t2021-11-22021

30、-11-24545定義：具有下列形式的狀態方程稱為第二能控標準型：定義：具有下列形式的狀態方程稱為第二能控標準型：001,100100120baaaann1ncpqbabab11ap apbp bccp其線性變換陣為其線性變換陣為 定理：具有第二能控標準型的狀態方程是能控的。任一能控狀態定理：具有第二能控標準型的狀態方程是能控的。任一能控狀態 方程均可經非奇異變換方程均可經非奇異變換 為第二能控標準型，為第二能控標準型，xpx2021-11-22021-11-24646驗證驗證1221001,01090120011cpcbpbappa例例5.18 將下述系統變換為第二能控標準型。將下述系統變換

31、為第二能控標準型。1124161.750.52168 ,0.1250.25012120.12500.25ccpqpq 112233120231110201001xxxxuxxyx變換陣：變換陣：2021-11-22021-11-24747定義：具有下列形式的狀態空間模型稱為第一能觀標準型定義：具有下列形式的狀態空間模型稱為第一能觀標準型100,100100120caaaann21111111101000011nnppapa papccapqca 定理：具有第一能觀標準型的動態方程是能觀的。任一能觀動態定理：具有第一能觀標準型的動態方程是能觀的。任一能觀動態方程均可以變換為第一能觀標準型，其變換

32、為方程均可以變換為第一能觀標準型，其變換為 xpx變換矩陣變換矩陣與第一能控標準型的關系？2021-11-22021-11-24848例例5.20 將動態方程變換為第一能觀標準型。將動態方程變換為第一能觀標準型。xyuxx100,112020113021解：解：1）判別系統能觀性：）判別系統能觀性： 02001020622cqcaca所以，系統能觀，可以變換為能觀標準型。所以，系統能觀，可以變換為能觀標準型。 03rankq 2021-11-22021-11-249492）求變換矩陣）求變換矩陣11113661002100oq1210111176066100,021010pqa pap1000

33、210676161p觀察系統特征方程為觀察系統特征方程為0293ssasi則第一能觀標準型為則第一能觀標準型為100,010901200ca有何關系呢？有何關系呢？2021-11-22021-11-25050001,1000010110caaaan01nccatqca與第二能控性的關系？定理：具有第二能觀標準型的動態方程是能觀的。任一能觀動定理：具有第二能觀標準型的動態方程是能觀的。任一能觀動態方程均可以變換為第二能觀標準型，其變換為態方程均可以變換為第二能觀標準型，其變換為 xtx2021-11-22021-11-251512021-11-22021-11-252525.7 對偶性原理對偶性

34、原理 對偶性原理由卡爾曼提出。其意義在于：u確定了線性系統能控性能控性和能觀性能觀性的內在對偶關系（無論是概念還是判據的形式）；u建立了系統控制問題控制問題和估計問題估計問題之間的關系橋梁。 從而使得系統的分析和設計更為靈活。設有如下兩個線性定常系統設有如下兩個線性定常系統： *xcyubxax cxybuaxx 1： 2：如果滿足如下關系，則稱兩系統是互為如果滿足如下關系，則稱兩系統是互為對偶系統對偶系統的：的：tttbccbaa *,2021-11-22021-11-25353：abcxuynrnnmn輸入輸入r維，輸出維，輸出m維維1：2：輸入輸入m維，輸出維，輸出r維維a*=atc*=

35、btb*=ctx*u*y*nmnnrn輸入輸出互換；輸入輸出互換；信號傳遞方向相反；信號傳遞方向相反；信號引出點信號引出點 和綜合點互換；和綜合點互換；對應矩陣轉置對應矩陣轉置觀察觀察2021-11-22021-11-254541 1）互為對偶的系統，其傳遞函數陣是互為轉置的。）互為對偶的系統，其傳遞函數陣是互為轉置的。2 2）互為對偶的系統，其特征方程是相同的。）互為對偶的系統，其特征方程是相同的。 )()()()()()(1111*1*2sgbasiccasibcasibbasicsgtttttttt 0)(* asiasiasiasitt21( )( )tg sgs2021-11-220

