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文檔簡介
1、真誠為您提供優質參考資料,若有不當之處,請指正。正弦定理與余弦定理的綜合應用(本課時對應學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(必修5p16練習1改編)在abc中,若sin asin bsin c=7813,則cos c=.【答案】-【解析】由正弦定理知abc=7813,再由余弦定理得cos c=-.2.(必修5p24復習題1改編)在abc中,內角a,b,c的對邊分別為a,b,c.若a2-b2=bc,sinc=2sinb,則角a=.【答案】【解析】由sinc=2sinb得c=2b,代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2,所以a2=7b2,a=b,所以cosa=,所以角a=.3.(必修5p20練習
2、3改編)如圖,一船自西向東勻速航行,上午10時到達一座燈塔p的南偏西75°方向、距塔68 n mile的m處,下午2時到達這座燈塔的東南方向的n處,則這只船的航行速度為n mile/h.(第3題)【答案】4.(必修5p26本章測試7改編)設abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c.若asin a+csin c-asin c=bsin b,則角b=.【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2,再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos b,故cos b=,因此b=45°.5.(必修5p19例4改編)在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c
3、,若a,b,c成等比數列,則角b的取值范圍為.【答案】【解析】因為a,b,c成等比數列,所以b2=ac,所以cos b=,因為0<b<,所以0<b.1.測量問題的有關名詞(1)仰角和俯角:是指與目標視線在同一垂直平面內的水平視線的夾角.其中目標視線在水平視線上方時叫作仰角,目標視線在水平視線下方時叫作俯角.(2)方向角:是指從指定方向線到目標方向線的水平角,如北偏東30°,南偏西45°.(3)方位角:是指北方向線順時針轉到目標方向線的角.(4)坡角:是指坡面與水平面所成的角.(5)坡比:是指坡面的鉛直高度與水平寬度之比.2.求解三角形實際問題的基本步驟(1
4、)分析:理解題意,弄清已知和未知,畫出示意圖;(2)建模:根據條件和目標,構建三角形,建立一個解三角形的數學模型;(3)求解:利用正弦定理和余弦定理解三角形,求數學模型的解;(4)檢驗:檢驗上述所求的角是否符合實際意義,從而得到實際問題的解.【要點導學】要點導學各個擊破利用正、余弦定理解常見的三角問題例1(2016·蘇北四市期中)在銳角三角形abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知b=4,c=6,且asin b=2.(1)求角a的大小;(2)若d為bc的中點,求線段ad的長.【解答】(1)由正弦定理,得asinb=bsina.因為b=4,asin b=2,所以sin a=
5、.又0<a<,所以a=.(2)若b=4,c=6,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=16+36-2×24×=28,所以a=2.又因為asin b=2,所以sin b=,所以cos b=.因為d為bc的中點,所以bd=dc=.在abd中,由余弦定理,得ad2=ab2+bd2-2ab·bd·cos b,即ad2=36+7-2×6××=19,所以ad=.變式(2015·全國卷)已知a,b,c分別是abc的內角a,b,c的對邊,且sin2b=2sin asin c.(1)若a=b,求cos b的值;
6、(2)若b=90°,且a=,求abc的面積.【解答】(1)由題設及正弦定理可得b2=2ac.又因為a=b,所以b=2c,a=2c,由余弦定理可得cos b=.(2)由(1)知b2=2ac.因為b=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=.所以abc的面積為1.【精要點評】解三角形問題的主要工具就是正弦定理、余弦定理,在解題過程中要注意邊角關系的轉化,根據題目需要合理選擇變形的方向.實際問題中解三角形例22011年5月中下旬,強颶風襲擊美國南部與中西部,造成了巨大的損失.為了減少強颶風帶來的災難,美國救援隊隨時待命進行救援.如圖(1),某天,信息
