1、因式分解分式一：【課前預習】（一）：【知識梳理】（A）因式分解的概念1分解因式：把一個多項式化成 的形式，這種變形叫做把這個多項式分解因式2、因式分解與整式乘法是 運算【名師提醒：判斷一個運算是否是因式分解或判斷因式分解是否正確，關鍵看等號右邊是否為 的形式。】（B）因式分解的應用1分解因式的方法：公因式_提公因式法：如果一個多項式的各項含有_，那么就可以把這個_提出來，從而將多項式化成_乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法分解因式可表示為：ma+mb+mc= 。【名師提醒：1、公因式的選擇可以是單項式，也可以是 ，都遵循一個原則：取系數的 ，相同字母的 。2、提公因式時，若

2、有一項被全部提出，則括號內該項為 ，不能漏掉。3、提公因式過程中仍然要注意符號問題，特別是一個多項式首項為負時，一般應先提取負號，注意括號內各項都要 。】運用公式法：平方差公式: ；完全平方公式: ；立方和公式_:_立方差公式_:_【名師提醒：1、運用公式法進行因式分解要特別掌握兩個公式的形式特點，找準里面a與b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合該公式。】（3）十字相乘法（4）先分組提公因式法（5）求根法2 公式分解的一般步驟（1）一提：如果多項式即各項有公因式，即分要先 _ （2）二用：如果多項沒有公因式，即可以嘗試運用 _法來分解。注意：用公式時，若是兩項，可考慮用

3、平方差公式；立方差和公式。若是三項，可考慮用完全平方公式；若是三項以上，可先進行適當的分組，然后分解因式。（3）三查：分解因式必須進行到每一個因式都解因為止。3分解因式時常見的思維誤區： 提公因式時，其公因式應找字母指數冪最低的，而不是以首項為準 提取公因式時，若有一項被全部提出，括號內的項“ 1”易漏掉(3) 分解不徹底，如保留中括號形式，還能繼續分解等【名師提醒：分解因式不徹底是因式分解常見錯誤之一，中考中的因式分解題目一般為兩點，做題時要特別注意，另外分解因式的結果是否正確可以用整式乘法來檢驗】【課前練習】1.下列各組多項式中沒有公因式的是（ ）A3x2與 6x24x B.3（ab）2與

4、11（ba）3Cmxmy與 nynx Dabac與 abbc2. 下列各題中，分解因式錯誤的是（ ）3. 列多項式能用平方差公式分解因式的是（）4. 分解因式：x2+2xy+y24 =_5. 分解因式：（1）；（2） ；（3） ；（4）；（5）以上三題用了 公式二：【經典考題剖析】1. 分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）2. 分解因式：（1）；（2）；（3）3. 計算：（1）（2）4. 分解因式：（1）；（2）5. （1）在實數范圍內分解因式：；（2）已知、是ABC的三邊，且滿足，求證：ABC為等邊三角形。三：【課后訓練】1. 若是一個完全平方式，那么的值是（ ）A24 B12 C

5、77;12 D±242. 把多項式因式分解的結果是（ ）A B C D3. 如果二次三項式可分解為，則的值為（ ）A1 B1 C2 D24. 已知可以被在6070之間的兩個整數整除，則這兩個數是（ ）A61、63 B61、65 C61、67 D63、655. 計算：1998×2002 ， 。6. 若，那么 。7. 、滿足，分解因式 。8. 因式分解：（1）；（2）（3）；（4）9. 觀察下列等式：想一想，等式左邊各項冪的底數與右邊冪的底數有何關系？猜一猜可引出什么規律？用等式將其規律表示出來： 。10. 已知是ABC的三邊，且滿足，試判斷ABC的形狀。閱讀下面解題過程：解：

6、由得： 即 ABC為Rt。 試問：以上解題過程是否正確： ；若不正確，請指出錯在哪一步？（填代號） ；錯誤原因是 ；本題的結論應為 。【重點考點例析】 考點一：因式分解的概念例1 （2012安徽）下面的多項式中，能因式分解的是（）Am2+n Bm2-m+1 Cm2-n Dm2-2m+1思路分析：根據多項式特點和公式的結構特征，對各選項分析判斷后利用排除法求解解：A、m2+n不能分解因式，故本選項錯誤；B、m2-m+1不能分解因式，故本選項錯誤；C、m2-n不能分解因式，故本選項錯誤；D、m2-2m+1是完全平方式，故本選項正確故選D點評：本題主要考查了因式分解的意義，熟練掌握公式的結構特點是解