36、21-11-25555 設設 和和 是互為對偶的兩個系統，則是互為對偶的兩個系統，則: : 的能控性的能控性 的能觀測性；的能觀測性； 的能觀測性的能觀測性 的能控性。的能控性。1 2 2 2 若若 能控能控，則能控性矩陣，則能控性矩陣 滿秩。即：滿秩。即：1 cq nbaabbrankrankqnc 11 1 *orankqn2 欲證欲證 的能觀測性即要求的能觀測性即要求滿足滿足2 的能觀測性矩陣為：的能觀測性矩陣為：考察考察2021-11-22021-11-25656所以所以 能觀測能觀測。2 *1()oncc arankqrankc a利用對偶原理，可以把對系統能控性分析轉化為對其利用對

37、偶原理，可以把對系統能控性分析轉化為對其對偶系統能觀測性的分析。從而溝通了控制問題和估計問題之對偶系統能觀測性的分析。從而溝通了控制問題和估計問題之間的關系。間的關系。反之亦然。反之亦然。11()()()ttttttt nntbbb aabrankrankb aa b1tncrank bababrankqn重要結論：第一能控標準型和第一能觀標準型、重要結論：第一能控標準型和第一能觀標準型、 第二能控標準型和第二能觀標準型第二能控標準型和第二能觀標準型 各自互為對偶型各自互為對偶型2021-11-22021-11-257572021-11-22021-11-25858 對于線性定常系統，給定傳遞

38、函數陣對于線性定常系統，給定傳遞函數陣g(s),g(s),若存在狀態空間表達式若存在狀態空間表達式( , , , )a b c d使下式成立：使下式成立：1( )()g sc siabd則稱則稱 為傳遞函數陣為傳遞函數陣g(s)的一個實現的一個實現( , , ,)a b c du所謂系統的所謂系統的實現問題實現問題，即通過表征系統外部因果，即通過表征系統外部因果關系的傳遞函數矩陣來確定表征系統內部特性的狀關系的傳遞函數矩陣來確定表征系統內部特性的狀態空間描述。態空間描述。 問題問題1：同一系統的實現是否唯一？：同一系統的實現是否唯一？ 問題問題2：如果實現不唯一，則如何區別優劣？：如果實現不唯

39、一，則如何區別優劣？5.6 5.6 傳遞函數的幾種標準型實現傳遞函數的幾種標準型實現實現問題實現問題：2021-11-22021-11-25959 能控標準型 能觀標準型 對角標準型 約當標準型注：各種標準型之間可以通過線性變換相互轉換，體現了注：各種標準型之間可以通過線性變換相互轉換，體現了狀態空間模型的非唯一性狀態空間模型的非唯一性；但變換過程中保持著；但變換過程中保持著系統的不系統的不變性變性（維數不變）（維數不變）四種標準型實現四種標準型實現2021-11-22021-11-2606001110111)(asasasabsbsbsbsgnnnnnnnn設設g(sg(s) )為為既約分式

40、既約分式，由長除法得，由長除法得 dasasasbsbsbsbsgnnnnnnn0111012211)() 1, 0(, )(1,niaabbabaaaabdninininiinng(s) ( , ,)a b c?2021-11-22021-11-26161)()()(0111012211sdusuasasasbsbsbsbsynnnnnnn)()(01110122111suasasasbsbsbsbsynnnnnnn)()(10122110111subsbsbsbasasasnnnnnnnysdu s2( )( )2021-11-22021-11-2626221201)1(1101)1(1)

41、(yyyduyzbzbzbyuzazazaznnnnn取狀態變量為取狀態變量為 zx 1zx2) 1( nnzxuxaaaaxn100010001001012100duxbbbyn1102021-11-22021-11-263631012101000010000001naaaaa1011ncbbb10001tbb111(,)a b c1、能控標準型實現、能控標準型實現2021-11-22021-11-26464例例 求系統的能控標準型實現求系統的能控標準型實現。1064232)(232ssssssg5322321)232ssssssg（解解能控標準型實現為能控標準型實現為uxx10023510

42、0010 xy211232021-11-22021-11-265650122100010000100000001nnaaaaa2011tnbbbb20001cc222(,)a b c2、能觀標準型實現、能觀標準型實現2021-11-22021-11-26666例例 已知系統的傳遞函數如下，已知系統的傳遞函數如下，：2324102( )268ssg sss232251( )34ssg sss0120124,0,31,5,2aaabbb2021-11-22021-11-26767012010010001001,403aaaa 100b152c ( , ,)a b c(,)tttacb004100,

