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文檔簡介

1、用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。一. “添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規思路。例1. 設a，b為不相等的兩正數，且a3b3a2b2，求證。證明：由題設得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b

2、、c不全為零，求證：證明：因為，同理，。所以二. 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分數，則，同理，故.綜合得。三. 裂項放縮若欲證不等式含有與自然數n有關的n項和，可采用數列中裂項求和等方法來解題。 例4. 已知nn*，求。證明：因為，則，證畢。例5. 已知且，求證：對所有正整數n都成立。證明：因為，所以，又，所以，綜合知結論成立。四. 公式放縮利用已

3、知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例6. 已知函數，證明：對于且都有。證明：由題意知又因為且，所以只須證，又因為所以。例7. 已知，求證：當時。證明：證畢。五. 換元放縮對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然后隨機進行放縮，可達解題目的。例8. 已知，求證。證明：因為，所以可設，所以則，即。例9. 已知a，b，c為abc的三條邊，且有，當且時，求證：。 證明：由于，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為，則當時，所以。六. 單調函數放縮根據題目特征，通過構造特殊的單調函數，利用其單調性質進行放縮求解。例10. 已知a，br，求證。證明：構造函數，首先

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