7、題的關鍵對應訓練1（2012涼山州）下列多項式能分解因式的是（）Ax2+y2 B-x2-y2 C-x2+2xy-y2 Dx2-xy+y2考點二：因式分解例2 （2012天門）分解因式：3a2b+6ab2= 思路分析：首先觀察可得此題的公因式為：3ab，然后提取公因式即可求得答案解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）故答案為：3ab（a+2b）點評：此題主要考查了提公因式法分解因式，關鍵是掌握找公因式的方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的例3 （2012廣元）分解因式：3m

8、3-18m2n+27mn2= 思路分析：先提取公因式3m，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2故答案為：3m（m-3n）2點評：本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止對應訓練2（2012溫州）把a2-4a多項式分解因式，結果正確的是（）Aa（a-4） B（a+2）（a-2） Ca（a+2）（a-2） D（a-2）2-43（2012恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正確結果為（）Aa2b（a2-

9、6a+9） Ba2b（a-3）（a+3） Cb（a2-3）2 Da2b（a-3）2考點三：因式分解的應用例4 8（2012隨州）設a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，則()5= 考點：因式分解的應用；分式的化簡求值分析：根據1-ab20的題設條件求得b2=-a，代入所求的分式化簡求值解答：解：a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化簡之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，則1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，與題設矛盾，所以a-b2+20，因此a+b2=0，即b2=-

10、a，()5=()5=-()5=()5=（-2）5=-32故答案為-32點評：本題考查了因式分解、根與系數的關系及根的判別式，解題關鍵是注意1-ab20的運用對應訓練4（2012蘇州）若a=2，a+b=3，則a2+ab= 因式分解應用例題：一、因式分解： 1、提公因式法：例1、分析：先提公因式，后用平方差公式解：略規律總結因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續分解。2、十字相乘法：例2、（1）；（2）分析：可看成是和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略規律總結應用十字相乘法時，注意

11、某一項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整式，有時還需要連續用十字相乘法。3、分組分解法：例3、分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略規律總結對多項式適當分組轉化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因式，十字相乘法或公式法解題。4、求根公式法：例4、解：略巧用公式例5、計算：分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略規律總結抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。2、化簡求值：例6、先化簡，再求值：，其中x= 1 y = 規律總結一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法

12、則。3、分式的計算：例7、化簡分析： 可看成 解：略規律總結分式計算過程中：（1）除法轉化為乘法時，要倒轉分子、分母；（2）注意負號4、根式計算例8、已知最簡二次根式和是同類二次根式，求b的值。分析：根據同類二次根式定義可得：2b+1=7b。解：略規律總結二次根式的性質和運算是中考必考內容，特別是二次根式的化簡、求值及性質的運用是中考的主要考查內容。【備考真題過關】一、選擇題1（2012無錫）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的結果是（）A（x-1）（x-2） Bx2 C（x+1）2 D（x-2）22（2012呼和浩特）下列各因式分解正確的是（）A-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）

13、Bx2+2x-1=（x-1）2C4x2-4x+1=（2x-1）2 Dx2-4x=x（x+2）（x-2） 3（2012臺灣）下列四個選項中，哪一個為多項式8x2-10x+2的因式？（）A2x-2 B2x+2 C4x+1 D4x+24（2012西寧）下列分解因式正確的是（）A3x2-6x=x（3x-6） B-a2+b2=（b+a）（b-a）C4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D4x2-2xy+y2=（2x-y）2二、填空題6（2012湘潭）因式分解：m2-mn= 7（2012桂林）分解因式：4x2-2x= 8（2012沈陽）分解因式：m2-6m+9= 9（2012黔西南州）分解因式：a4-1

14、6a2= 10（2012北海）因式分解：-m2+n2= 11（2012北京）分解因式：mn2+6mn+9m= 12（2012益陽）寫出一個在實數范圍內能用平方差公式分解因式的多項式： 13（2012宜賓）分解因式：3m2-6mn+3n2= 14（2012綏化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= 15（2012宜賓）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，當x0時，3P-2Q=7恒成立，則y的值為 16（2012廣東）分解因式：2x2-10x= 17（2012黃石）分解因式：x2+x-2= 18（2012黑河）因式分解：27x2-3y2= 19（2012六盤水）分解因式：2x2+4x+

15、2= 20（2012南充）分解因式：x2-4x-12= 21（2012哈爾濱）把多項式a3-2a2+a分解因式的結果是 22（2012廣州）分解因式：a3-8a= 23（2012廣西）分解因式：2xy-4x2= 24（2012大慶）分解因式：ab-ac+bc-b2= 三、解答題25（2012揚州）（1）計算：-（-1）2+（-2012）0（2）因式分解：m3n-9mn 分式一：【課前預習】（一）：【知識梳理】1分式有關概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。對于一個分式來說：當_ 時分式有意義。當_時分式沒有意義。只有在同時滿足_，且_這兩個條件時，分式的值才是零。【名師提醒：若 則分式

