1、第八章 力 法本章主要內容1） 超靜定結構的超靜定次數2） 力法的解題思路和力法典型方程（顯然力法方程中所有的系數和自由項都是指靜定基本結構的位移，可以由上一章的求位移方法求出（圖乘或積分）3） 力法的解題步驟以及用于求解超靜定梁剛架桁架組合結構（排架）4） 力法的對稱性利用問題，對稱結構的有關概念四點結論5） 超靜定結構的位移計算和最后內力圖的校核6）§8-1超靜定結構概述一、靜力解答特征： 靜定結構：由平衡條件求出支反力及內力；超靜定結構的靜力特征是具有多余力，僅由靜力平衡條件無法求出它的全部（有時部分可求）反力及內力，須借助位移條件（補充方程，解答的唯一性定理）。二、幾何組成特

2、征：（結合例題說明）靜定結構：無多余聯系的幾何不變體超靜定結構：去掉其某一個或某幾個聯系（內或外），仍然可以是一個幾何不變體系，如桁架。即：超靜定結構的組成特征是其具有多余聯系，多余聯系可以是外部的，也可能是內部的，去掉后不改變幾何不變性。多余聯系（約束）：并不是沒有用的，在結構作用或調整結構的內力、位移時需要的，減小彎矩及位移，便于應力分布均勻。多余求知力：多余聯系中產生的力稱為三、超靜定結構的類型（五種）超靜定梁、超靜定剛剛架、超靜定桁架、超靜定拱、超靜定組合結構四、超靜定結構的解法綜合考慮三個方面的條件：1、 平衡條件：即結構的整體及任何一部分的受力狀態都應滿足平衡方程；2、 幾何條件：

3、也稱變形條件、位移條件、協調條件、相容條件等。即結構的變形必須符合支承約束條件（邊界條件）和各部分之間的變形連續條件。3、 物理條件：即變形或位移與內力之間的物理關系。精確方法：力法（柔度法）：以多余未知力為基本未知量位移法（剛度法）：以位移為基本未知量。力法與位移法的聯合應用：力法與位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩陣位移法、分層總和法、D值法、反彎點法等本章主要講力法。五、力法的解題思路（結合例子）把不會算的超靜定結構通過會算的基本結構來計算。（1）選基本結構；（2）消除基本結構與原結構之間的差別力法：撤除原結構的所有的多余聯系，用相應的多余力代替（兩者等效），得到一個靜定的

4、結構（基本結構），基本結構在外力和多余力共同作用下保持受力和變形與原結構協調，也就是在解除約束處的位移和原結構保持一致，列出相應的位移方程（由疊加方法），由此解出相應的多余力，以后的計算和內力圖的作法（疊加出M圖）同靜定結構。§8-2超靜定次數n的確定一、 超靜定次數：=多余聯系（約束）的數目多余未知力的數目二、確定方法：解除多余約束，使超靜定結構成為幾何不變的靜定結構，去掉約束的數目n去掉約束的方法：（結合例子說明）1、 去掉可動鉸： 1固定端固定鉸：剛結點單鉸：固定鉸可動鉸：切斷一鏈桿：2、去掉一固定鉸： 2 固定端可動鉸： 去掉一單鉸：3、去掉一固定端： 3 切斷一梁式桿：注：

5、1、多余約束力可以多在結構內部，也可以多在結構的外部2、 同一結構中去掉約束的方式很多，但n是一定的；基本結構不是唯一的3、 把所有多余聯系均拆除（內部和外部的所有的多余聯系）4、超靜定結構靜定結構（多種方法，多種形式）。但不能拆成可變或瞬變，也就是結構中有些聯系不能去除（必要聯系）。 §8-3力法的基本原理原結構基本結構：將原超靜定結構中去掉多余約束后所得到的靜定結構稱為原結構基本結構。基本未知量：X1將原結構與基本結構進行對比： 變形協調條件或位移條件第一下標：產生位移的地點和方向；第二下標：產生位移的原因。 疊加原理 一次力法方程(1)：柔度系數。X11作用下基本結構沿X1方向

