1、第五章 相交線、平行線培優訓練題一、知識要點：1.平面上兩條不重合的直線，位置關系只有兩種：相交和平行。2.兩條不同的直線，若它們只有一個公共點，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個交點。3.垂直是相交的特殊情況。有關兩直線垂直，有兩個重要的結論：（1）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點與直線上所有點的連線中，垂線段最短。4兩條直線被第三條直線所截，構成八個角，在那些沒有公共頂點的角中，如果兩個角分別在兩條直線的同一方，并且都在第三條直線的同側，具有這種關系的一對角叫做_ ；如果兩個角都在兩直線之間，并且分別在第三條直線的兩側，具有這種關系的一對角叫做_ ；如果兩個角

2、都在兩直線之間，但它們在第三條直線的同一旁，具有這種關系的一對角叫做_.5平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線_.推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么_.6平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：_.兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：_.兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：_.7在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線_ .8平行線的性質：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：.兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等

3、.簡單說成：_.兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補.簡單說成：_。.方法指導：平行線中要理解平行公理，能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內錯角、同旁內角，并會運用與“三線八角”有關的平行線的判定定理和性質定理，利用平行公理及其推論證明或求解。二、例題精講例1如圖(1)，直線a與b平行，1(3x+70)°,2=(5x+22)°,求3的度數。解：ab，34（兩直線平行，內錯角相等）1+32+4180°(平角的定義)12 (等式性質)則3x+705x+22解得x=24 即1142°3180°-138° 圖(1)評注：建立角度之

4、間的關系，即建立方程（組），是幾何計算常用的方法。例2已知：如圖(2)， abefcd，eg平分bef，b+bed+d =192°，b-d=24°，求gef的度數。解：abefcd b=bef，def=d（兩直線平行，內錯角相等） b+bed+d =192°（已知） 即b+bef+def+d=192°2（b+d）=192°（等量代換）則b+d=96°（等式性質）b-d=24°（已知） 圖(2)b=60°（等式性質） 即bef=60°（等量代換） eg平分bef（已知）gef=bef=30°（角平

5、分線定義）例3如圖（3），已知abcd，且b=40°，d=70°，求deb的度數。解：過e作efababcd（已知）efcd（平行公理）bef=b=40° def=d=70°（兩直線平行，內錯角相等）deb=def-bef deb =d-b=30° 評注：證明或解有關直線平行的問題時，如果不構成“三線八角”，則應添出輔助線。圖（3）例4已知銳角三角形abc的三邊長為a，b，c，而ha，hb，hc分別為對應邊上的高線長，求證：ha+hb+hca+b+c分析：對應邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段證明：由垂線段最短知，hac ，hba，hcb以上

6、三式相加得ha+hb+hca+b+c研究垂直關系應掌握好垂線的性質。1 以過一點有且只有一條直線垂直于已知直線。2 垂線段最短。例5平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點，有多少個不同交點？解：2條直線產生1個交點，第3條直線與前面2條均相交，增加2個交點，這時平面上3條直線共有1+2=3個交點；第4條直線與前面3條均相交，增加3個交點，這時平面上4條直線共有1+2+3=6個交點；則n條直線共有交點個數：1+2+3+ (n-1)=n(n-1)評注：此題是平面上n條直線交點個數最多的情形，需要仔細觀察，由簡及繁，深入思考，從中發現規律。例66個不同的點，其中只有3點在同一條直線上，2點

7、確定一條直線，問能確定多少條直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點所在的直線外的3點間最多能確定3條直線，這3點與直線上的3點最多有3×3=9條直線，加上3點所在的直線共有：3+9+1=13條評注：一般地，平面上n個點最多可確定直線的條數為：1+2+3+(n-1)=n(n-1)例710條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區域？解：2條直線最多將平面分成2+2=4個不同區域；3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個交點，此直線被這兩點分成3段，每一段將它所在的區域

8、一分為二，則區域增加3個，即最多分成2+2+3=7個不同區域；同理：4條直線最多分成2+2+3+4=11個不同區域； 10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個不同區域推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+n(n+1)=(n2+n+2)塊不同的區域思考：平面內n個圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區域 例8.如圖5-2-11,b=c,b、a、d在同一直線上,dac=b+c,ae是dac的平分線.試說明:aebc.先閱讀下面的方法1并填寫推理根據,再將方法1第一步中b=dac改為c=dac,獨立寫出方法2.方法1:因為dac=b+c,且b=c(

9、 ），所以b=dac( ).因為ae是dac的平分線( ),所以1=dac( ). 圖5-2-11所以b=1( ).所以aebc( ).例9: 如圖，aec=bae+ecd .求證:abcd.例10:（1）如圖所示，兩條直線ab與cd相交成幾對對頂角？幾對鄰補角（2）如圖所示,三條直線ab、cd、ef相交呢？（3）試猜想n條直線相交會成多少對對頂角？多少對鄰補角 例11.如圖所示,be平分abd,de平分bdc,1+2=90°,那么直線ab、cd的位置關系如何?例12.如圖所示,efbc,deab,b=ade,那么ad、ef平行嗎?請說明理由. 例13 ：如圖 118，直線ab，直線

