1、真誠為您提供優質參考資料，若有不當之處，請指正。正弦定理與余弦定理的綜合應用(本課時對應學生用書第頁)自主學習回歸教材1.(必修5p16練習1改編)在abc中，若sin asin bsin c=7813，則cos c=.【答案】-【解析】由正弦定理知abc=7813，再由余弦定理得cos c=-.2.(必修5p24復習題1改編)在abc中，內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若a2-b2=bc，sinc=2sinb，則角a=.【答案】【解析】由sinc=2sinb得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，所以cosa=，所以角a=.3.(必修5p20練習

2、3改編)如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔p的南偏西75°方向、距塔68 n mile的m處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的n處，則這只船的航行速度為n mile/h.(第3題)【答案】4.(必修5p26本章測試7改編)設abc的內角a，b，c的對邊分別為a，b，c.若asin a+csin c-asin c=bsin b，則角b=.【答案】45°【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos b，故cos b=，因此b=45°.5.(必修5p19例4改編)在abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c

3、，若a，b，c成等比數列，則角b的取值范圍為.【答案】【解析】因為a，b，c成等比數列，所以b2=ac，所以cos b=，因為0<b<，所以0<b.1.測量問題的有關名詞(1)仰角和俯角：是指與目標視線在同一垂直平面內的水平視線的夾角.其中目標視線在水平視線上方時叫作仰角，目標視線在水平視線下方時叫作俯角.(2)方向角：是指從指定方向線到目標方向線的水平角，如北偏東30°，南偏西45°.(3)方位角：是指北方向線順時針轉到目標方向線的角.(4)坡角：是指坡面與水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的鉛直高度與水平寬度之比.2.求解三角形實際問題的基本步驟(1

4、)分析：理解題意，弄清已知和未知，畫出示意圖；(2)建模：根據條件和目標，構建三角形，建立一個解三角形的數學模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求數學模型的解；(4)檢驗：檢驗上述所求的角是否符合實際意義，從而得到實際問題的解.【要點導學】要點導學各個擊破利用正、余弦定理解常見的三角問題例1(2016·蘇北四市期中)在銳角三角形abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知b=4，c=6，且asin b=2.(1)求角a的大小；(2)若d為bc的中點，求線段ad的長.【解答】(1)由正弦定理，得asinb=bsina.因為b=4，asin b=2，所以sin a=

5、.又0<a<，所以a=.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos a=16+36-2×24×=28，所以a=2.又因為asin b=2，所以sin b=，所以cos b=.因為d為bc的中點，所以bd=dc=.在abd中，由余弦定理，得ad2=ab2+bd2-2ab·bd·cos b，即ad2=36+7-2×6××=19，所以ad=.變式(2015·全國卷)已知a，b，c分別是abc的內角a，b，c的對邊，且sin2b=2sin asin c.(1)若a=b，求cos b的值；

6、(2)若b=90°，且a=，求abc的面積.【解答】(1)由題設及正弦定理可得b2=2ac.又因為a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos b=.(2)由(1)知b2=2ac.因為b=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=.所以abc的面積為1.【精要點評】解三角形問題的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解題過程中要注意邊角關系的轉化，根據題目需要合理選擇變形的方向.實際問題中解三角形例22011年5月中下旬，強颶風襲擊美國南部與中西部，造成了巨大的損失.為了減少強颶風帶來的災難，美國救援隊隨時待命進行救援.如圖(1)，某天，信息

7、中心在a處獲悉：在其正東方向相距80 n mile的b處有一艘客輪遇險，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的c處的救援船，救援船立即朝北偏東角的方向沿直線cb前往b處救援.(例2(1)(1)若救援船的航行速度為60 n mile/h，求救援船到達客輪遇險位置的時間(2.646，結果保留兩位小數)；(2)求tan 的值.【思維引導】(1)把問題轉化為三角形中的邊角關系，因此本題的關鍵是找出圖中的角和邊，利用余弦定理求出bc即可解決；(2)首先利用正弦定理求出sinacb，然后利用同角基本關系求出tan acb，再利用兩角和的正切公式即可得出結