6、產生的位移：自由項。 (2)(3)多余未知力求出后，其反力、內力可由靜定平衡條件求解；也可由疊加原理求出：（4）可選取另外的基本結構：（5）力法綜述：以超靜定結構的多余求知力為基本未知量，再根據基本結構在多余約束處與原結構位移相同的條件，建立變形協調的力法方程，求出未知力，從而將超靜定結構的求解問題轉化成靜定結構的內力求解問題。§8-4力法典型方程一、 一次超靜定：均布荷載作用下的兩跨連續梁（思路和步驟）Û=+1） 原結構，一次超靜定等效x1和支桿；2） 基本結構（去掉多余聯系后的靜定結構），顯然只要求出x1所有的反力及內力（靜力平衡）未知量；3） 等效Þ位移條件

7、1=0（求x1的條件）（內力、變形相同）也就是基本結構在原荷載及多余力共同作用下，沿解除約束處的位移和原結構相應位移相同。4） 1用疊加法求出： 5） 11、1P（上章位移的求解）6）7） ，將多余力也當成作外力，不同的基本結構，中間過程不同，但最后結果一樣。二、 二次超靜定：Û位移條件： 用疊加法： 1P、2P 11、2112、22（用到了位移互等定理：），注意符號含義，正負問題。疊加出最后彎矩三、 三次超靜定 （內力多余力是成對出現的，相應的位移條件：相對位移）位移條件：同截面兩（左、右）截面有絕對位移，無絕對位移。位移互等條件：從上面這幾個例子，可以看出力法求超靜定結構的思路：

8、先確定超靜定次數含有的多余約束數目去掉所有的多余約束，用相應的多余力代替，也就是得一靜定的基本結構（內力及位移和原結構等效）基本結構（形式可能很多）在原荷載及所有多余力共同作用下在解除約束處的位移和原結構相應的位移相同，得位移條件建立補充方程求系數及自由項（基本結構的位移計算），求出所有多余力由靜力平衡條件和疊加法解方程求出原結構的其他反力和內力，作出最后內力圖，求位移（靜定結構的計算問題），求內力。1) 先解除超靜定結構的多余約束，用多余力代替，使原結構靜定的基本結構.2) 基本結構在原結構和多余力共同作用下在解除約束處的位移和原結構相應位置的位移相同。3) 由位移條件列補充方程，求出多余力

9、。4) 多余力已知后，原結構的其他約束反力和內力及位移的計算問題變成靜定結構的計算問題。最后的彎矩圖可由疊加法作出。從上可見：由位移條件求出多余力，求出多余力以后，超靜定結構的計算問題就變成靜定結構的計算問題，而求多余力，除了解方程組以外，系數和自由項的計算還是靜定結構的位移計算問題。超靜定結構的靜定結構的位移和內力計算問題。四、力法典型方程：推廣到n次超靜定結構：對于一個n次超靜定結構，有n個多余約束，解除全部多余約束，用n個多余力代替，得一個靜定的基本結構Þ在原結構及n個多余力共同作用下，在n個解除約束處的位移和原結構位移相同，也就是有n個位移條件得n個一般方程。上面的方程組是力

10、法方程的一般形式，它們在組成上具有一定的規律，而不論超靜定結構的次數、類型及所選取的基本結構如何，得的方程都具有上面的形式，各項表示的意義也相同。稱為力法典型方程。式中：1、：主系數。基本結構在多余未知力Xi=1下在自身方向上產生的位移大小。恒為正2、：副系數。基本結構在多余未知力Xi=1下在Xj方向上產生的位移大小。可正、負、零3、：自由項。基本結構在荷載作用下在第I個多余未知力方向上產生的位移大小。可正、負、零五、力法求解超靜定結構的步驟：1、 先判定其超靜定次數，（含多余聯系數），去掉原結構的所有多余聯系，用相應的多余力代替，得一靜定的基本結構（形式可能很多，盡量簡單）；2、 根據基本結