7、中心在a處獲悉:在其正東方向相距80 n mile的b處有一艘客輪遇險,在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距40 n mile的c處的救援船,救援船立即朝北偏東角的方向沿直線cb前往b處救援.(例2(1)(1)若救援船的航行速度為60 n mile/h,求救援船到達客輪遇險位置的時間(2.646,結果保留兩位小數);(2)求tan 的值.【思維引導】(1)把問題轉化為三角形中的邊角關系,因此本題的關鍵是找出圖中的角和邊,利用余弦定理求出bc即可解決;(2)首先利用正弦定理求出sinacb,然后利用同角基本關系求出tan acb,再利用兩角和的正切公式即可得出結
8、果.(例2(2)【解答】(1)如圖(2),在abc中,ab=80,ac=40,bac=120°,由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2ab·ac·cos 120°,即bc=40,故救援船到達客輪遇險位置所需時間為40÷60=1.76 (h).(2)在abc中,由正弦定理可得=,則sin acb=·sin bac=.顯然acb為銳角,故cos acb=,tan acb=,而=acb+30°.所以tan =tan(acb+30°)=.變式如圖,某海島上一觀察哨a在上午11時測得一輪船在海島北偏東60°的c處
9、,12時20分測得該輪船在海島北偏西60°的b處,12時40分,該輪船到達海島正西方5 km的e港口,若該輪船始終勻速前進,求該輪船的速度.(變式)【解答】設abe=,船的速度為v km/h,則bc=v,be=v,在abe中,=,即sin =.在abc中,=,即ac=.在ace中,=25+-2×5××cos 150°,化簡得v2=25+100=,即v2=93,所以v=.故船速為 km/h.例3(2015·蘇錫常鎮、宿遷一調)如圖,有一段河流,河的一側是以o為圓心、半徑為10 m的扇形區域ocd,河的另一側是一段筆直的河岸l,岸邊有一煙
10、囪ab(不計b離河岸的距離),且ob的連線恰好與河岸l垂直,設ob與圓弧的交點為e.經測量,扇形區域和河岸處于同一水平面,在點c,點o和點e處測得煙囪ab的仰角分別為45°,30°和60°.(例3)(1)求煙囪ab的高度;(2)如果要在ce間修一條直路,求ce的長.【思維引導】一要理解這是一個立體圖形,若設ab=h m,在rtabe中,aeb=60°,可求得eb=h.(1)在rtabo中,aob=30°,ob=h,由oe=10,可求出ab.(2)在rtabc中,acb=45°,bc=ab,在cbo中,求出cos cob,在ceo中,求
11、ce的長.【解答】(1)設ab的高度為h m.在cab中,因為acb=45°,所以cb=h.在oab和eab中,因為aob=30°,aeb=60°,所以ob=h,eb=h.由題意得h-=10,解得h=15.答:煙囪的高度為15 m.(2)在obc中,oc=10 m,ob=15 m,bc=15 m,所以cos cob=,所以在oce中,oc=10 m,oe=10 m,所以ce2=oc2+oe2-2oc·oecos coe=300+300-600×=100.答:ce的長為10 m.變式(2015·蘇錫常鎮三模)如圖(1),甲船從a處以每小
12、時30 n mile的速度沿正北方向航行,乙船在b處沿固定方向勻速航行,b在a南偏西75°方向且與a相距10 n mile 處.當甲船航行20 min到達c處時,乙船航行到甲船的南偏西60°方向的d處,此時兩船相距10 n mile.(變式(1)(1)求乙船每小時航行多少海里?(2)在c處的北偏西30°方向且與c相距 n mile處有一個暗礁e,暗礁e周圍 n mile范圍內為航行危險區域.問:甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險?如果有危險,從有危險開始多少小時后能脫離危險?如無危險,請說明理由.(變式(2)【解答】(1)如圖(2),連接ad,由題知cd=10,