8、果.(例2(2)【解答】(1)如圖(2)，在abc中，ab=80，ac=40，bac=120°，由余弦定理可知bc2=ab2+ac2-2ab·ac·cos 120°，即bc=40，故救援船到達客輪遇險位置所需時間為40÷60=1.76 (h).(2)在abc中，由正弦定理可得=，則sin acb=·sin bac=.顯然acb為銳角，故cos acb=，tan acb=，而=acb+30°.所以tan =tan(acb+30°)=.變式如圖，某海島上一觀察哨a在上午11時測得一輪船在海島北偏東60°的c處

9、，12時20分測得該輪船在海島北偏西60°的b處，12時40分，該輪船到達海島正西方5 km的e港口，若該輪船始終勻速前進，求該輪船的速度.(變式)【解答】設abe=，船的速度為v km/h，則bc=v，be=v，在abe中，=，即sin =.在abc中，=，即ac=.在ace中，=25+-2×5××cos 150°，化簡得v2=25+100=，即v2=93，所以v=.故船速為 km/h.例3(2015·蘇錫常鎮、宿遷一調)如圖，有一段河流，河的一側是以o為圓心、半徑為10 m的扇形區域ocd，河的另一側是一段筆直的河岸l，岸邊有一煙

10、囪ab(不計b離河岸的距離)，且ob的連線恰好與河岸l垂直，設ob與圓弧的交點為e.經測量，扇形區域和河岸處于同一水平面，在點c，點o和點e處測得煙囪ab的仰角分別為45°，30°和60°.(例3)(1)求煙囪ab的高度；(2)如果要在ce間修一條直路，求ce的長.【思維引導】一要理解這是一個立體圖形，若設ab=h m，在rtabe中，aeb=60°，可求得eb=h.(1)在rtabo中，aob=30°，ob=h，由oe=10，可求出ab.(2)在rtabc中，acb=45°，bc=ab，在cbo中，求出cos cob，在ceo中，求

11、ce的長.【解答】(1)設ab的高度為h m.在cab中，因為acb=45°，所以cb=h.在oab和eab中，因為aob=30°，aeb=60°，所以ob=h，eb=h.由題意得h-=10，解得h=15.答：煙囪的高度為15 m.(2)在obc中，oc=10 m，ob=15 m，bc=15 m，所以cos cob=，所以在oce中，oc=10 m，oe=10 m，所以ce2=oc2+oe2-2oc·oecos coe=300+300-600×=100.答：ce的長為10 m.變式(2015·蘇錫常鎮三模)如圖(1)，甲船從a處以每小

12、時30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在b處沿固定方向勻速航行，b在a南偏西75°方向且與a相距10 n mile 處.當甲船航行20 min到達c處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的d處，此時兩船相距10 n mile.(變式(1)(1)求乙船每小時航行多少海里?(2)在c處的北偏西30°方向且與c相距 n mile處有一個暗礁e，暗礁e周圍 n mile范圍內為航行危險區域.問：甲、乙兩船按原航向和速度航行有無危險?如果有危險，從有危險開始多少小時后能脫離危險?如無危險，請說明理由.(變式(2)【解答】(1)如圖(2)，連接ad，由題知cd=10，

13、ac=×30=10，acd=60°，所以acd為等邊三角形，所以ad=10，又因為dab=45°，在abd中，由余弦定理得bd2=ad2+ab2-2ab×adcos 45°=100，bd=10，v=10×3=30(n mile/h).答：乙船的速度為每小時30 n mile.(2)在海平面內，以點b為原點，分別以東西方向作x軸，以南北方向作y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.危險區域在以e為圓心，半徑為r=的圓內，因為dab=dba=45°，易知直線bd的方程為y=x，e的橫坐標為abcos 15°-cesin 3