11、構在原荷載及所有多余力共同作用下，在每一個去掉的多余聯系處位移和原結構相應位置的已知位移相同，建立力法典型方程；3、 求方程所有系數和自由項，（靜定結構的位移計算）積分法或圖乘法，寫出基本結構在單位力及原荷載分別單獨作用下的內力表達式或作出內力圖；4、 解方程，求出所有多余力；5、 作最后內力圖（靜定結構的計算問題）梁、剛架：QN桁架：組合結構：6、 校核，兩方面：平衡條件（截取結構中剛結點、桿件或某一部分，應滿足）；變形協調條件（多余約束處位移是否與已知位移相等）注：選取基本結構的原則：（1）基本結構為靜定結構；（2）選取的基本結構應使力法方程中系數和自由項的計算盡可能方便，并盡量使較多的副

12、系數和自由項為0（3）較易繪圖及MP圖。§8-5力法計算例題對任何超靜定結構均適用，有所區別之處在系數和自由項的計算公式上。均是靜定結構的位移計算問題。對于各種具體的超靜定結構，常只需計算其中的一項或兩項：1、對梁、剛架： 2、對桁架結構： 3、對超靜定組合結構： 例1： P139例題。超靜定梁結構例2：P137例題。超靜定剛架例3：P140例題。超靜定桁架。例4：P142例題。超靜定組合結構。§8-6對稱性的利用在建筑工程中，我們可以見到許多的對稱結構，我覺得中國人喜歡對稱這兩個字：歷代帝王所建皇（寢）宮是對稱的，死后所建墳墓也是對稱的。典型的對稱建筑是北京天安門周圍的建

13、筑群，據說連故宮兩側多少塊磚也是一樣的，又如中山陵，西安古城墻。現代高層建筑也是對稱結構。尤其一些莊重、重要的建筑。再看我們學校：主體建筑基本對稱，從主樓圖書館（各樓本身對稱）。對于對稱結構，我們可以利用其對稱性進行簡化計算。一、對稱結構，包括兩方面含義：1）結構的幾何形狀和支承情況對某軸對稱；2）桿件截面尺寸和材料性質也對此軸對稱，也就是EA、EI、GA也關于對稱軸對稱，例。簡單地將結構沿對稱軸線對折，兩邊部分完全重合。雙對稱、多對稱。二、對稱結構簡化計算：1、選取對稱的基本結構：（結合圖形）(解釋：對任一對稱結構受任意荷載P作用，若用力法計算，無論你基本結構如何選取，力法方程是相同的。步驟

14、：（1）三超；（2）用三個多余力代替多余聯系，基本結構；（3）力法方程；（4）求系數和自由項；（5）求Xi；（6）靜定方法或疊加法求最后內力；（7）校核。在這一計算過程中，哪些地方有可能進行簡化計算？（從屬、本身無法簡化許多）。2）、4）也就是有兩步可能得到簡化，a、選一合適的基本結構，使計算簡單；b、想辦法使副系數等于0（ii>0，ip和荷載有關）或ip=0。對于對稱結構，這兩點均可能實現：a） 取原結構的一半進行計算，半剛架法；b） 在特定條件下，使一些副系數，甚至全部副系數為0，ij=0。)多余未知力: 正對稱力（對折后，重合、大小、方向、作用點相同）、X1、X2反對稱力（對折后，

15、大小、作用點相同，方向相反）、X3、：正對稱；：反對稱圖形；系數和自由項：在對稱的基本結構上，對稱單位力或反對稱單位力引起的單位內力圖會是正對稱或反對稱的圖形，正反圖乘會使副系數為0簡化的力法方程：結論1：力法方程分成兩組，一組僅含對稱多余力，一組僅含反對稱多余力（注意上面的簡化和荷載無關，如果荷載是對稱或反對稱的，可進一步簡化。）2、對稱結構在對稱荷載作用下：MP：正對稱； 因此：X3=0結論2：對稱結構在對稱荷載作用下，反對稱的多余力為0，只有正對稱的多余未知力，結構的反力、內力和變形是正對稱的。3、對稱結構在反對稱荷載作用下：MP：反對稱； 因此：X1=0、X2=0結論3：對稱結構在反對