43、013ta152tc 001tb2021-11-22021-11-26868111012120.( )( )( ).nnnnnnnb sbs bb sg sa ssa sasa推廣到一般的傳遞函數：推廣到一般的傳遞函數：2021-11-22021-11-269693、對角標準型、對角標準型10121201.( )( )( ).mmnnnnnniiib sbsby sg su ssasasacs2021-11-22021-11-2707011122301101nnnxxxxuxx 1212nnxxy c ccx ( , , )a b clim ( )()iiiscg s s對角標準型對角標準型2

44、021-11-22021-11-27171對角標準型對角標準型( , , )(,)ttta b ca cb的對偶式1111223200nnnnxxcxxcuxxc12111nxxyxlim( )()iiiscg s s2021-11-22021-11-272722021-11-22021-11-27373例例 已知系統的傳遞函數如下，已知系統的傳遞函數如下，68( )(1)(2)(3)sg sssslim( )()iiiscg s s123145ccc312( )123cccg ssss123123 2021-11-22021-11-27474112233100102010031xxxxuxx

45、 145yx112233100102040035xxxxuxx 1 1 1yx2021-11-22021-11-275751012120.( )( )( ).mmnnnnnb sb sby sg su ssasasa11,jn4 4、約當標準型、約當標準型2021-11-22021-11-27676111121111( )()()njikjkjkccccg sssss 11121211121100000010010010001jjjjjjnnnxxxxxxuxxxx2021-11-22021-11-277771112112jjjnyccccccxlim( )()iiiscg s s1(1)11

46、(1)1lim( )() (1)!ijiisdcg ssids2021-11-22021-11-27878約當標準型2約當標準型1的對偶式111112121211112110001001000000jjjjjjjjnnnnxxcxxcxxcxxcxxc u01 1 11yx2021-11-22021-11-279792021-11-22021-11-28080 例：已知系統傳遞函數如下，求其約當標準型例：已知系統傳遞函數如下，求其約當標準型23(5)( )(3) (2)(1)sg ssss3111242( )(3)321ccccg sssss12343,21 1(1)11(1)1lim( )(

47、) (1)!ijiisdcg ssids111236cclim( )()iiiscg s s3493cc 2021-11-22021-11-281811122334431000030010020100011xxxxuxxxx 12343 69 3tyxxxx111236cc3493cc 12343,21 2021-11-22021-11-2828214)2)(1(3)(ssssssg例例4 4 已知單輸入已知單輸入- -多輸出系統的傳遞函數矩陣如下，求其傳遞函多輸出系統的傳遞函數矩陣如下，求其傳遞函數矩陣的可控標準型實現及對角型實現。數矩陣的可控標準型實現及對角型實現。解解: : (1)(1)

48、分析分析系統特點系統特點(simo)，將，將 化為化為 嚴格有理真分式。嚴格有理真分式。( )g s)(13) 2)(1(310131) 2)(1(3)(sgdsssssssssg2021-11-22021-11-28383)(13)2)(1(310131)2)(1(3)(sgdsssssssssg23311( )3(2)36(s 1)(s 2)32ssg sssss（3 3）可控標準型動態方程為）可控標準型動態方程為 ： 12010231xx ax buux 123 106 31xy c x duux 2021-11-22021-11-2848412101021xxaxbuux （5 5）求

49、取極點對應的留數）求取極點對應的留數, ,確定系數確定系數c c1 1 c c2,2,以及輸出方程以及輸出方程111222321( )(1)3(2)32311( )(2)3(2)01ssssscg s sssscg s sss 輸出方程為輸出方程為 ：12y cx ducc x du1212 （4 4）求取系統極點，構成對角形狀態方程）求取系統極點，構成對角形狀態方程2021-11-22021-11-2858512101021xxaxbuux 12210301y cx ducc x duxu （6 6）系統的對角標準型如下所示：）系統的對角標準型如下所示：2021-11-22021-11-28

50、6862021-11-22021-11-28787 對于不能控或不能觀系統來說，有效區分系統的能控、能對于不能控或不能觀系統來說，有效區分系統的能控、能觀測以及不能控和不能觀測部分，可以簡化系統的分析和設觀測以及不能控和不能觀測部分，可以簡化系統的分析和設計，也利于解決系統的實現問題。計，也利于解決系統的實現問題。ncoconcnocno狀狀態態空空間間分分布布圖圖四種子系統四種子系統能能控控能能觀觀子子系系統統能能控控不不能能觀觀能能觀觀不不能能控控不不能能觀觀不不能能控控2021-11-22021-11-28888：將系統顯性分解為能控和不能控兩部分，為實現做準備：將系統顯性分解為能控和不