13、ac=×30=10,acd=60°,所以acd為等邊三角形,所以ad=10,又因為dab=45°,在abd中,由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2ab×adcos 45°=100,bd=10,v=10×3=30(n mile/h).答:乙船的速度為每小時30 n mile.(2)在海平面內,以點b為原點,分別以東西方向作x軸,以南北方向作y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.危險區域在以e為圓心,半徑為r=的圓內,因為dab=dba=45°,易知直線bd的方程為y=x,e的橫坐標為abcos 15°-cesin 3
14、0°,縱坐標為absin 15°+cecos 30°+ac,求得a(5+5,5-5),c(5+5,5+5),e,點e到直線bd的距離為d1=1<,故乙船有危險;點e到直線ac的距離為d2=>,故甲船沒有危險.以e為圓心,半徑為的圓截直線bd所得的弦長為l=2=2,所以乙船遭遇危險持續時間t=(h).答:甲船沒有危險,乙船有危險,且在遭遇危險開始持續 h后脫險.解三角形中的不等關系微課9 典型示例例4如圖,在等腰直角三角形opq中,poq=90°,op=2,點m在線段pq上.(例4)(1)若om=,求pm的長;(2)若點n在線段mq上,且mon
15、=30°,問:當pom取何值時,omn的面積最小?并求出面積的最小值.【思維導圖】【規范解答】(1)在omp中,p=45°,om=,op=2.由余弦定理,得om2=op2+pm2-2×op×pm×cos 45°,得pm2-4pm+3=0,解得pm=1或pm=3.(2)設pom=,0°60°,在omp中,由正弦定理,得=,所以om=,同理on=,故somn=×om×on×sin mon=×=.因為0°60°,所以30°2+30°150
16、176;.所以當=30°時,sin(2+30°)取得最大值為1,此時omn的面積取得最小值,即pom=30°時,omn的面積最小,其最小值為8-4. 總結歸納(1)求最值首先選擇適當的變量作為自變量,若動點在圓上,則選擇圓心角為自變量,三角形(特別是直角三角形)中常選擇一銳角為自變量,最關鍵的是列出解析式.(2)若角是自變量,常把解析式化為f(x)=asin(x+)+b的形式,求得最值. 題組強化1.若abc的內角滿足sin a+sin b=2sin c,則cos c的最小值是.【答案】【解析】由sin a+sin b=2sin c及正弦定理可得a+b=2c,所以
17、cos c=,當且僅當3a2=2b2,即=時等號成立,所以cos c的最小值為.2.在銳角三角形abc中,已知a=2b,則的取值范圍是.【答案】()【解析】因為a+b+c=180°,a=2b,abc為銳角三角形,所以30°<b<45°,所以=2cos b().3.已知線段ab外有一點c,abc=60°,ab=200 km,汽車以80 km/h的速度由a向b行駛,同時摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛,則運動開始h后,兩車的距離最小.(第3題)【答案】【解析】如圖,設t h后,汽車由a行駛到d,摩托車由b行駛到e,則ad=80t,be=5
18、0t.因為ab=200,所以bd=200-80t,問題就轉化為求de最小時t的值.由余弦定理,得de2=bd2+be2-2bd·becos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42 000t+40 000.當t=時,de最小.4.(2015·蘇州調查)如圖,有兩條相交成60°角的直路x'x,y'y,交點為o,甲、乙兩人分別在ox,oy上,甲的起始位置與點o相距3 km,乙的起始位置與點o相距1km.后來甲沿xx'的方向、乙沿yy'的方向同時以4 km/h的速
19、度步行.(第4題)(1)求甲、乙在起始位置時兩人之間的距離;(2)設t h后甲、乙兩人的距離為d(t),寫出d(t)的表達式,當t為何值時,甲、乙兩人之間的距離最短?并求出兩人之間的最短距離.【解答】(1)由余弦定理,得起初兩人的距離為=(km).(2)設t h后兩人的距離為d(t),則當0t時,d(t)=;當t>時,d(t)=;當<t時,d(t)=.所以d(t)= (t0),當t=時,兩人的距離最短,且為 km.答:當t=時,兩人的距離最短為 km.1.(2015·北京卷)在abc中,已知a=3,b=,a=,則角b=.【答案】【解析】由正弦定理,得=,即=,所以sin