14、0°，縱坐標為absin 15°+cecos 30°+ac，求得a(5+5，5-5)，c(5+5，5+5)，e，點e到直線bd的距離為d1=1<，故乙船有危險；點e到直線ac的距離為d2=>，故甲船沒有危險.以e為圓心，半徑為的圓截直線bd所得的弦長為l=2=2，所以乙船遭遇危險持續時間t=(h).答：甲船沒有危險，乙船有危險，且在遭遇危險開始持續 h后脫險.解三角形中的不等關系微課9 典型示例例4如圖，在等腰直角三角形opq中，poq=90°，op=2，點m在線段pq上.(例4)(1)若om=，求pm的長；(2)若點n在線段mq上，且mon

15、=30°，問：當pom取何值時，omn的面積最小?并求出面積的最小值.【思維導圖】【規范解答】(1)在omp中，p=45°，om=，op=2.由余弦定理，得om2=op2+pm2-2×op×pm×cos 45°，得pm2-4pm+3=0，解得pm=1或pm=3.(2)設pom=，0°60°，在omp中，由正弦定理，得=，所以om=，同理on=，故somn=×om×on×sin mon=×=.因為0°60°，所以30°2+30°150&#

16、176;.所以當=30°時，sin(2+30°)取得最大值為1，此時omn的面積取得最小值，即pom=30°時，omn的面積最小，其最小值為8-4. 總結歸納(1)求最值首先選擇適當的變量作為自變量，若動點在圓上，則選擇圓心角為自變量，三角形(特別是直角三角形)中常選擇一銳角為自變量，最關鍵的是列出解析式.(2)若角是自變量，常把解析式化為f(x)=asin(x+)+b的形式，求得最值. 題組強化1.若abc的內角滿足sin a+sin b=2sin c，則cos c的最小值是.【答案】【解析】由sin a+sin b=2sin c及正弦定理可得a+b=2c，所以

17、cos c=，當且僅當3a2=2b2，即=時等號成立，所以cos c的最小值為.2.在銳角三角形abc中，已知a=2b，則的取值范圍是.【答案】()【解析】因為a+b+c=180°，a=2b，abc為銳角三角形，所以30°<b<45°，所以=2cos b().3.已知線段ab外有一點c，abc=60°，ab=200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛，同時摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，則運動開始h后，兩車的距離最小.(第3題)【答案】【解析】如圖，設t h后，汽車由a行駛到d，摩托車由b行駛到e，則ad=80t，be=5

18、0t.因為ab=200，所以bd=200-80t，問題就轉化為求de最小時t的值.由余弦定理，得de2=bd2+be2-2bd·becos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42 000t+40 000.當t=時，de最小.4.(2015·蘇州調查)如圖，有兩條相交成60°角的直路x'x，y'y，交點為o，甲、乙兩人分別在ox，oy上，甲的起始位置與點o相距3 km，乙的起始位置與點o相距1km.后來甲沿xx'的方向、乙沿yy'的方向同時以4 km/h的速

19、度步行.(第4題)(1)求甲、乙在起始位置時兩人之間的距離；(2)設t h后甲、乙兩人的距離為d(t)，寫出d(t)的表達式，當t為何值時，甲、乙兩人之間的距離最短?并求出兩人之間的最短距離.【解答】(1)由余弦定理，得起初兩人的距離為=(km).(2)設t h后兩人的距離為d(t)，則當0t時，d(t)=；當t>時，d(t)=；當<t時，d(t)=.所以d(t)= (t0)，當t=時，兩人的距離最短，且為 km.答：當t=時，兩人的距離最短為 km.1.(2015·北京卷)在abc中，已知a=3，b=，a=，則角b=.【答案】【解析】由正弦定理，得=，即=，所以sin