16、無意義：若分式=0，則應 且 】（2）最簡分式：一個分式的分子與分母_時，叫做最簡分式。（3）約分：把一個分式的分子與分母的_約去，叫做分式的約分。將一個分式約分的主要步驟是：把分式的分子與分母_，然后約去分子與分母的_。1、= = （m0）（4）通分：把幾個異分母的分式分別化成與_相等的_的分式叫做分式的通分。通分的關鍵是確定幾個分式的_ _。【名師提醒：最簡分式是指 _ 約分時確定公因式的方法：當分子、分母是多項式時，公因式應取系數的 應用字母的 當分母、分母是多項式時應先 再進行約分 通分時確定最簡公分母的方法，取各分母系數的 相同字母 分母中有多項式時仍然要先 通分中有整式的應將整式看

17、成是分母為 的式子 約分通分時一定注意“都”和“同時”避免漏乘和漏除項】（5）最簡公分母：通常取各分母所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。求幾個分式的最簡公分母時，注意以下幾點：當分母是多項式時，一般應先 ；如果各分母的系數都是整數時，通常取它們的系數的 作為最簡公分母的系數；最簡公分母能分別被原來各分式的分母整除；若分母的系數是負數，一般先把“”號提到分式本身的前邊。2分式性質：（1）基本性質：分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個 ，分式的值 即：（2）符號法則：_ 、_ 與_的符號， 改變其中任何兩個，分式的值不變。即：3.分式的運算： 注意：為運算簡便，運用分式

18、的基本性質及分式的符號法則： 若分式的分子與分母的各項系數是分數或小數時，一般要化為整數。 若分式的分子與分母的最高次項系數是負數時，一般要化為正數。 （1）分式的加減法法則：（1）同分母的分式相加減， ，把分子相加減；（2）異分母的分式相加減，先 ，化為 的分式，然后再按 進行計算用分母分式相加減：±= 異分母分式相加減：±= = （2）分式的乘除法法則：分式乘以分式，用_做積的分子，_做積的分母，公式：_；分式除以分式，把除式的分子、分母_后，與被除式相乘，公式： _；分式的乘法：.= 分式的除法：= = （3）分式乘方是_，公式_。4分式的混合運算順序，先 ，再算 ，

19、最后算 ，有括號先算括號內。5對于化簡求值的題型要注意解題格式，要先化簡，再代人字母的值求值【名師提醒：實數的各種運算律也符合公式分式運算的結果，一定要化成 分式求值不管哪種情況必須先 此類題目解決過程中要注意整體代入 】（二）：【課前練習】1. 判斷對錯： 如果一個分式的值為0，則該分式沒有意義（ ）只要分子的值是0，分式的值就是0（ ）當a0時，分式0有意義（ ）；當a0時，分式0無意義（ ）2. 在中，整式和分式的個數分別為（ ） A5，3 B7，1 C6，2 D5，23. 若將分式 (a、b均為正數）中的字母a、b的值分別擴大為原來的2倍，則分式的值為（ ） A擴大為原來的2倍 ；B縮

20、小為原來的；C不變；D縮小為原來的4.分式約分的結果是 。5. 分式的最簡公分母是 。二：【經典考題剖析】 1. 已知分式當x_時，分式有意 義；當x=_時，分式的值為02. 若分式的值為0，則x的值為（ ） Ax=1或x=2 B、x=0 Cx=2 Dx=13.（1） 先化簡，再求值：，其中.（2）先將化簡，然后請你自選一個合理的值，求原式的值。（3）已知，求的值4.計算:（1）；（2）；（3）（4）；（5）5. 閱讀下面題目的計算過程： （1）上面計算過程從哪一步開始出現錯誤，請寫出該步的代號 。 （2）錯誤原因是 。 （3）本題的正確結論是 。三：【課后訓練】 1. 當x取何值時，分式（1

21、）；（2）；（3）有意義。2. 當x取何時，分式（1）；（2）的值為零。3. 分別寫出下列等式中括號里面的分子或分母。（1）；（2）4. 若，則 。5. 已知。則分式的值為 。6. 先化簡代數式然后請你自取一組a、b的值代入求值7. 已知ABC的三邊為a，b，c， =，試判定三角形的形狀8. 計算：（1）；（2）（3）；（4）9. 先閱讀下列一段文字，然后解答問題： 已知：方程 方程 方程 方程問題：觀察上述方程及其解，再猜想出方程：x10 =10的解，并寫出檢驗10. 閱讀下面的解題過程，然后解題：已知求x+y+z的值 解：設=k, 仿照上述方法解答下列問題：已知：【重點考點例析】 考點一：