20、b=,因為b<a,所以角b=.2.(2016·蘇州期中)在abc中,角a,b,c的對邊分別是a,b,c,若tan a=2tan b,a2-b2=c,則c=.【答案】1【解析】由已知及正、余弦定理知,tan a=2tan b=3a2-3b2=c2,又a2-b2=c,所以c2-c=0,解得c=1或c=0(舍去),故c=1.3.為了測量塔ab的高度,先在塔外選擇和塔腳在一條水平直線上的三點c,d,e,測得仰角分別為,2,4,cd=30 m,de=10 m,則=,塔高ab=m.【答案】15°15(第3題)【解析】如圖,設塔腳為b,由題意得ade=2acd=2,可知acd為等腰
21、三角形,所以ad=30,同理ade也是等腰三角形,ae=10,在ade中,cos 2=,所以2=30°,所以=15°,ab=aesin 4=aesin 60°=10×=15(m).4.(2015·南京、鹽城、徐州二模)如圖,在abc中,d是bc上的一點.已知b=60°,ad=2,ac=,dc=,則ab=.(第4題)【答案】【解析】在acd中,因為ad=2,ac=,dc=,所以cos adc=-,從而adc=135°,所以adb=45°.在adb中,=,所以ab=.5.(2015·蘇州期末)如圖,某生態園將
22、三角形地塊abc的一角apq開辟為水果園種植桃樹,已知角a為120°,ab,ac的長度均大于200 m,現在邊界ap,aq處建圍墻,在pq處圍竹籬笆.(第5題)(1)若圍墻ap,aq的總長度為200 m,問:如何圍可使得三角形地塊apq的面積最大?(2)已知ap段圍墻高1 m,aq段圍墻高1.5 m,造價均為每平方米100元.若圍圍墻用了20 000元,問如何圍可使竹籬笆用料最省?【解答】(1)設ap=x m,aq=y m,則x+y=200,x>0,y>0.apq的面積s=xysin 120°=xy.因為xy=10 000,當且僅當x=y=100時取等號.所以當
23、ap=aq=100 m時,可使三角形地塊apq的面積最大.(2)由題意得100×(1×x+1.5×y)=20 000,即x+1.5y=200.在apq中,pq2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy,即pq2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000,其中0<y<.則當y=,x=時,pq2取得最小值,從而pq也取得最小值.所以當ap= m,aq= m時,可使竹籬笆用料最省.【融會貫通】融會貫通能力提升已知在銳角三角形abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且tan c=
24、.(1)求角c的大小;(2)當c=1時,求a2+b2的取值范圍.【思維引導】【規范解答】(1) 由已知及余弦定理,得=,所以sin c=. 2分因為c為銳角,所以c=30°.4分(2)由正弦定理,得=2, 5分所以a=2sin a,b=2sin b=2sin(a+30°).a2+b2=4sin2a+sin2(a+30°)=4=4=4-3cos 2a+sin 2a=4+2sin(2a-60°).8分由得60°<a<90°,10分所以60°<2a-60°<120°,<sin(2a
25、-60°)1 .12分所以7<a2+b24+2.所以a2+b2的取值范圍是(7,4+2.14分【精要點評】三角形有六個基本元素,即三條邊和三個角,解三角形最主要的就是將六個基本元素化為已知的過程,一般要用正、余弦定理等工具,但選用怎樣的公式,如何轉化分析,要總結經驗和規律.趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習第6364頁.【檢測與評估】第32課正弦定理與余弦定理的綜合應用一、 填空題 1.輪船a和輪船b在中午12時離開海港c,兩艘輪船航行方向的夾角為120°,輪船a的航行速度是25 n mile/h,輪船b的航行速度是15 n mile/h,
26、下午2時兩船之間的距離為. 2.小明同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛,在點a處望見電視塔s在電動車的北偏東30°方向上,15 min后到點b處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上,則電動車在點b時與電視塔s的距離是.3.如圖,要測量河對岸a,b兩點之間的距離,今沿河岸選取相距40 m的c,d兩點,測得acb=60°,bcd=45°,adb=60°,adc=30°,則ab的距離為m.(第3題) 4.已知abc的三邊長成公比為的等比數列,則其最大角的余弦值為.5.如圖,當甲船位于a處時獲悉,在其正東方向、相距