20、b=，因為b<a，所以角b=.2.(2016·蘇州期中)在abc中，角a，b，c的對邊分別是a，b，c，若tan a=2tan b，a2-b2=c，則c=.【答案】1【解析】由已知及正、余弦定理知，tan a=2tan b=3a2-3b2=c2，又a2-b2=c，所以c2-c=0，解得c=1或c=0(舍去)，故c=1.3.為了測量塔ab的高度，先在塔外選擇和塔腳在一條水平直線上的三點c，d，e，測得仰角分別為，2，4，cd=30 m，de=10 m，則=，塔高ab=m.【答案】15°15(第3題)【解析】如圖，設塔腳為b，由題意得ade=2acd=2，可知acd為等腰

21、三角形，所以ad=30，同理ade也是等腰三角形，ae=10，在ade中，cos 2=，所以2=30°，所以=15°，ab=aesin 4=aesin 60°=10×=15(m).4.(2015·南京、鹽城、徐州二模)如圖，在abc中，d是bc上的一點.已知b=60°，ad=2，ac=，dc=，則ab=.(第4題)【答案】【解析】在acd中，因為ad=2，ac=，dc=，所以cos adc=-，從而adc=135°，所以adb=45°.在adb中，=，所以ab=.5.(2015·蘇州期末)如圖，某生態園將

22、三角形地塊abc的一角apq開辟為水果園種植桃樹，已知角a為120°，ab，ac的長度均大于200 m，現在邊界ap，aq處建圍墻，在pq處圍竹籬笆.(第5題)(1)若圍墻ap，aq的總長度為200 m，問：如何圍可使得三角形地塊apq的面積最大?(2)已知ap段圍墻高1 m，aq段圍墻高1.5 m，造價均為每平方米100元.若圍圍墻用了20 000元，問如何圍可使竹籬笆用料最省?【解答】(1)設ap=x m，aq=y m，則x+y=200，x>0，y>0.apq的面積s=xysin 120°=xy.因為xy=10 000，當且僅當x=y=100時取等號.所以當

23、ap=aq=100 m時，可使三角形地塊apq的面積最大.(2)由題意得100×(1×x+1.5×y)=20 000，即x+1.5y=200.在apq中，pq2=x2+y2-2xycos 120°=x2+y2+xy，即pq2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中0<y<.則當y=，x=時，pq2取得最小值，從而pq也取得最小值.所以當ap= m，aq= m時，可使竹籬笆用料最省.【融會貫通】融會貫通能力提升已知在銳角三角形abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且tan c=

24、.(1)求角c的大小；(2)當c=1時，求a2+b2的取值范圍.【思維引導】【規范解答】(1) 由已知及余弦定理，得=，所以sin c=. 2分因為c為銳角，所以c=30°.4分(2)由正弦定理，得=2， 5分所以a=2sin a，b=2sin b=2sin(a+30°).a2+b2=4sin2a+sin2(a+30°)=4=4=4-3cos 2a+sin 2a=4+2sin(2a-60°).8分由得60°<a<90°，10分所以60°<2a-60°<120°，<sin(2a

25、-60°)1 .12分所以7<a2+b24+2.所以a2+b2的取值范圍是(7，4+2.14分【精要點評】三角形有六個基本元素，即三條邊和三個角，解三角形最主要的就是將六個基本元素化為已知的過程，一般要用正、余弦定理等工具，但選用怎樣的公式，如何轉化分析，要總結經驗和規律.趁熱打鐵，事半功倍.請老師布置同學們完成配套檢測與評估中的練習第6364頁.【檢測與評估】第32課正弦定理與余弦定理的綜合應用一、 填空題 1.輪船a和輪船b在中午12時離開海港c，兩艘輪船航行方向的夾角為120°，輪船a的航行速度是25 n mile/h，輪船b的航行速度是15 n mile/h，