16、稱荷載作用下，正對稱的多余力為0，只有反對稱的多余未知力，結構的反力、內力和變形是反對稱的。4、任何對稱結構受非對稱荷載作用時：結論4：可以將非對稱荷載分解成對稱荷載和反對稱荷載，然后分別計算，最后疊加這是對稱結構進行簡化計算的四點結論，可以直接應用。三、半結構計算法：（結合圖形）1）奇數跨（1、3、5、7）的對稱結構a、對稱荷載（從變形圖和內力特征） 對稱軸上截面：有M、N無Q，相當于定向支承（滑動支座），抵抗彎矩、橫向力，有豎向滑動線位移。對稱軸上有豎向線位移無轉角和水平線位移；求出左半剛架的內力和位移后，再由對稱性直接作出右半剛架的內力（圖），位移。b、反對稱荷載 在對稱軸上截面：無豎向

17、線位移，有水平線位移和轉角，內力只有Q、無M、N。相當于豎向支承鏈桿，其他奇數跨的半邊結構也可類似選取。2）偶數跨（2、4、6.3）a、對稱荷載 對稱軸C截面上：（豎柱左側）相當于一個固定端，無轉角，水平線位移。中間有豎柱，略去軸向變形®C處無豎向線位移，C處有M、Q、N，中柱只有N，無M、Q，由C兩側Q求N中。b、反對稱荷載對稱軸C截面上：豎柱CF無N及軸向位移，但有M及彎曲變形。假象將中間柱分成兩根分柱，分柱的抗彎剛度為原柱的一半（為什么？） 兩根半柱分別在對稱軸的兩側與橫梁剛結相當于在兩根分柱中間增加一小跨，但其跨度為0；變成奇數跨，將兩分柱之間橫梁截開，由于荷載反對稱，只有剪

18、力QC，無M、N無豎向位移，這一對QC將僅使對稱軸兩側的分柱分別產生大小相等，性質相反的軸力。而中間柱的內力=兩根分柱內力之和，因而QC產生的軸力正好相互抵消，也就是：QC對原結構的內力及變形無任何影響，故可略去，取半結構如下： 從變形分析：因忽略軸向變形影響，C處的豎向支桿可以取消。中間柱的總內力：M、Q是分柱的兩倍，N=0。從上可以看出半邊結構選取的原則：在對稱軸相應的截面截斷處設置一個相應的支座，使所選的半邊結構在對稱軸處的截面位移或內力和原結構相應的位置保持一致。也就是保持變形和內力協調一致。半邊結構計算時：a、對稱或反對稱荷載作用下的奇、偶跨超靜定梁、剛架直接取相應的半結構計算，作出

19、M、N、Q圖（半），再由對稱或反對稱的性質作出另一半的。b、對稱結構受任意荷載作用時，對稱+反對稱，分別取半結構計算出最后的內力圖，再疊加。 奇數跨對稱剛架：對稱荷載作用下，只產生對稱的內力和位移，C處不發生角位移和水平線位移，該截面上只有M、N，而無Q。定向支座。反對稱荷載作用下，只產生反對稱的內力和位移，C無豎向位移，但有水平位移及角位移，相應地只有Q，而無M、N。活動鉸支座。 偶數跨對稱剛架：對稱荷載作用下，只產生對稱的內力和位移，C處不發生角位移和水平線位移，也無豎向位移的產生。固定支座。反對稱荷載作用下，將其中間柱設想為由兩根剛度各為I/2豎柱組成，它們在頂端分別與橫梁剛結。由于荷載

20、是反對稱的，將此兩柱中間的橫梁切開，切口上只有剪力。這對剪力將只使兩柱分別產生等值反號的軸力而不使其他桿件產生內力。而原結構中間柱的內力是等于該兩柱內力之和，故剪力實際上對原結構的內力和變形均無影響。因此可將其去掉不計，取半結構進行計算。例1：例1 ：AC、BD段EI=常數，CD桿EA=無窮大。例2：AC段線剛度為i，CD段線剛度為2i，BD段A=I/4。例3：AB、CD段EI，BC段2EI，AD段EA=無窮大。=+例4：EI=無窮大。§8-7超靜定結構的位移計算一、 位移計算的基本公式：平面桿件結構在荷載單獨作用下的位移公式：虛單位荷載法 這個公式適用于靜定結構，也適用于超靜定結構