27、20 n mile的b處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即前往救援,同時把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile的c處的乙船.設乙船朝北偏東度的方向沿直線前往b處救援,則sin =. (第5題)6.如圖,在abc中,已知點d在邊bc上,adac,sinbac=,ab=3,ad=3,那么bd的長為.(第6題) 7.(2015·重慶卷)設abc的內角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且a=2,cos c=-,3sin a=2sin b,則c=.8.(2015·湖北卷)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,到a處時測得公路北側一山頂d在
28、北偏西60°的方向上,行駛600 m后到達b處,測得此山頂d在北偏西15°的方向上,仰角為30°,則此山的高度cd=m. (第8題)二、 解答題 9.如圖,在abc中,sin=,ab=2,點d在線段ac上,且ad=2dc,bd=.(1)求bc的長.(2)求dbc的面積.(第9題)10.(2015·南京三模)在abc中,內角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.已知acos c+ccos a=2bcos a.(1)求角a的大小;(2)求sin b+sin c的取值范圍.11.如圖,在海島a上有一座海拔1 km的山,山頂設有一個觀察站p,上午9時,測
29、得一輪船在海島北偏東30°、俯角為30°的b處,到9時10分又測得該船(船直線航行)在海島北偏西60°、俯角為45°的c處.(1)求船的航行速度;(2)在c處,該船改為向正南方向航行,且不改變速度,10min后到達什么位置(以點a為參照點)?(第11題)三、 選做題(不要求解題過程,直接給出最終結果)12.在abc中,已知=,則abc的形狀為.13.在不等邊三角形abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,其中a為最大邊,如果sin2(b+c)<sin2b+sin2c,則角a的取值范圍是.【檢測與評估答案】第32課正弦定理與余弦定理的綜合應用1
30、. 70 n mile【解析】設輪船a,b航行到下午2時時所在的位置分別是e,f,則依題意有ce=25×2=50(n mile),cf=15×2=30(n mile),且ecf=120°,所以ef=70.2. 3 km【解析】如圖,由條件知ab=24×=6,在abs中,bas=30°,ab=6,abs=180°-75°=105°,所以asb=45°.由正弦定理知=,所以bs=·sin 30°=3(km).(第2題)3. 20【解析】如圖,由題設知bdc為等腰直角三角形,故db=40.由
31、acb=60°和adb=60°知a,b,c,d四點共圓,所以bad=bcd=45°.在bda中,運用正弦定理可得ab=20.(第3題)4. -【解析】設最小邊為a,則其他兩邊分別為a,2a.由余弦定理得最大角的余弦值為cos =-.5. 【解析】如圖,過點c作cdab,交ba的延長線于點d,則dac=60°,ac=10,所以ad=5,cd=5,則bd=25,bc=10,所以sin =sin dcb=.(第5題)6. 【解析】因為adac,所以dac=90°,所以在abd中,cosbad=cos(bac-90°)=sinbac=,所以b
32、d=.7. 4【解析】由3sin a=2sin b及正弦定理得3a=2b,又因為a=2,所以b=3,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=4+9-2×2×3×=16,所以c=4.8. 100【解析】在abc中,cab=30°,acb=75°-30°=45°,根據正弦定理知=,即bc=×sinbac=×=300,所以cd=bc×tandbc=300×=100.9. (1) 因為sin=,所以cosabc=1-2×=.在abc中,設bc=a,ac=3b,則由余弦定理可得9b2=a2+4-a,在abd和dbc中,由余弦定理可得cosadb=,cosbdc=.因為
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