10、 ab交 a與 b于 a，b，ca平分1，cb平分 2，求證：c=90°分析： 由于ab，1，2是兩個同側內角，因此1+2=過c點作直線 l，使 la(或 b)即可通過平行線的性質實現等角轉移說明： 做完此題不妨想一想這個問題的“反問題”是否成立， 即“兩條直線a，b被直線ab所截(如圖120所示)，ca，cb分別是bae與abf的平分線，若c=90°，問直線a與直線b是否一定平行？”由于這個問題與上述問題非常相似(將條件與結論交換位置)，因此，不妨模仿原問題的解決方法來試解例14： 如圖121所示，aa1ba2求證：a1-b1+a2=0分析： 本題對a1，a2，b1的大小

11、并沒有給出特定的數值，因此，答案顯然與所給的三個角的大小無關也就是說，不管a1，a2，b1的大小如何，答案應是確定的我們從圖形直觀，有理由猜想答案大概是零，即a1+a2=b1 猜想，常常受到直觀的啟發，但猜想必須經過嚴格的證明式給我們一種啟發，能不能將b1一分為二使其每一部分分別等于a1與a2這就引發我們過b1點引aa1(從而也是ba2)的平行線，它將b1一分為二說明：(1)從證題的過程可以發現，問題的實質在于aa1ba2，它與連接a1，a2兩點之間的折線段的數目無關，如圖123所示連接a1，a2之間的折線段增加到4條：a1b1，b1a2，a2b2，b2a3，仍然有，a1+a2+a3=b1+b

12、2(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即a1-b1+a2-b2+a3=0進一步可以推廣為a1-b1+a2-b2-bn-1+an=0這時，連結a1，an之間的折線段共有n段a1b1，b1a2，bn-1an(當然，仍要保持 aa1ban)推廣是一種發展自己思考能力的方法，有些簡單的問題，如果抓住了問題的本質，那么，在本質不變的情況下，可以將問題推廣到復雜的情況(2)這個問題也可以將條件與結論對換一下，變成一個新問題問題1： 如圖124所示a1+a2=b1，問aa1與ba2是否平行？問題2： 如圖125所示若a1+a2+an=b1+b2+bn-1，問aa1與ban是否平行？這兩個問題請同學加以

13、思考例15： 如圖126所示aebd，1=32，2=25°，求c分析： 利用平行線的性質，可以將角“轉移”到新的位置，如1=dfc或afb若能將1，2，c“集中”到一個頂點處，這是最理想不過的了，過f點作bc的平行線恰能實現這個目標 說明：(1)運用平行線的性質，將角集中到適當位置，是添加輔助線(平行線)的常用技巧(2)在學過“三角形內角和”知識后，可有以下較為簡便的解法：1=dfc=c+2，即c=1-2=22=50°練習： 求證：三角形內角之和等于180°分析： 平角為180°若能運用平行線的性質，將三角形三個內角集中到同一頂點，并得到一個平角，問題即

14、可解決， 下面方法是最簡單的一種 說明 ：事實上，我們可以運用平行線的性質，通過添加與三角形三條邊平行的直線，將三角形的三個內角“轉移”到任意一點得到平角的結論如將平角的頂點設在某一邊內，或干脆不在三角形的邊上的其他任何一點處，不過，解法將較為麻煩同學們不妨試一試這種較為麻煩的證法例16： 如圖129所示直線l的同側有三點a，b，c，且abl，bcl求證： a，b，c三點在同一條直線上分析：a，b，c三點在同一條直線上可以理解為abc為平角，即只要證明射線ba與bc所夾的角為180°即可，考慮到以直線l上任意一點為頂點，該點分直線所成的兩條射線為邊所成的角均為平角，結合所給平行條件，

15、過b作與l相交的直線，就可將l上的平角轉換到頂點b處證： 過b作直線 bd，交l于d因為abl，cbl，所以1=abd，2=cbd(內錯角相等)又1+2=180°，所以abd+cbd=180°，即abc=180°=平角a，b，c三點共線思考： 若將問題加以推廣：在l的同側有n個點a1，a2，an-1，an，且有aiai+1l(i=1，2，n-1)是否還有同樣的結論？例17： 如圖130所示1=2，d=90°，efcd求證：3=b分析： 如果3=b，則應需efbc又知1=2，則有bcad從而，應有efad這一點從條件efcd及d=90°不難獲得證