26、下午2時兩船之間的距離為. 2.小明同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點a處望見電視塔s在電動車的北偏東30°方向上，15 min后到點b處望見電視塔在電動車的北偏東75°方向上，則電動車在點b時與電視塔s的距離是.3.如圖，要測量河對岸a，b兩點之間的距離，今沿河岸選取相距40 m的c，d兩點，測得acb=60°，bcd=45°，adb=60°，adc=30°，則ab的距離為m.(第3題) 4.已知abc的三邊長成公比為的等比數列，則其最大角的余弦值為.5.如圖，當甲船位于a處時獲悉，在其正東方向、相距

27、20 n mile的b處有一艘漁船遇險等待營救.甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°、相距10 n mile的c處的乙船.設乙船朝北偏東度的方向沿直線前往b處救援，則sin =. (第5題)6.如圖，在abc中，已知點d在邊bc上，adac，sinbac=，ab=3，ad=3，那么bd的長為.(第6題) 7.(2015·重慶卷)設abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且a=2，cos c=-，3sin a=2sin b，則c=.8.(2015·湖北卷)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到a處時測得公路北側一山頂d在

28、北偏西60°的方向上，行駛600 m后到達b處，測得此山頂d在北偏西15°的方向上，仰角為30°，則此山的高度cd=m. (第8題)二、 解答題 9.如圖，在abc中，sin=，ab=2，點d在線段ac上，且ad=2dc，bd=.(1)求bc的長.(2)求dbc的面積.(第9題)10.(2015·南京三模)在abc中，內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c.已知acos c+ccos a=2bcos a.(1)求角a的大小；(2)求sin b+sin c的取值范圍.11.如圖，在海島a上有一座海拔1 km的山，山頂設有一個觀察站p，上午9時，測

29、得一輪船在海島北偏東30°、俯角為30°的b處，到9時10分又測得該船(船直線航行)在海島北偏西60°、俯角為45°的c處.(1)求船的航行速度；(2)在c處，該船改為向正南方向航行，且不改變速度，10min后到達什么位置(以點a為參照點)?(第11題)三、 選做題(不要求解題過程，直接給出最終結果)12.在abc中，已知=，則abc的形狀為.13.在不等邊三角形abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，其中a為最大邊，如果sin2(b+c)<sin2b+sin2c，則角a的取值范圍是.【檢測與評估答案】第32課正弦定理與余弦定理的綜合應用1

30、. 70 n mile【解析】設輪船a，b航行到下午2時時所在的位置分別是e，f，則依題意有ce=25×2=50(n mile)，cf=15×2=30(n mile)，且ecf=120°，所以ef=70.2. 3 km【解析】如圖，由條件知ab=24×=6，在abs中，bas=30°，ab=6，abs=180°-75°=105°，所以asb=45°.由正弦定理知=，所以bs=·sin 30°=3(km).(第2題)3. 20【解析】如圖，由題設知bdc為等腰直角三角形，故db=40.由

31、acb=60°和adb=60°知a，b，c，d四點共圓，所以bad=bcd=45°.在bda中，運用正弦定理可得ab=20.(第3題)4. -【解析】設最小邊為a，則其他兩邊分別為a，2a.由余弦定理得最大角的余弦值為cos =-.5. 【解析】如圖，過點c作cdab，交ba的延長線于點d，則dac=60°，ac=10，所以ad=5，cd=5，則bd=25，bc=10，所以sin =sin dcb=.(第5題)6. 【解析】因為adac，所以dac=90°，所以在abd中，cosbad=cos(bac-90°)=sinbac=，所以b

32、d=.7. 4【解析】由3sin a=2sin b及正弦定理得3a=2b，又因為a=2，所以b=3，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=4+9-2×2×3×=16，所以c=4.8. 100【解析】在abc中，cab=30°，acb=75°-30°=45°，根據正弦定理知=，即bc=×sinbac=×=300，所以cd=bc×tandbc=300×=100.9. (1) 因為sin=，所以cosabc=1-2×=.在abc中，設bc=a，ac=3b，則由余弦定理可得9b2=a2+4-a，在abd和dbc中，由余弦定理可得cosadb=，cosbdc=.因為