51、能控兩部分，為實現做準備xaxbuycx(1)(1)將狀態空間描述變換為能控性結構分解標準型將狀態空間描述變換為能控性結構分解標準型：如果線性定常系統：如果線性定常系統： 狀態不完全能控狀態不完全能控， cxybuaxx 即即crankqkn，則則一定存在非奇異變換一定存在非奇異變換cxt x1cca t at1cb t bccct2021-11-22021-11-289891200ccccncncncccncncxaaxbuxaxxyccx則能控性結構分解標準型則能控性結構分解標準型：cncxxx120cncaaaa0cbbcncccc其中其中：結論：結論：能控性結構分解主要在于尋找非奇異變

52、換陣能控性結構分解主要在于尋找非奇異變換陣t tc c上三角陣上三角陣2021-11-22021-11-29090其中其中 是是k 維能控部分：維能控部分：(,)ccca b c12cc cnccxaxa xbu 是是n-n-k 維不能控部分：維不能控部分：(,0,)ncncacncncncxa x21ncrankqrank b ab a bab11()()cccc siabcsiab零極點對消后簡化零極點對消后簡化21kcccccccrank ba ba babk（2）系統能控性矩陣的秩為能控子系統的秩）系統能控性矩陣的秩為能控子系統的秩（3）系統的傳遞函數與能控子系統的相同）系統的傳遞函數

53、與能控子系統的相同2021-11-22021-11-29191u u不能直接控制不能直接控制 ，且，且 也不能通過也不能通過 間接受間接受u u的影響的影響ncxncxcx(,)cccca b c(,0,)ncccac cx u ca12ancacb cxncxncx 2021-11-22021-11-29292001110310 120130 xxuyx 請判斷其能控性，若狀態不完全能控，請按能控性分解。請判斷其能控性，若狀態不完全能控，請按能控性分解。線性定常系統動態方程如下：線性定常系統動態方程如下： 22103111012 rankbaabbrankrankqc1 1）求能控性判別矩陣

54、的秩）求能控性判別矩陣的秩系統狀態不完全能控系統狀態不完全能控線性無關的列線性無關的列2021-11-22021-11-29393123100110011ctaaa易得易得 ：110011011 1ct 2 2）按能控性進行分解）按能控性進行分解, ,先構造非奇異矩陣先構造非奇異矩陣t tc c 方法：方法：取取qc中線性無關的前兩列為中線性無關的前兩列為tc中的前兩列中的前兩列， 并保證其逆并保證其逆tc-1存在，構造變換陣如下：存在，構造變換陣如下：2021-11-22021-11-29494（3 3）能控性結構分解標準型為：）能控性結構分解標準型為：110 0 0 01 1 0 0011

55、1 1 0 1 03 1 1 012211 1 0 13 0 1 10 01cca t at 1100 111 10 1011 1 00cb t b 1000 12 110011112ccct2021-11-22021-11-29595：將系統顯性地分解為能觀測和不能觀測兩部分。將系統顯性地分解為能觀測和不能觀測兩部分。 也是觀測器設計基礎。也是觀測器設計基礎。: :如果線性定常系統：如果線性定常系統： 狀態不完全能狀態不完全能 cxybuaxx 觀觀測測, ,即其能觀性判別矩陣的秩：即其能觀性判別矩陣的秩：orankqkn xcyubxax （1 1）使狀態空間描述變換為）使狀態空間描述變換

56、為能觀性結構分解標準型：能觀性結構分解標準型：則存在非奇異變換：則存在非奇異變換：oxt x2021-11-22021-11-296961210ooonoaa t ataakn kkn k1oonobbt bbknk0oocctcknk21 12,oooooonononoxa xb uyc xxa xa xb u寫成方程為：寫成方程為：其中其中：onoxxxkn k2021-11-22021-11-29797其中其中 是是k 維能觀部分維能觀部分( ,)oooa b c 是是n-n-k 維不能觀部分維不能觀部分(,0)nonoab（2）系統能觀測性矩陣的秩為能觀測子系統的秩）系統能觀測性矩陣的秩為能觀測子系統的秩11oooonkoocccac arankqrankrankkcac a 11()()oooc siab