22、分式有意義的條件例1 （2012宜昌）若分式有意義，則a的取值范圍是（）Aa=0 Ba=1 Ca-1 Da0 思路分析：根據分母不等于0列式即可得解解：分式有意義，a+10，a-1故選C點評：本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義分母為零；（2）分式有意義分母不為零；（3）分式值為零分子為零且分母不為零對應訓練1（2012湖州）要使分式有意義，x的取值范圍滿足（）Ax=0 Bx0 Cx0 Dx0 考點二：分式的基本性質運用例2 （2012杭州）化簡得 ；當m=-1時，原式的值為 思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出，約分后得出，把m=-1代入上式即

23、可求出答案解：=。當m=-1時，原式=1，故答案為：，1點評：本題主要考查了分式的約分，關鍵是找出分式的分子和分母的公因式，題目比較典型，難度適中對應訓練2（2011遂寧）下列分式是最簡分式的（）A B C D 考點三：分式的化簡與求值 例3 （2012南昌）化簡：思路分析：將分式的分子、分母因式分解為，再把分式的除法變為乘法進行計算即可解：原式= =-1點評：本題考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的運算，歸根到底是乘法的運算，當分子和分母是多項式時，一般應先進行因式分解，再約分例4 （2012安徽）化簡 的結果是（）Ax+1 Bx-1 C-x Dx 思路分析：將分母化為同分母，通分，再將分子

24、因式分解，約分解：=x，故選D點評：本題考查了分式的加減運算分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減例5 （2012天門）化簡 的結果是（）A B C D思路分析：將原式括號中的兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，分子合并，同時將除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一個數等于乘以這個數的倒數將除法運算化為乘法運算，約分后即可得到最簡結果解： = =故選D。點評：此題考查了分式的化簡混合運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵

25、是找公因式，同時注意最后結果必須為最簡分式例6 （2012遵義）化簡分式，并從-1x3中選一個你認為合適的整數x代入求值思路分析：先將括號內的分式通分，再按照分式的除法法則，將除法轉化為乘法進行計算解：原式= = =，由于當x=-1或x=1時，分式的分母為0，故取x的值時，不可取x=-1或x=1，不妨取x=2，此時原式=點評：此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應先將多項式分解因式后再約分對應訓練3（2012河北）化簡的結果是（）A B C D2（x+1） 4（2012紹興

26、）化簡可得（）A B C D5（2012泰安）化簡= 6（2012資陽）先化簡，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根考點四：分式創新型題目例7 （2012涼山州）對于正數x，規定，例如：，則 思路分析：當x=1時，；當x=2時，當時，；當x=3時，當時，故，所以，由此規律即可得出結論解：當x=1時，；當x=2時，當時，；當x=3時，當時，故答案為：2011.5點評：本題考查的是分式的加減法，根據題意得出是解答此題的關鍵對應訓練7（2012臨沂）讀一讀：式子“1+2+3+4+100”表示從1開始的100個連續自然數的和，由于式子比較長，書寫不方便，為了簡便起見，我們將其表示為，這里“”是求和符

27、號，通過對以上材料的閱讀，計算 7解：由題意得，故答案為：【備考真題過關】一、選擇題1（2012嘉興）（-2）0等于（）A1 B2 C0 D-22（2012云南）下列運算正確的是（）Ax2x3=6 B3-2=-6 C（x3）2=x5 D40=13（2012泰州）3-1等于（）A3 B C-3 D4（2012嘉興）若分式的值為0，則（）Ax=-2 Bx=0 Cx=1或2 Dx=1 4解：分式的值為0，解得x=16（2012義烏市）下列計算錯誤的是（）A B C D 7（2012仙桃天門潛江江漢）化簡的結果是（）A BC（x+1）2 D（x1）28（2012欽州）如果把的x與y都擴大10倍，那么這

28、個代數式的值（）A不變 B擴大50倍C擴大10倍D縮小到原來的二、填空題9（2012寧夏）當a 時，分式有意義10（2012臺州）計算的結果是 11（2012天津）化簡的結果是 12（2012山西）化簡的結果是 13（2012內江）已知三個數x，y，z，滿足則 14（2012鎮江）若，則的值為 15（2012溫州）若代數式的值為零，則x= 16（2012赤峰）化簡= 三、解答題17（2012泰州）化簡：18（2012淮安）計算：19（2012珠海）先化簡，再求值：，其中x=21（2012益陽）計算代數式的值，其中a=1，b=2，c=322（2012孝感）先化簡，再求值：，其中，23（2012綏化）先化簡，再求值：其中m是方程x2+3x-1=0的根24（2012南京）化簡代數式，并判斷當x滿足不等式組時該代數式的符號25（2012重慶）先化簡，再求值：，其中x是不等式組的整數解26（2012鐵嶺）先化簡，在求值：，其中x=3tan30°+1考點：分式的化簡求值；特殊角的三角函數值。810360 專題：計算題。分析：將原式除式的第一項分子分母同時乘以x+3，然后利用同分母分式的減法法則計算