1、充分必要條件常見題型 山東 胡大波一、 直接判斷型直接判斷型即利用充分必要條件的定義，其思路為：（1）首先分清條件是什么，結論是什么；（2）然后嘗試用條件推結論，或用結論推條件；（舉反例說明其不成立是常用的推理方法） （3）最后再指出條件是結論的什么條件。 例1、 “a1”是“函數在區間上為增函數”的（ ）a、充分不必要條件 b、必要不充分條件c、充要條件 d、既不充分也不必要條件 解：當a1且時，x1，顯然函數f（x）x1在區間上為增函數，而當時，函數xa在區間為增函數，故選a.點評：在判斷充分條件、必要條件、充要條件時，首先應弄清哪一個是“條件”，哪一個是“結論”，因為同樣是ab，如果a是

2、條件，b是結論，則a是b成立的充分條件；如果b是條件，a是結論，則b是a成立的必要條件，其次，再判斷是條件蘊含結論，還是結論蘊含條件，即判斷到底向哪一邊推結論才成立，明確了這兩點，就不難對問題作出正確的判斷。二、集合判斷型例2、設p：，q：，則p是q的（ ）a、充分不必要條件 b、必要不充分條件c、充要條件 d、既不充分也不必要條件 解：由或，即；由，即，顯然，則p是q的充分不必要條件，故選a.點評：充要條件可以從集合的包含關系的角度來理解它們之間的對應關系，設滿足條件p的對象組成集合p，滿足條件q的對象組成集合q.（1）若，則p為q的充分條件，其中當時，p為q的充分不必要條件。（2）若，則p

3、為q的必要條件，其中當時，p為q的必要不充分條件。（3）若，且，即pq，則p為q的充要條件。（4）如果以上三種關系均不成立，即p、q之間沒有包含或相等關系（pq且qp）此時或p、q既有公共元素，也有非公共元素，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件。三、傳遞法判斷型若，則，即a是d的充分條件，利用這一結論可研究多個命題之間的充要關系。例3、已知p，q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，你們s，r，p分別是q的什么條件？解析：用箭頭符號“”畫出表示題設條件的圖形（如圖），由圖，知srq，所以sq，又qs，所以s，即s是q的充要條件。由rq，qsr，得rq，即r是q的充要條件

4、。由qsrp，得qp，故p是q的必要條件。 四、條件證明型 關鍵是弄清條件與結論之間的關系，分兩步證明，即證明充分性和必要性。 例4、設a，b，c為abc的三邊，求證：方程與有公共根的充要條件是 分析：區分條件與結論，證明充分性是由條件結論，證明必要性是由結論條件。 證明：充分性：因為，所以于是方程可化為，所以，所以，該方程有二根， 同樣另一方程也可化為，即，也有二根，可以發現，所以方程有公共根。必要性：設是方程的公共根，則 由（1）（2）得 代入（1）并整理可得所以，所以結論成立。點評：對論證充要條件要分清“充分性”和“必要性”，然后分別作出相應的證明。五、條件探索型探求充要條件的問題一般有兩種處理方法，一是將題意等價轉化，進而化簡求得，二是先由題意求出條件，再證明充分性。例5、已知關于x的一元二次方程（）， 求方程和的根都是整數的充要條件分析：根據方程和有實根且實根為整數，先求出整數m，然后再確定它是否具有充分性。解：方程有實數根的充要條件，解得所以，而，故m1或m0或m1當m1時，方程為，無整數根；當m0時，方程為，無整數根；當m1時，方程為，方程，和均有整數根。從而，和均有整數根m1；反之，1，方程為，方程為，和均有整數根，所以和均有整數根的充要條件是1.