16、： 因為1=2，所以，adbc(內錯角相等，兩直線平行)因為d=90°及efcd，所以，adef(同位角相等，兩直線平行)所以 bcef(平行公理)，所以，3=b(兩直線平行，同位角相等)三、鞏固練習（一）：基礎訓練1.如圖56，直線ab、cd相交于點o，對頂角有_對，它們分別是_，aod的鄰補角是_.2.如圖57，直線l1，l2和l3相交構成8個角，已知1=5，那么，5是_的對頂角，與5相等的角有1、_，與5互補的角有_.圖56 圖57 圖523 圖5243.如果cdab于d，自cd上任一點向ab作垂線，那么所畫垂線均與cd重合，這是因為_.8.如圖523，直線ab、cd、ef交于

17、一點o，coef且gob=30°，aoc=40°，則coe=_.9.如圖524，直線ab、cd相交于o，eoab，ob平分dof，若eoc=115°，則bof=_.cof=_.10.如圖512，一條直線c分別與直線a、b相交（也說直線a、b被直線c_）.構成的八個角中，1與_是同位角，3與_是內錯角，3與_是同旁內角. 圖512 圖513 圖515 圖51611.如圖513所示，直線ab、cd、ef相交于o點，aof=3fob，aoc=90°，則eoc的度數為_.12.如圖515,運動會上,甲、乙兩名同學測得小明的跳遠成績分別為da=4.5米,db=4.

18、15米,則小明的跳遠成績應該為_米.13.如圖516,1和b是直線_和直線_被直線_所截得到的_角;2和4是直線_和直線_被直線_所截得到的_角;d和4是直線_和直線_被直線_所截得到的_角.14.如圖5-33，計劃把池中的水引到c處，可過點c作cdab于d，然后沿cd開渠，可使所開的渠道最短.這種設計的依據是_.15.如圖5-34，odbc，垂足為d，bd=6 cm，od=8 cm，ob=10 cm，那么點b到od的距離是_，點o到bc的距離是_.o、b兩點之間的距離是_. 圖5-33 圖5-34 圖5-3516.如圖5-35，在abc中，acbc，cdab，則ab、ac、cd之間的大小關系

19、是_(用“”號連接起來).17.已知直線l1與l2都過點p，并且直線l1l3，l2l3，那么l1與l2重合，這是因為_18.在同一平面內的三條直線，它們交點個數是_.19.已知直線ab、cd，a、b在同一平面內，且abcd，直線a與ab、cd都相交，直線b與ab、cd都相交，則直線a、b的位置關系是_（二）作圖訓練1 如圖在河岸l的同側有一村莊a和自來水廠b.現要在河岸l上建立一抽水站d，將河中的水輸送到自來水廠后，再送往a村，為了節省資金，所鋪設的水管應盡可能的短.問抽水站d應建在何處，應沿怎樣的路線來鋪設水管?在圖中畫出來.a . .b_ l 2根據下列要求畫圖.（1）、如圖(1)所示,過

20、點a畫mnbc;過點c作cf垂直于ab垂足為f（2）、如圖(2)所示,過點c畫ceda,與ab交于點e,過點c畫cfdb,與ab的延長線交于點f. （1） （2）3完成下列作圖：作aob的平分線，并在平分線上任找一點p，過p作aob兩邊的垂線段，并量出處線段的長度，看看它們有什么關系.（三）提高訓練1平面上有5個點，其中僅有3點在同一直線上，過每2點作一條直線，一共可以作直線（）條a6b 7c8d92平面上三條直線相互間的交點個數是（）a3b1或3c1或2或3d不一定是1，2，33平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點，則截得不重疊線段共有（）a36條b33條c24條d21條4已知平面

21、中有個點三個點在一條直線上，四個點也在一條直線上，除些之外，再沒有三點共線或四點共線，以這個點作一條直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時等于（ ） （a）9 （b）10 （c）11 （d）125若平行直線ab、cd與相交直線ef、gh相交成如圖示的圖形，則共得同旁內角（）a4對b8對c12對d16對6如圖，已知fdbe，則1+2-3=( )a90°b135°c150°d180° 第7題 7如圖，已知abcd，1=2，則e與f的大小關系 ；8平面上有5個點，每兩點都連一條直線，問除了原有的5點之外這些直線最多還有 交點9平面上3條直線最多可分平面為

22、 個部分。10如圖，已知abcdef，psgh于p，frg=110°，則psq 。11已知a、b是直線l外的兩點，則線段ab的垂直平分線與直線的交點個數是 。12平面內有4條直線，無論其關系如何，它們的交點個數不會超過 個。13已知：如圖，decb ，求證：aed=a+b1如圖131所示已知abcd，b=100°，ef平分bec，egef求beg和deg2如圖132所示cd是acb的平分線，acb=40°，b=70°，debc求edc和bdc的度數3如圖133所示abcd，bae=30°，dce=60°，ef，eg三等分aec問：ef與eg中有沒有與ab平行的直線，為什么？ 5如圖134所示已知cd平分acb，且d