21、1、對于靜定結構：公式中內力分別為靜定結構內力求解，簡單。2、對于超靜定結構：兩次用力法求解超靜定結構，麻煩。直接法例：二、替代法（結合例子）靜定基本結構在原荷載及多余力共同作用下（受力狀態、內力、變形相同位移相同）原超靜定結構將多余力當作靜定基本結構的外因，先用力法求出這些多余力，利用兩者等效的依據，將超靜定結構的位移計算問題靜定基本結構的位移計算問題。結論：實際內力靜定基本結構在原荷載及所有多余力共同作用下的內力（原超靜定結構的最后內力）。虛內力原結構的任一靜定基本結構在虛加單位荷載（和所求廣義位移對應）作用下的虛內力。注：1、由于計算超靜定結構可以采用不同的基本結構，則計算同一位移時，單

22、位內力圖不只一種，但所采用的單位圖雖不同，求得的位移是唯一的。2、在求超靜定結構的某一位移時，虛加單位荷載可以施加于任一基本結構作為虛力狀態，計算時以簡單為原則，使圖簡單。例題：例：求cv：在基本結構上加單位豎向荷載P=1，作單位圖，圖乘，也就是求超靜定結構的位移時，單位荷載可加上靜定的基本體系上。§8-8最后內力圖校核1、校核的必要性： 1） 超靜定結構的計算過程長，運算比較繁瑣、易出錯。所得的最后內力圖很可能是錯誤的，而最后內力圖是結構設計的主要依據，則有必要對最后內力圖進行校核，以保證其正確性。2） 最后內力圖是結構設計的主要依據。2、校核的依據（前提）為便于校核，計算步驟應十

23、分清楚，有人作業做題字跡太草，步驟不清，一步一步沒有明確答案，水平有限，看不懂，錯了也不知道錯在何處。每步要細心3、校核的前提（依據）正確的內力圖應同時滿足平衡條件和位移條件4、校核的內容1）平衡條件的校核從結構中任意取出一部分（一個結點、一段桿件、局部結構）作隔離體，隔離體所受力系（力、力矩）均應滿足平衡條件。2）位移條件的校核：由最后內力圖計算結構的任一位移應和實際相符。根據所求的最后內力圖，求原結構任意已知位移，比較其結果。（驗證其正確性）超靜定結構的最后內力圖是由靜力平衡條件和變形協調條件（位移）共同得到的，所以不僅要校核平衡條件，還必須校核位移條件。而且力法計算主要在位移計算方面，則

24、校核也應為重點（也就是位移條件校核更重要）。位移條件校核的一般作法是：任意選取一個基本結構，任意選一個多余未知力Xi，然后根據最后的內力圖算出沿Xi方向的位移i，并檢查i是否與原結構中的相應位移相等。例：F處左右兩側截面的相對轉角是否為0。推論，有一重要特性：沿剛架的任一無鉸封閉框格，圖的總面積等于0。例： 有時應用這個性質校核位移條件十分方便。例，直接就看這一封閉框格DABE，圖的總面積等于0。3）內力圖特性例：簡單提一下，支座有位移時超靜定結構計算，力法P112。§8-9溫度變化時超靜定結構的計算靜定結構：溫度改變時，結構自由伸長及彎曲而不受到任何阻礙超靜定結構：溫度改變時，梁的變形將受到限制，因此必將產生支座反力和內力。一、 溫度變化時超靜定結構的內力計算：結合例子：采用力法計算步驟：1、選擇基本結構：同2、 列力法方程：同3、 系數及自由項的計算：只時自由項此時分別指基本結構由于溫度改變引起的沿Xi方向的位移。4、 代入求出基本未知量：同5、 疊加原理求內力：（Mt=0，溫度改變不使基本結構產生內力）